虚位移原理PPT

1、工程力学（C）(20)8.4 虚位移原理虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：（8.32）虚功方程对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。若系统全部为有势力作功时，虚功方程为（8.33）比较7 与8 ：条件应用的系统平衡的含义7 力系的平衡 单个刚体（充要条件）相对惯性系静止或匀速直线运动 刚体系统（必要条件）8 虚位移原理 刚体系统（

2、充要条件）相对惯性系静止2. 虚位移原理的应用（8.32）虚功方程（1）对自由度为k的系统（机构）有k个独立的广 义坐标、k个独立的广义虚位移虚功方程（8.34）k个独立方程已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置j=1,k（2）对自由度为零的系统（静定结构）求约 束处的约束力自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）系统变为k=1的机构，按(1)求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力解题指导（1）对系统，正确写出虚功方程：（8.32）是全部作功的力的虚功之和正确找出全部作功之力，正确写出虚功（2）

3、虚功方程 中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式（3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。例 题 58 虚位移原理 例题 杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹簧未变形时 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求当角为平衡位置时，P？解：1.分析拆除弹簧AB，用 、 表示弹簧对刚体系统的作用系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。例 题 58 虚位移原理 例题系统自由度为1，可选为广义坐标。2.列虚功方程系统中作功的力：主动力 ，弹簧力，弹簧伸长量故弹簧力的大小为方法一llllll例 题 58 虚位移原理 例题建立坐标系Oxy,各力的虚功表示为：xy利用解

4、析法建立虚位移的关系：求变分llllll例 题 58 虚位移原理 例题xyllllll系统的虚功方程为即由于例 题 58 虚位移原理 例题方法二不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）虚功方程为xyllllll由同理可得例 题 68 虚位移原理 例题 AB、BC、CD为三根等长、等重的均质杆，与铅垂墙壁连成正方形ABCD，并用柔绳EH拉住，E、H分别为AB、BC的中点，各杆重Q，求柔绳的拉力。例 题 68 虚位移原理 例题解：1.分析系统的自由度为0,静定结构主动力：且2.列虚功方程(几何法）G拆除绳EH，自由度为1，用表示绳索对结构的作用力。例 题 68 虚位移原理 例题且代入上式G此机构

5、中，杆AB，DC为定轴转动，杆BC为平动，可判断E，G，H各点的虚位移方向。（拉力）例 题 78 虚位移原理 例题 杆AB、CD由光滑铰链C相连，在AB杆的B端作用一铅垂力 ，在CD杆上作用一力偶，其力偶矩为M，不计杆重，求A端的约束反力。例 题 78 虚位移原理 例题解：系统的自由度为0可依次拆除A端的几个约束，将相应约束力看作主动力求解。例 题 78 虚位移原理 例题(1)求去掉A端的转动约束，用约束力偶矩MA代替。系统的自由度为1主动力：AB定轴转动，CD一般平面运动，瞬心为P，PAB的虚转角CD的虚转角为则例 题 78 虚位移原理 例题列虚功方程：代入（）例 题 78 虚位移原理 例题

6、(2)求去掉A端的水平约束，用约束力FAx 代替。系统的自由度为1主动力AB、CD只能作平动例 题 78 虚位移原理 例题(3)求去掉A端的铅垂约束系统自由度为1主动力：AB平动，CD瞬心为PP设CD的虚转角为则有列虚功方程：例 题 78 虚位移原理 例题即（）9.5 质点系平衡的广义力1. 广义力 以广义力表示的系统平衡条件虚功方程各 之间要满足约束条件，故不是独立的，可用广义虚位移 表示为称为广义坐标 对应的广义力令（8.35)因此，虚功方程可写为2. 广义力的计算由于各个 独立系统的平衡条件：（8.36）分别计算k个广义力，计算 时，选取一组特殊的广义虚位移，令但而这组虚位移下系统的虚功

7、为：则j=1k (8.37)3. 有势力场质点系的平衡问题设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能V或选取广义坐标与 相应的广义力：各有势力直角坐标下的投影Fi与势能的关系则系统的元功选取直角坐标 xix2x1x3(xi1,xi2,xi3)平衡条件：或4.有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的杆的平衡问题。即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（ 或 ）的位形处。以下仅讨论单自由度系统：设在处系统平衡。将在处台劳展开当q在 附近时，略去二阶以上小量注意到，因 处于平衡位置，所以则在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：(1)取极小值(2)取极大值(3)拐点(4)不变化q对

8、应的广义力则(a) 当 时，有势能V在 处取极小值，广义力Q与广义位移的增量 的符号相反。Q可使质点恢复到平衡位置。是质点系的稳定平衡位置。故当 时，(b)当 时，有势能V在 处取极大值，广义力Q与广义位移的增量 的符号相同。Q可使质点离开平衡位置。q对应的广义力(c)当 时，需考察V=V(q)更高阶导数(d)当V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡是质点系的不稳定平衡位置。故 时，稳定平衡不稳定平衡随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。 三铰刚架受力如图，求C端的约束力。例 题 88 虚位移原理 例题系统的自由度为2。主动力：例 题 88 虚位移原理

9、 例题解：此为静定结构，自由度为0， C端约束力有 ，去掉C端约束，计算这两个广义坐标相应的广义力Q1和Q2：取一组广义坐标:为AB绕A点定轴转动的方位角为BC相对于AB绕B点定轴转动的方位角例 题 88 虚位移原理 例题计算系统的虚功：(1)令此时BC相对于AB静止，整个系统绕A定轴转动：yxAB不动， BC以B点为基点定轴转动：例 题 88 虚位移原理 例题yx（2）令系统的虚功为：( )( )yx例 题 88 虚位移原理 例题（3）广义力平衡条件均质杆OA、OB以光滑铰链连接，OA杆O端与固定铰支座铰接。两杆长分别为 、 ，重分别为 、 ，现在B端作用一水平力 ,试求平衡时角 、 各为多

10、少？例 题 98 虚位移原理 例题解：系统自由度为2，主动力：(1)广义坐标：计算广义力例 题 98 虚位移原理 例题(2)令相当于OAB为刚体绕O点转动，O为基点。例 题 98 虚位移原理 例题(3)令相当于刚体OA不动，刚体AB绕A点转动，A为基点。例 题 98 虚位移原理 例题(4)平衡条件例 题 98 虚位移原理 例题由由地震仪的示意图如图。弹簧系数为k，AC水平时，两弹簧具有初始压力 。求BD处于铅直位置，且为稳定平衡时，k应为多大？例 题 108 虚位移原理 例题解：单自由度系统取 为广义坐标，(即BD与铅直轴夹角 )。拆除弹簧,用弹簧力代替。主动力：都为有势力。设AC在水平位置时两弹簧的初压缩量例 题 108 虚位移原理 例题 的零势点取为B，弹簧的零势点取其自然状态。系统的势能：由显然时有=0为平衡位置例 题 108 虚位移原理 例题当时：稳定平衡的条件为：例 题 108 虚位移原理 例题由 求导：例 题 118 虚位移原理 例题OrOrrOrO放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（半