九年级数学中考复习《二次函数与图形面积综合压轴题》专题提升训练（附答案）

第第页参考答案1．（1）解：由题意得：12解得：b=−2c=−∴该抛物线对应的函数关系式为：y=1（2）解：由抛物线的表达式知点C（2−92∵BP⊥y轴∴点B与点P关于直线x=2对称∴BP=4∴四边形ABCP的面积=S∴四边形ABCP的面积为9．（3）解：①当0<m<2时则k=−12m∵k−n=2∴−1解得：m1=②当2≤m≤4时则k=92∴k−n=2∴m的取值范围为2≤m≤4③当4<m<5时则k=92∵k−n=2∴92解得：m1=0（舍去）m④当m≥5时则k=92∵k−n=2∴92解得：m1=2+14综上所述m的取值范围为2≤m≤4或m=2+142．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于B1,0与∴−1+b+c=0c=3解得b=−2c=3∴抛物线的解析式为：y=−x（2）解：令y=−x2−2x+3中y=0∴x=−3或x=1∴A−3，0B∵OC=3∴S△ABC=1∵点Q是AC上方抛物线上一点若S△ACQ∴S△ACQ∴S四边形过点Q作QM⊥x轴于点M由点Q是AC上方抛物线上一点设Qm∴S四边形解得m=−12或当m=−12时当m=−2时−m∴点Q为−12，（3）解：设E(e−e2−2e+3)F(f−f2−2f+3)其中e≠f直线PE的解析式为y=gx+ℎ∵过点D0,1的直线交抛物线于EF两点∴设直线EF的解析式为y=kx+1．联立直线EF解析式和抛物线解析式得y=kx+1y=−整理得方程x2∴e+f=−k+21=−k−2ef=∴e2联立直线PE和抛物线解析式得y=gx+ℎy=−整理得x2∵直线PE与抛物线只有唯一公共点∴x2+g+2∴e+e=−g−2e⋅e=ℎ−3．∴g=−2e−2ℎ=e∴直线PE的解析式为y=−2e−2同理可得直线PF的解析式为y=−2f−2∵直线PE与PF相交于点P联立直线PE和直线PF解析式得y=整理得−2e−2x+∴xP∴点P的纵坐标为y=−2e−2∴点P−k+2∵C0∴PC∴PC的最小值为253．（1）解：∵拋物线：y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0∴a−b−3=09a+3b−3=0解得：a=1∴抛物线为：y=（2）把x=0代入y=x2∴C0,−3而A−1,0∴S△ABC设Px,S△PAB∵△PAB的面积等于△ABC面积的53∴2x2−2x−3=∴x2解得：x1=4∴P4,5或−2,5（3）如图过D作DG⊥x轴于G过D作DF⊥y轴于F∴∠DFE=90°=∠DGB而∠FOG=90°∴∠FDG=90°∵∠BDE=90°∴∠BDG+∠EDG=90°=∠EDG+∠FDE∴∠BDG=∠FDE∵BD=DE∴△DBG≌△DEF∴DG=DF设Dx,x2−2x−3∴x=−x解得：x1=1+13∴D1+4．（1）解：由题意可得当x=0时y=−2×0+2=2当y=0时−2x+2=0解得x=1∴A1,0C代入y=−12−12+b+c=0c=2∴y=−1（2）①连接ODDm,−

令y=0则−1解得x1=−4∴B(−4,0)∵D在第二象限∴−4<m<0∴S=−=−m=−(m+2)当m=−2时△BCD的面积最大为4②如图过点D作DH⊥OB于点HEF交y轴于点G∴∠DHO=∠EGO=90°

由旋转得：OD=OE∠DOE=90°∵∠BOC=90°∴∠HOD=∠GOE∴△DHO≌∴DH=EGHO=GO设点D横坐标为m则Dm,−∴OH=−mDH=−1∴GO=−mEG=−1又∵点D在第二象限OD绕点O顺时针旋转90°得OE∴点E在第一象限．∴点E坐标为−1∵EF∥x轴交直线AC于点∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等将F点纵坐标−m代入y=−2x+2得−m=−2x+2解得：x=1∴F点坐标为12∴EF=−1∴当m=−2时EF最大最大值为3当m=−2时y=−1∴点D的坐标为−2,3∴线段EF的最大值为3此时点D的坐标为−2，5．（1）解∶∵抛物线y=−x2+bx+c经过B∴−9+3b+c=0−4+2b+c=3解得b=2c=3∴抛物线的解析式为y=−x当y=0则−x解得x1=−1∴A−1,0设直线AD的解析式y=mx+n则−m+n=02m+n=3解得m=1n=1∴直线AD的解析式y=x+1（2）解：设Mx,−x2+2x+3过点M作MN⊥x轴交AD于点N

