2023年广东省茂名市高考数学模拟试卷（5月份）

2023年广东省茂名市高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%€/7|--%一230},8={划-1式刀<2},则408=()

A.{x|-1<%<2}B.{x|0<x<2}

C.{0,1}D.{-1,0,1,2）

2.i为虚数单位，复数z=再，复数z的共朝复数为2,则3的虚部为（）

1—ZI

A.iB.—iC.—1D.1

3.已知单位向量落B满足।为+旬=1,则a在B方向上的投影向量为（）

A.gbB.-3bC.aD.—^3

4.甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5,乙胜甲的概率为0.3,甲乙两人平局

的概率为02若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为

()

A.0.36B.0.49C.0.51D.0.75

5.五星红旗的五颗星是最美的星，每颗五角星是由一个正五边形及五个全

等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边与正五边形的边重合，如图,

已知等腰三角形的顶角为36。，顶角的余弦值为与1,则五角星中间的正五

4

边形的一个内角的余弦值为（）

A.手BWCWD.年

6.已知a=6一仇2一m3,b=e—ln3,c=e2—2,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

7.菱形ABC。的边长为4,乙4=60。，E为/B的中点（如图1）,将△ADE沿直线DE翻折至△

A'OE处（如图2）,连接AB,4C,若4一E8CD的体积为4/?,点F为4。的中点，则尸到直线

的距离为（）

A.粤B.罕c.嚏

8.已知抛物线C：y2=i2x的焦点为F,动点P为抛物线上一点（PF与x轴不垂直），过点P作

PMlx轴于点M,作PNd.PF交x轴于点N,若丽.两+|MF||MN|>m（nieR），则实数血

的最大值为（）

A.3B.6C.9D.12

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一组样本数据与，%2，…，的平均数和中位数均为5,若去掉其中一个数据5,则（）

A.平均数不变B.中位数不变C.极差不变D.方差不变

10.已知函数/'（X）=|cosx|+cos|x|,有下列四个结论，其中正确的结论为（）

A./Q）在区间阴阳上单调递增B.兀是〃乃的一个周期

C./（x）的值域为［0,2］D./（尤）的图象关于y轴对称

11.已知4B为圆。：/+y2=i上的两点，P为直线I：x+y-2=0上一动点，贝！］（）

A.直线［与圆。相离

B.当4B为两定点时，满足的点P有2个

C.当时，|腐+两|的最大值是2小2+1

D.当P4,PB为圆。的两条切线时，直线AB过定点©；）

12.己知奇函数/（x）在R上可导，其导函数为尸（乃，且f（l-x）-/（I+x）+2x=0恒成立,

若“乃在［0,1］单调递增，则下列说法正确的是（）

A./⑺在［1,2］单调递减B./（2）=2

C./（2024）=2024D.1（2023）=1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.己知0<x<$则刀（1-3乃的最大值是.

Ill1

14.将（1+%）九（71EN*）的展开式中/的系数记为%p则心+瓦+口+…+荷石=

15.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆

的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示.已知6，尸2是双曲线

169

1的焦点，P是双曲线右支上一点，Q是的一个旁心，如图2所示，直线PQ与x轴交于

16.如图，在直三棱柱ABC-AiBiQ中，AC1BC,AC=1,

44=2,48=3,点E,尸分别是44「48上的动点,当GE+

EF+FBi的长度最小时，三棱锥当-C】E尸外接球球面上的点

到平面EFC］的距离的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c.己知a•sin(A+B)=c•cos?.

⑴求4;

(2)已知b=l,c=3,且边BC上有一点。满足S-BD=3SMDC，求》

18.(本小题12.0分)

n+1

已知等差数列｛册｝的前n项和为Sn,且=1』=7；数列｛b｝满足瓦+b2+-+bn=2-

2.

(1)求数列｛即｝和｛%｝的通项公式；

(2)记Cn=bn-tan(an7T),求q+c2+C3的值及数列｛c*｝的前3n项和.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱48。一41当。1中，底面AABC为等腰直角三角形，侧面A41cle，底面48C,

。为4c中点，AB-BC=>J_2,AA1=y/-5-

(1)求证：BDlAiD；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求二面角4-CG-B的余弦值.

条件①：&G1BjC；条件②：=BXC.

4£

20.(本小题12.0分)

某省2021年开始将全面实施新高考方案,在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采

用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原

始分从高到低划分为4B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、

13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.

该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进

行了等级转换赋分.

