专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算【解析版】

专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算知识点一知识点一导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．知识点知识点二基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点知识点三二导数的几何意义1.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线（1）曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．（2）曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条．3．几类重要的切线方程(1)y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln(x＋n＋1)的切线，如图1.(2)y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.(3)y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3.(4)y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等．知识点知识点四常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的．3．熟记以下结论：(1)；(2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．考点01导数的概念【典例01】（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考阶段练习）某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②④【答案】B【分析】由得，，即单调递增，再结合基本不等式，即可求.【详解】因为，依题知，所以，即函数单调递增，④不合，又，当且仅当，即时，等号成立，则若，则等号可以取得，即导函数在处取得最大值，即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；当时，等号取不了，但是单调递增的，①符合题意；只有①③符合题意.故选：B【典例02】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知函数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即，故选：C【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．考点02导数的运算【典例03】（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确.故选：AD【典例04】（2022下·广东揭阳·高二校考阶段练习）若函数，则的值为【答案】/【分析】求导后令可得，再求解即可【详解】因为，令，则，所以，则故答案为：【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.考点03曲线切线的斜率、倾斜角问题【典例05】（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）奇函数在点处的切线斜率为（

）A．12 B． C．8 D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义以及导数的运算求解.【详解】因为为奇函数，所以，即，所以，所以，则.故选:A.【典例06】（2023上·重庆渝中·高三统考期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则．【答案】/【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.【详解】因为，可得，由题意可知：，所以，即.故答案为：.考点04求在曲线上一点的切线方程（斜率）【典例07】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.【详解】对求导，得，∴的图象在处的切线斜率为，又，∴的图象在处的切线方程为，即.故选：C【典例08】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数，则在点处切线方程为．【答案】【分析】对求导可得计算出得，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.【详解】对求导可得，则，解得，，，切线方程为，整理得.故答案为：.【规律方法】以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．考点05求过一点的切线方程（斜率）【典例09】（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为.【答案】或或(写出其中一条即可)【分析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解.【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，代入，得.由，得.当时，，符合题意，当时，，均符合题意，所以切线方程.设的切线的切点为.由，得，，得切线方程为.将的坐标代入切线方程，得，所以，所以切线方程为.故答案为：或或(写出其中一条即可)【典例10】（2023下·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在处的切线的方程；(2)求过原点O与曲线相切的直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）设出切点坐标，根据切线斜率和导数列方程，求得切点坐标，进而求得切线方程.【详解】（1）因为，所以.，，所以曲线在处的切线方程为，即直线的方程为.（2）设过原点的直线与曲线切于点.则的斜率，所以，整理得，所以，所以，所以直线的方程为，即.【总结提升】如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝fx0，,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′x0，))得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．考点06求切点坐标【典例11】（2023·高二课时练习）曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为．【答案】或【分析】求导得到，解得或，得到坐标.【详解】由已知得，令，则，解得或，所以或．经检验，点与均符合题意．故答案为：或【典例12】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案】.【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.考点07切线的平行与垂直【典例13】（2023下·江西·高二校联考期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.【详解】由得，故，由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，故选：C【典例14】（2023上·江西吉安·高三统考期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是．【答案】【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围.【详解】解：由题意，则不妨设，点和点，两切线的斜率分别为，∴，∴，∴等价于，等价于或解得，或．故a的范围是．故答案为：.考点08曲线的公切线问题【典例15】（2023下·四川绵阳·高二校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．2 B．3 C．1 【答案】A【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可.【详解】若，则，且，若，则，且，又是、的公切线，设切点分别为、，则，，则，即.故选：A【典例16】（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程.【答案】或（写出一个即可）【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点.由，得.由，得.令，即，则，且，即，化为，所以，解得或.当时，，，此时切线的方程为，即.当时，，，此时切线的方程为，即.综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.故答案为：或，写出任意一个即可.【规律总结】1.解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.2.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．考点09求参数问题【典例17】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查导数的计算及几何意义．【详解】由题意知，因为与曲线相切，所以，整理得，同理，则，是方程的两个实数根，所以，所以．故选：.【典例18】（2023下·广东汕头·高二统考期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.【答案】2【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：【规律方法】已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题．考点10导数几何意义相关的应用问题【典例19】（2022·全国·高三专题练习）已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】利用导数的几何意义，求出a，b的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.【详解】设直线与曲线相切的切点为，由求导得：，则有，解得，因此，，即，而，对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；对于C，因，则有，即，当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确；对于D，由，得，，，而函数在R上单调递增，因此，，D不正确.故选：AC【典例20】（2024·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.【答案】/【分析】根据与互为反函数，的最小值为P或Q中一个点到的最短距离的两倍，求其最小值即可得出答案.【详解】由，得：，.所以与互为反函数．则它们的图象关于对称．要使的距离最小，则线段垂直直线.点在曲线上，点Q在曲线上，设，.又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线的最短距离所以当，即时，d取得最小值，则的最小值等于.故答案为：【规律方法】求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围．(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③3.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：一、单选题1．（2022下·安徽滁州·高二统考期末）已知函数，为的导函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用导数的定义，即可解出．【详解】由题意可得，，所以故选：．2.（2023上·山东济宁·高三统考期中）若曲线在点处的切线方程是，则（

）．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】求出函数在点处的切线斜率即可得出的值.【详解】由题意，在中，，在点处，，∵在点处的切线方程是，∴在点处的斜率为，∴，解得：，故选：C.3．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.4．（2023下·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）．A．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由，利用切线斜率为1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为1和切点在切线上求解.【详解】解：因为，所以，由，解得或（舍去），所以切点为，因为切点在切线上，解得，所以切线方程为，设切点为，由题意得，解得，所以，故选：D二、多选题5．（2023下·湖南·高二期中）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐标写出切线方程，再将点P的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.【详解】∵.设曲线的切点为，则，.∴切线方程为.又切线经过点，则，解得或，∴切点为时，切线方程为；切点为时，切线方程为.故选：AB.三、填空题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为．【答案】/【分析】根据切点在曲线和直线上，切点处的导数等于切线的斜率求解.【详解】设切点坐标为，因为直线的斜率为2，且，所以，解得，故实数a的值为．故答案为:.7．（2022上·四川广安·高三广安二中校考期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则.【答案】【分析】由导数的几何意义求得，再结合同角三角函数基本关系即可求解.【详解】由，得，，即，又，由同角三角函数的基本关系式，，解得.故答案为：.8．（2022上·河北邢台·高三校联考阶段练习）二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为.【答案】【分析】根据交点处切线垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.【详解】解：设该交点为，因为，则，因为，则，因为两函数在交点处切线互相垂直，所以，，分别化简得，，上述两式相加得，又，其中，当且仅当，且即时取等号.故所求最小值为，故答案为：.9．（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】设点的坐标为，显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为，因此切线方程为，设曲线的切点为，即，由，所以过该切点的切线的斜率为，则有，设的切点为，即，由，所以过该切点的切线的斜率为，则有，由题意可知：，于是有：，得，或，当时，则有，当时，则有，由可解，.故答案为：10．（2023下·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为．【答案】【分析】曲线与曲线存