∴MN=−x∴S===−=−3∴当x=12时S有最大值为此时M点的坐标为12∴当M点的坐标为12,154四边形AMDB的面积最大（3）解：设Pp,0Q①以ADPQ为对角线时∵以ADPQ为顶点的四边形是平行四边形∴−1+22解得p=1q=0或p=−1q=2∴P1,0②以APDQ为对角线时∵以ADPQ为顶点的四边形是平行四边形∴−1+p2解得p=4+7q=1+7∴P4+7,0③以AQDP为对角线时∵以ADPQ为顶点的四边形是平行四边形∴−1+q2解得p=−3q=0或p=−1q=2∴P综上点P的坐标为−3，04+7，04−7，01，0时6．（1）解：令x=0则y=4令y=0则−2解得：x=−2或x=3∴A−2,0故答案为：−2,0,（2）解：如图连接OP

设Pm,−∵P是第一象限内抛物线上的一点∴m>0则S△PAC∵A−2,0∴AO=2,CO=4,xS△PAC∵S△APC∴2=4+2m+23m2解得：m=1或m=−3（舍去）当m=1时−2∴点P的坐标为1,4（3）解：存在点P使得∠PAB=12如图2在AB的延长线上截取BF=BC连接CF过点B作BE⊥x轴交CF于点E连接AE

在Rt△BOC中∵OB=3，∴BC=BF=O∵AO=2∴AB=BF=5∵BE⊥x轴∴AE=EF∴∠EAB=∠EFB=1∵F8,0设直线CF的解析式为：y=kx+bk≠0则0=8k+b4=b解得：k=−1∴直线CF的解析式为：y=−1令x=3则y=5∴E3,∵A−2,0设直线AE的解析式为：y=k则0=−2k解得：k'∴直线AE的解析式为：y=1联立：y=1解得：x1=−2y∴点P的坐标为947．（1）解：∵点B的坐标为1,0OC=3OB∴OB=1OC=3即点C0,−3B1,0代入y=x2+bx+c(a>0)得则抛物线的解析式y=x（2）由抛物线的解析式y=x2+2x−3得对称轴为x=−∵点M是抛物线对称轴l上的一个动点∴M−1,y∵点B关于对称轴l的对称点为点A∴MB+MC的值最小为MB+MC=MA+MC=AC如图设直线AC的解析式为y=kx+b将点A−3,0C0,−3代入得解得k=−1b=−3则y=−x−3当故当MB+MC的值最小时点M−1,−2（3）过点D作直线DE∥y轴交AC于点E交x轴于点F过点C作CG⊥DE于点G设点Da,a2+2a−3则点ES=∵−3∴当a=−32时【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式待定系数法求一次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征一次函数图象上点的坐标特征三角形的面积二次函数的最值以及三角形的面积公式解题的关键是函数图像上点的特征用点的坐标表示距离和面积分割求解．8．（1）解：把A2,0代入y=−x+b中得0=−2+b解得b=2把A2,0代入y=x2+mx中得0=4+2m（2）解：联立y=x2−2xy=−x+2解得∴B−1∵由函数图象可知当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围为x<−1或x>2∴不等式x2+mx>−x+b的解集为x<−1或（3）解：∵A2∴OA=2∵△AOP的面积为3∴12∴yP∴yP在y=x2−2x中当y=x2−2x=3时在y=x2−2x中当y=x∴点P的坐标为−1，39．（1）解：由题意可设二次函数解析式为y=ax+4x−2则把点−8a=8∴a=−1∴该抛物线所对应的函数解析式为y=−x+4（2）解：把y=5代入y=−x2−2x+8解得：x1∵点P是第二象限内抛物线上的一点∴P−3,5∵C0,8∴OC=8∴S△OPC（3）解：连接OP如图所示由题意可得：AO=4,OB=2,OC=8设点Pm,−m2−2m+8∴S===−2=−2m+2∵−2<0∴当m=−2时S有最大值最大值为32．10．（1）解：依题意A−1，0C得0=a+解得a=∴抛物线的函数解析式为y=1（2）解：由（1）知y=1则x1∵A∴B设直线BC的解析式为y=kx+b把B4，0得0=4k+b则k=所以直线BC的解析式为y=设直线l∥BC则该直线l的解析式可表示为：y=则y=当直线l与抛物线只有一个交点时如图：可列方程：1即12x2−2x−2−b=0∴4−4×12−2−b=0∴直线l：y=∴点M即直线l和抛物线的唯一交点则y=1解得：x=2即M2过M点作MN⊥x轴于NS所以点M2，−3（3）解：由（2）知A−1，0∵以ABCD为顶点的四边形为平行四边形∴当AB∥CDAB=CD时则点A−1，0向右平移5个单位长度到点B4，0点C0，或者点A−1，0向右平移5个单位长度到点B4，0点D向右平移5个单位长度到点C0，−2∴当AC∥BDAC=BD时则点A−1，0向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度到点C0，−2点B4，或者点A−1，0向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度到点C0，−2点D向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度到点B4，0综上所述：符合条件的D点坐标为5，−2或−511．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A−3∴9a−3b−4=016a+4b−4=0解得：a=1∴抛物线的解析式为：y=1（2）y=1∴抛物线的对称轴为x=1当x=0时y=−4如图所示：连接BC交对称轴于点H则△ACH周长的最小∵A−3，0B4∴抛物线的对称轴为直线x=当x=0时y=−4∴C(0,−4)∵B4，0设直线BC的解析式为y=kx−4则4k−4=0解得：k=1∴直线BC的解析式为y=x−4当x=12时∴H（3）如图2所示：设Gt，过点G作GF∥y轴交BC于点设直线BC的解析式为y=kx+d∵B4,0∴4k+d=0d=−4解得：k=1d=−4直线BC的解析式为：y=x−4∴Ft,t−4∴FG=t−4−1∴S==2=−∵−2∴当t=2时y=−103△BCG面积的最大值为8312．（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=2过原点可得c=0−b2⋅1即解析式为：y=1（2）由（1）得：y=12x2