(1)某校生物学科获得4等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：

原始分9190898887858382

转换分10099979594918886

人数11212111

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X的分布

列和数学期望；

(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分丫服从正态分布N(75.8,36).若丫〜NO，/),令斗=

与匕则[〜N(0,l)，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划

线分大约为多少分？(结果保留为整数)

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独

立，记f为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(f=k)取得最大值时k的值.

附:若牛〜N(0,l),则P(〃W0.8)*0.788,P(T]<1.04)«0.85.

21.(本小题12.0分)

已知平面内动点p(x,y),P到定点F(，飞,0)的距离与p到定直线2：x=号的距离之比为雷.

(1)记动点P的轨迹为曲线c,求c的标准方程.

(2)已知点M是圆+y2=10上任意一点，过点M作做曲线C的两条切线，切点分别是4B,

求^M4B面积的最大值，并确定此时点M的坐标.

注：椭圆：W+\=l(a>b>°)上任意一点P3，y。)处的切线方程是：袈+等=L

22.(本小题12.0分)

若对任意的实数k，b,函数y-/(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数/'(x)为''恒

切函数”.

(1)判断函数/Xx)=炉是否为“恒切函数”；

(2)若函数/'(X)=；(e*-x-l)e*+m是"恒切函数"，求证：<mW0.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•集合A={xeN\x2-x-2<0}=(xG/V|-l<%<2}={0,1,2},

={x|-1<%<2},

・・・An8={0,1}.

故选：c.

求出集合4利用交集定义能求出4nB.

本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

2.【答案】C

…5hn后站2+i(2+0(l+2i)_51_.

“肝团/呻：—X_■_(l-2i)(l+2i)一用=I'

二复数Z的共钝复数为£=-i,

则3的虚部是-1,

故选：C.

求出z,求出z的共轮复数即可求出答案.

本题考查了复数的运算，考查共拆复数，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由已知|4+旬2=f+2五不+&2=],

因为同=网=I,所以，,b=—

所以日在3方向上的投影向量为萼

1川网2

故选：B.

先将M+力=1两边平方得到向量的数量积，再根据五在3方向上的投影向量公式得出结果.

本题考查了平面向量的投影向量公式，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，是基础题.

乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局

中乙胜，由此能求出乙至少赢甲一局的概率.

【解答】

解：甲、乙两人进行象棋比赛，

甲胜乙的概率为0.5,乙胜甲的概率为0.3,甲乙两人平局的概率为0.2.

甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，

由乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二

局中乙胜，

乙至少赢甲一局的概率为：p=0.3X0.3+0.3X0.7+0.7x0,3=0.51.

故选：C.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意可得：等腰三角形的每个底角为国产=72。，

由题可知：(；0536。=空口，可得cos720=2cos236。-1=一匚，

又正五边形的一个内角和72。互为补角，是108。，故cosl08。=—cos72。=上=，

4

故选：C.

等腰三角形的每个底角为隼至=72。，由COS36。：鸳匚，可求五角星中间的正五边形的一个

内角的余弦值.

本题考查三角恒等变换的应用，属中档题.

6.【答案】D

【解析】解：要比较a=6-)2-仇3,b=e—ln3,c=ez—2的大小，需要化简三个表达式为

x—仇式的形式，

222

因为a=6—ln2—ln3=6—仇6,b=e—ln3<3—bi3,c=e-2=e-Inef

考虑构造函数f(x)=x-lnxf则f'Qr)=1-:=

当X>1时，f'(x)>0,函数/(%)在(1,+8)上单调递增,

因为e2>6>3,所以e?—Ine2>6—ln6>3—Zn3>e—ln3,

所以c>a>b.

故选：D.

构造函数/(x)=利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解比较大小即可.

本题考查对数值的大小比较，函数的导数的应用，是中档题.

7.【答案】4

【解析】解：若几何体A-EBCO的体积为4「，3SDESC，九=4，耳，SDEBC=1(2+4)-2c=

6\/~3>

h=2,又4E=2,所以力'E1平面DEBC,乂DE1平面4BE,

则以E为原点，以EB,ED,E4分别为x,y,z轴建立坐标系，

因为B(0,2,0),C(-2/3,4,0).F(—G0,l)，

所以死=(-2】5,2,0)，=(-?,；,0)，

\DCI乙乙

五=丽=(C,2,-l)，|方|=33+4+1=2/7,a-c=-j+1=

所以d=J|五|2-0.?)2=J8一；=萼

故选：A.

由己知可得4E_1_平面£^8。，以E为原点,以EB,ED,E4'分别为x,y,z轴建立坐标系，利用向

量法可求F到直线BC的距离.

