第二节　常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定.1．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等__存在量词存在一个、至少有一个、有些、对某些等__3.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，p(x)成立∀x∈M，p(x)_____________存在量词命题存在M中的一个x，p(x)成立∃x∈M，p(x)_____________∀∃∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)(1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”等价于“若p，则q”为真命题．(2)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．(3)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假．1．命题“对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是

(

)A．存在x∈Z，x2＋2x＋m＞0 B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m＞0C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0 D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m＞0答案：A2．(人教A版必修第一册P22·T2(5)改编)设x＞0，y＞0，则x2>y2是x>y的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：CA．充要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件答案：C4．(苏教版必修第一册P43·T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1)5．(人教B版必修第一册P36·T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．答案：(－∞，3)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)含量词命题的否定

[题点全训]1．(2022·菏泽一模)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是

(

)A．∃x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，x2<0C．∃x∈R，x2<0 D．∃x∈R，x2≤0答案：C2．已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为

(

)A．∃x∈R，ex－x－1≥0 B.∃x∈R，ex－x－1＞0C．∀x∈R，ex－x－1＞0 D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案：C3．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为

(

)A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案：C基础点(二)含量词命题的真假判断

[题点全训]1．下列命题为假命题的是

(

)A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx＝2解析：当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确，故选B.答案：B

答案：D

[一“点”就过](1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)充分、必要条件的判断

[典例]

(1)(2021·天津高考)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件(2)(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件[解析]

(1)由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．(2)若a·c＝b·c，则|a||c|cos〈a，c〉＝|b||c|·cos〈b，c〉，即|a|cos〈a，c〉＝|b|cos〈b，c〉．若令a·c＝b·c＝0，则cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉＝0，此时|a|不一定等于|b|，则a不一定等于b，充分性不成立．若a＝b，则a·c＝b·c，必要性成立．所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.[答案]

(1)A

(2)B[方法技巧]判断充分、必要条件的2种方法定义法直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么集合法利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题[方法技巧]由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍[针对训练]1．(2022·西安模拟)已知条件p：(x－m)(x－m－3)>0；条件q：x2＋3x－4<0.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是

(

)A．[－7,1] B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：设集合P＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|－4<x<1}．因为p是q的必要不充分条件，则Q是P的真子集，所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1，故选B.答案：B

2．已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：(x－a)(x－a－5)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

(

)A．[－3,1]

B．(－3,1]

C．[－3,1) D．(－3,1)重难点(三)根据含量词命题的真假求参数

[典例]已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，求实数a的取值范围．根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．

层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(不对命题完全否定致误)已知命题p：∃x≥0，ex<1且sinx>1，则綈p为

(

)A．∃x<0，ex<1且sinx>1B．∃x<0，ex≥1或sinx≤1C．∃x≥0，ex<1或sinx>1D．∀x≥0，ex≥1或sinx≤1解析：命题p：∃x≥0，ex<1且sinx>1，为全称量词命题，所以綈p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，故选D.答案：D

2．(混淆条件与结论致误)(多选)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是

(

)A．x＜1B．x＞1

C．x＞－1 D．x＞33．(混淆“充分条件”与“充分不必要条件”)已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．解析：因为p是q的充分不必要条件，则{x|－1<x<3}

{x|－1<x<m＋2}，所以m＋2>3，解得m>1.因此，实数m的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)二、融会贯通应用创新题4．(弘扬传统文化)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的

(

)A．充分不必要条件