令y=0解得：x1=0,x设AB上方x轴上点Pp,0满足S△PAB=4解得：p=0即P0,0设直线AB解析式为：y=kx+b则有：4k+b=02k+b=−2：解得：k=1∴直线AB解析式为：y=x−4．∴与直线AB平行且过P0,0的直线为：y=x点E在直线y=x上时S△ABE=∴y=12x2−2x故：E1（3）C,D为y=kx−2k与抛物线的交点y=kx−2ky=解得：x1=k+2−k∴Ck+2+D'与D关于直线x=2对称得：D设直线CD'的解析式为：k+2+k解得：m=k

图（2）即直线CD'的解析式为：当x=2时y=−4．∴点P2,−4为定点BP13．（1）解：把A−1，0，C∴b=2c=3∴抛物线解析式为y=−x故答案为：y=−x（2）解：在y=−x2+2x+3中当y=−x2+2x+3=0时∴B3设直线BC的解析式为y=kx+b∴3k+b∴k=−1b∴直线BC的解析式为y=−x+3设Pm，0∴DE=−m∵S△BCD∴S==−3∵−3∴当m=32时△BCD的面积有最大值（3）解：∵C0∴OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45°∵DP⊥OB∴∠BPE=90°∴∠CED=∠BEP=45°∵∠ABD>∠ABC=45°=∠CED∴只存在∠CDE=∠ABD或∠DCE=∠ABD这两种情况如图3-1所示当∠DCE=∠ABD时过点D作DF⊥CE于F设Pm，0∴PD=−m2+2m+3∴DE=−m由勾股定理得BE=PE2∵∠DFE=90°，∴∠FDE=∠FED=45°∴DF=EF=2∴CF=BC−EF−BE=32∵∠FCD=∠PBD，∴△FCD∽△PBD∴CFBP∴22∴m2解得m=−1+172或经检验m=−1+17∴P−1+