本题考查运算向量法求点到线的距离，考查运算求解能力，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：根据题意可得：抛物线C：y2=12x,

所以2P=12,p=6,所以焦点F(3,0),准线l方程为x=-3,

在RtAPMF中，\MF\=|PF|COSNPFM,MN

则而•而=|而|“而|COSNPFM=|MF『.

又RtAPMFsRt^NMP,则鼠=盟，则|MF|•|MN|=|PM『.

利用勾股定理得到而.前+\MF\'\MN\=\PF\2

所以标•PF+\MF\■\MN\=|MF|2+|PM|2=\PF\2.

过点P作准线1的垂直，垂足点为Q,如图，

以为|P用=|PQ],所以可知|PQ|>3,

所以而•时+|MF|•|MN|>9,由加•即+|MF|•|MN|>m(meR)得m<9,

故实数ni的最大值为9,

故选：C.

利用抛物线的定义数形结合求解.

本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：假设/<x2<­••<如，则原来的中位数为分=5,去掉右后，由于去掉的正好是平

均数，且是中间的数，

则平均数和极差(极差是极大值与极小值的差)不变，故A,C正确；

去掉数据5后，中位数为乱弃，这个值不一定为5,所以B不正确，

2

对于D,原来的方差为s2=2[(/一5)+(尤2—5)2+…+(见-5产+…+(xxl-5)2],

去掉%6后，新的方差/=噌[(%1—5)2+(%2—5/+…+(X5—5)2+(与—5)2...+(XJJ-5)2].

因为去掉的数据恰好等于平均值，有

2

01-5)2+(x2-5)2+…+(%6-5)2+…+(xn-5)=(%!-5)2+(x2-5)2+…+(x5-

5)2+(Xy—5)2...+(X11—5)2,

所以剩下的数据的方差增大，

故选：AC.

根据平均数.中位数.极差.方差概念求解即可

紧扣平均数.中位数.极差.方差定义和公式，属于简单题型

10.【答案】CD

2cosx,xe[―^+2kn,+2kn],kEZ

【解析】解:•・,/(%)=|cosx|+cos|x|=

0,xG(2+2kTC,■-F2/CTT),kEZ

・•・/(x)在区间尊阳上为常函数，4选项错误；

.••/(x)的周期为2兀，二B选项错误；

・•・/(x)的值域为[0,2],选项正确；

又易知f(-x)=f(x),二f(x)为偶函数,

f(x)的图象关于y轴对称，。选项正确.

故选：CD.

先去掉绝对值，将/。)转化为分段函数，从而可分别求解.

本题考查分段函数的性质，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：对于4圆的圆心到直线的距离为：亮=/克＞1,所以直线(与圆0相离，所以A

正确；

对于B,当4B为两定点时，如果两个定点是圆的直径上的两点，4B与直线垂直时，不可能有满

足44PB=3的点P,所以B不正确；

对于C,当|AB|=C时，此时圆的圆心到直线的距离为：只要4B与直线x+y-2=0不平行，

过4B的直线与直线x+y-2=0相交，此时|成+而|的值没有最大值，所以C不正确；

对于D,因为点P为直线x+y-2=0上，所以设P(t,2-t),

圆。：*2+.2=1的圆心为c(o,o),

所以P。中点坐标为弓,羊)，且俨。|=Jt2+(2—t)2,

所以以PO为直径的圆Q方程为(％_另2+(”等)2='+(泞,

即％2+y2-t%-(2-t)y=0,

圆Q与圆。的公共弦直线方程为比+(2-t)y-1=0,

即t(x—y)+2y—1=0,

令《71一=°0,解得x=y=宗

即直线以+(2-t)y-1=0过定点弓弓)，£＞正确.

故选：AD.

利用圆的圆心到直线的距离，判断4利用特殊点，判断B；利用特殊位置判断C的正误：求解相

交弦所在的直线方程，利用直线系转化求解即可判断D.

本题考查直线与圆位置关系的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：4若/(%)=%,则满足条件，而/(x)=x在［1,2］上单调递增，故A错误；

fiC.v/(l-x)-/(l+x)+2x=0,函数f(x)是R上的奇函数，

以x+1代替上式中的X,可得/'(-x)-/(x+2)+2(x+1)=0,

又/'(T)=

■-f(x)+/(%+2)=2(x+1),

令x=0可得f(O)+f(2)=2,(*)

对于f(l-x)-f(l+x)+2x=0,

令x=1可得f(0)—f(2)=-2,

与(*)联立解得/(0)=0,f(2)=2,

同理可得/(4)=4,

以此类推，/(2024)=2024.

