模拟低通滤波器设计

PAGEPAGE6模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器指标：由参数Ap、As、Ωs（阻带截止频率），和Ωp(通带截止频率)给出(Ωs=2πfsΩp=2πfp) 设计目标：确定滤波器阶次N和截止频率Ωc。 要求：（1）在Ω=Ωp，-10lg|Ha(jΩ)|2=Ap,或（2）在Ω=Ωs，-10lg|Ha(jΩ)|2=As,或解出N： （N四舍五入）为了在Ωp精确地满足指标要求，要求：或者在Ωs精确地满足指标要求，要求：巴特沃斯滤波器的设计:巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。注：巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性。随着Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。在幅度平方函数式中代入Ω=s/j,可得Ha(s)Ha(-s)的极点为k=1,2,…,2N为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。 Ha(s)的表示式为【例1】设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：(1)通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：Ap=7dB。(2)阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：As=16dB。解：由Ωp，得：由Ωs，得：在上面两个Ωc之间选Ωc=0.5。最后可得（级联型）：【例2】导出三阶（N=3）巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。 设Ωc＝2rad/s。【解】 幅度平方函数是令Ω2=-s2即s=jΩ，则有各极点: k=1,2,…,6由s1,s2,s3三个极点构成的系统函数为:切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的设计：切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为： ( )式中，ε为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数，ε越大，波纹也越大。Ωc为通带截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3dB。也就是说，在切比雪夫滤波器中，Ωc不一定是3dB的带宽）。CN(x)是N阶切比雪夫多项式，定义为 |x|≤1(通带) |x|>1(阻带)4脉冲响应不变法【例】设模拟滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。【解】直接得到数字滤波器的系统函数为设T=1，则有模拟滤波器的频率响应Ha(jΩ)为:数字滤波器的频率响应H(ejω)为:脉冲响应不变法基本原理其中：模拟滤波器的数字化由脉冲响应不变法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器H(z)。假设：模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次于分子的阶次，则：Ha(s)采样：Z变换：为使滤波器增益不随T变化，令：则有:此时:【例】设计一个数字低通滤波器，指标如下：【解】首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即：其中T为采样周期。这里假设T=1。代码如下：T=1; %采样周期Wp=0.2*pi/T;Rp=1;Ws=0.35*pi/T;Rs=10;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[B,A]=butter(N,Wc,‘s’); %求Ha(s)[Bz,Az]=impinvar(B,A,1/T); %求H(z)[c,b,a]=dir2par(Bz,Az) %由直接型转化为并联型结果为：c=0b=0.7719-0.0680-0.77190.2398a=1.0000-0.87740.21361.0000-1.04100.5276双线性变换法例题：设计巴特沃斯低通数字滤波器，其技术指标如下：