如图3-2所示∠CDE=∠ABD过点C作CG⊥DE于G设Pm，0∴PD=−m2+2m+3∴DE=−m同理可得BE=2∴CE=BC−BE=32同理可得CG=EG=2∴DG=DE−GE=−m同理可证△CDG∽△DBP∴CGDP∴m−∴m2解得m=1+52或∴P1+综上所述点P的坐标为−1+172

（4）解：如图4-2所示设直线y=2x+m与直线BC交于N与x轴交于m过点B作BT⊥BM使得BT=BM在y=2x+m中当y=2x+m=0x=−1∴M−∴BT=BM=3+1∴T∵∠TBM=90°，∴∠MBN=∠TBN又∵BN=BN，∴△BMN≌△BTNSAS∴MN=TN∴点M与点T关于直线BC对称联立y=2x+my=−x+3解得x=∴N3−m同理可得直线NT的解析式为y=12∴直线MN关于直线BC的对称直线为直线y=1∵将△BCD沿BC翻折至△BCD∴点D与点D'关于直线BC对称∴当直线y=12x+m+32与抛物线在0≤x≤3部分图象有两个交点时图象如图4-2所示当直线y=12x+m+32恰好经过点C时此时直线y=1∴m+32=3即当直线y=12联立y=12x+∴Δ=解得m=33综上所述当3≤m<338时直线y=12x+m+32与抛物线在0<x<3

14．（1）解：把A−4,0C0,4代入c=416−4b+c=0解之得∴该二次函数的解析式为y=−x（2）解：①设直线AC的解析式为y=kx+m把A−4,0C0,4代入得解得k=1m=4∴直线AC的解析式为y=x+4设Pt,−t2−3t+4∴PQ=−t∴=2S∴对称轴t=−−8∵−2<0开口向下∴当t=−2时S四边形AOCP有最大值∴P−2,6②当△CPQ∽△ADQ时如图：∴∠CPQ=∠ADQ=90°∴CP∥x轴∴点P的纵坐标为4∴4=−x解得x1=0（舍去）∴P−3,4当△PCQ∽△ADQ时∠PCQ=∠ADQ=90°过点C作CM⊥PD于M∵C0,4A−4,0PD⊥x∴OC=OA=4∠OAC=45°∴∠CQP=∠CPQ=45°∴PC=QC∴PQ=2CM由①得PQ=−t2−4t∴−t解得t1=0（舍去）∴P综上点P的坐标为−3,4或−2,6．15．（1）解：∵抛物线顶点坐标为C3,6∴设抛物线解析式为y=ax−3∵抛物线与y轴交于点B0,3∴3=a×0−3解得：a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）连接PO设Pn,−∵B0,3顶点C∴OB=3OA=3AC=6∵点P位于第一象限∴S△BPOS△APOS△ABO∴S==−=−1当n=92时S△ABP

（3）存在设Dt,−过D作对称轴的垂线垂足为G∠DGC=90°∵顶点C3,6∴DG=t−3CG=6−−∵在Rt△CGD中∠DGC=90°∠ACD=30°∴CD=2DG∴CG=C∴13∴t1=3+33当t=3+33时−∴点D的坐标为3+33

16．（1）解：∵抛物线的对称轴为x=−1A点的坐标为(−3,0)∴点B的坐标为1,0．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：9−3b+c=01+b+c=0解得：b=2c=−3∴抛物线的解析式为y=x（2）∵将x=0代入得y=∴点C的坐标为0,−3．∴OC=3．①∵点B的坐标为1,0∴OB=1．设点P的坐标为a,a2+2a−3则点P到OC∵S∴12OC×|a|=12解得a=±4．当a=4时a2∴点P的坐标为4,21当a=−4时a2∴点P的坐标为−4,5．∴点P的坐标为4,21或−4,5．②如图所示：设AC的解析式为y=kx−3将点A的坐标代入得：−3k−3=0解得k=−1∴直线AC的解析式为y=−x−3．设点D的坐标为x,x2+2x−3则点Q∴QD=−x−3−x∴当x=−32时QD有最大值QD的最大值此时x2∴D−17．解：（1）∵B4,m在直线y=x+2上∴m=4+2=6∴B4,6∵A12,52∴52=12∴抛物线的解析式为y=2x（2）存在设动点P的坐标为n,n+2则C点的坐标为n,2n∴PC=n+2∵PC>0∴当n=94时线段PC最大且为（3）作图如下由点