因此BC正确.

。.对f(l-x)-/(I+x)+2x=0两边求导可得：

一/''(1-x)-/'(I+无)+2=0,

令％-o,可得r(i)-1,

:函数/(X)为奇函数，

函数/(X)为偶函数，

.­.f(x-l)+/,(l+x)=2,

以x+1代替上式中的x,可得尸(x)+f'(x+2)=2,

令x=l,可得=(1)+广(3)=2,

解得/'(3)=1,

以此类推，［(2023)=1.

因此。正确.

故选：BCD.

若f(x)=x,则满足条件，而f(x)=%在［1,2］上单调递增；对函数进行赋值，利用奇偶性找出函

数“X)满足“X)+/(2+x)-2(x+l)=0,再利用导函数改变函数奇偶性得到尸(x)+f(x+

2)-2=0,从而进行判断即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性的应用、转化方法，考查了推理能力与计

算能力，属于难题.

13.【答案】今

【解析】解：令/'(x)=x(l-3x)=-3x2+x=-3(x-1)2+

其图象为开口朝下，且以尤=J为对称轴的抛物线

O

又0<x<1.

.,.当x=2时，/(x)=x(l-3x)取最大值看

故答案为：今

构造函数/(x)=x(l-3x),根据二次函数的解析式与单调性的关系，我们易判断出函数f(x)=

x(l-3x)的性质，进而得到当0<x<"时，〃%)的最大值，从而得到答案.

本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据函数的解析式，分析出二次函数的图

象与性质是解答本题的关键.

14.【答案】瑞

r

【解析】解：(l+x)n(n>l,neN*)的展开式的通项为：Tr+1=C^x,

令r=2,可得Q九=鬣=1)，

ill12222

则石+石+石+…+石£=应+热+向+…+

2022x2003

2(1-；+泊+»什”+壶一壶)=2(1-盛)=瑞

故答案为：瑞

由题意，利用二项式展开式的通项公式求出an,再用裂项法求出所给式子和.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，用裂项法求和，属于中档题.

15.【答案好

【解析】解:双曲线会上1中a?=16,炉=9,所以a=4,

b=3,则c="。2+炉=5,

\MQ\_\MF2\_\MF\\_IMF1HMF2I_2c

由角平分线性质知:两=两T=西'=IPF1HPP2I=五

e

2愣5

而

b5故

C1-=-

e=-+-=-4

a24

5

4-

根据旁心为两外角和一个内角的角平分线交点，利用角平分线性质得到偶股1=g1由由

\PF\~,冉由

2|PF1|

合比性质、双曲线定义求结果即可.

本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】史卫

【解析】解：把平面441cle沿4必展开到与平面48当公共面的

A&Ci'C'的位置，

延长到BJ,使得=连结Bi'F,如图1所示，

则8iF=B/F,要使得C1E+EF+FB1的长度最小，则需CJ,E,

当,四点共线，

此时C1E+EF+FB]=C；E+EF+FBj=C/Bj,

因为G'Bi'=4,BB/=4,NB/BIG'=90。,

所以NBJ=乙BjCi'B[=45°,

所以BF=BB；=2,ArE=&C/=1,

「故AE=AF=1,Z.AFE=乙BFB[=45°,

所以4B/E=90。，EF=B/=2C，EBr=V_10,所以△B/E是直角三角形,

所以△EFB1的外接圆是以Ea的中点。为圆心，等=早为半径的圆

所以三棱锥Bi-GEF外接球的球心O'到平面EFCi的距离等于当到平面"Ci的距离八的一半，

由等体积法可得九=2,所以三棱锥当-GEF外接球球面上的点到平面EFQ的距离的最大值为

3,\4T02+\<T0

1+—=~T-

故答案为：二卫.

把平面TMiGC沿展开到与平面ABBMi共面的4Alei'C'的位置，确定当C/,E,F,四点共

线时，GE+EF+FBi的长度最小，求出此时的线段的长度，AEFBi的外接圆是以EB］的中点。为

圆心，等=子为半径的圆，三棱锥Bi-QE尸外接球的球心O'到平面EFC］的距离等于当到平面

EFCi的距离九的一半，利用等体积法求得无即可.

本题考查空间几何体的性质，求距离的最小值问题，考查空间想象能力，运算求解能力，属中档

题,

17.【答案】解：⑴因为tzsinC=ccosp

由正弦定理得sinAsinC=sinCcos^,

因为sinC>0,

所以si几4=cos?，

所以2siWcos齐cos今

因为0<4<*

所以cos"0,sin

所明=%

LO

所以4=宗

(2)解法一：设△"£>的AB边上的高为砥，△4DC的2C边上的高为九2,

因为SMBD=3s—DC，c=3,b=1,

所以gc•hi=3x,b•九2，

所以九1=九2,AD是△ABC角力的内角平分线，所以々BAD=30。,

因为S/U8O=3sMDC，可知SM80=4^^ABCf

1Q1

所以《ABxADxsin300=[xXACXsin600,

242

所以AD=浮.

4

解法二：设NB4D=a,aE(()W),

则4LMC=>%

因为S080=3s△人0「c=3tb=1,

所以gcxADxsina=3xxADxsin(^—a),

所以s讥Q=sin©-a),

所以sina=?cosa—|sina,即tana=?,4BAD=

30°,

因为S"BD=3s—DC，可知SfBD=彳SfBC，

1Q1

所以xADxsm30°=：x:ABxACxsm60°,

242

所以=注1

解法三：ViAD=x,/.BDA=a,贝IJNADC=兀-a,

在△ABC中，由c=3,b=1及余弦定理得a=「

因为SAABD=3SAADC，可知8。=3DC=—>

在44BD中，AB2=BD2+AD2-2BD-AD-cosa,

即9=77+AD2—警N-AD-cosa，

16L

在^ADC中，1=[+AD2—-AD・cos(7T—Q)，

162

即1=j+AD2+，-AD•cosa，

16L

所以

4

【解析】(1)由已知结合三角形内角和定理，诱导公式，和差角公式进行化简可求，

(2)法一：由SAABD=3SA.DC，c=3,b=1,结合三角形的面积公式可转化为高的关系，进而可

求，

法二：设NBAO=a(0<a<9,则功4C4-a,然后结合三角形面积关系可得sina=sin©-

a),结合和差角公式展开可求tana=?，再由"ABO=结合三角形面积公式可求，

法三：设4。=%,Z.BDA=a,则乙4OC=TT-Q,在△力BC中，由余弦定理求a,然后由=

3sA4DC，可知B。=3DC=彳，再由余弦定理可求

本题综合考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，

考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

2

18.【答案】解：(1)设等差数列5｝的公差为d,则优—4fs)7，

解得的=d=g,

所以an=g+(九—1)Xg

n+1

因为瓦+坛++bn-2—2>

所以当n=1时，瓦=2；

71

当n22时，瓦+历+…+bn-2"+i—2.(J),瓦+尻+…+bn-1=2—2,(2)1

n+1M

所以①-②得，bn=(2-2)-(2-2)=2",

显然瓦=2符合勾=2n,

综上可知心=2n.

n

(2)vcn=bn-tan(an7T),①由(1)知7=2-tany,c1+c2+c3=-2y/~3,

设%=C3n-2+c3n-l+c3n'

则%=23n-2Xyf3+2311Tx(-V3)+o=-y/~3X23n-2,

所以｛dn｝是以8为公比，-2/谷为首项的等比数列，

所以数列｛7｝的前3n项和为73n=-2坐-8")=2GL8").

1—87

【解析】本题根据等差数列的性质求出｛a,｝的通项公式，再利用递推公式求出｛%｝的通项公式：

再设％=C3n_2+C3ri-i+C3n,所以｛%｝是以8为公比，-2，豆为首项的等比数列,求Q+C2+C3

的值及数列｛呢｝的前3n项和.

本题考查数列的递推公式和数列求和，属于中档题.

19.【答案】证明：（1）因为4B=BC,。为4c中点，

所以8。VAC,

又因为面J•面ABC,面n面4BC=AC,BDu面4BC,

所以BC1平面441GC,

又占Du平面4&GC,所以BDJ.41D；

解：（2）选①，取&C]的中点E,连接当E,CE,

则4E//DC且&E=DC,

所以四边形4DCE为平行四边形，所以&D〃CE,

因为&Bi=BiG，E为41cl的中点，

所以4G1B]E,

又4iG_LB]C,B[CCB/=B],B[C,B】Eu平面CB】E,

所以4G平面C&E,

又4c〃&G，所以ACJ■平面CB1E,

又CEu平面CBiE,所以力CICE,

因为&O//CE,所以4C_L4i。，

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

由力B=BC=n,AAl=V_5,得AC=2,AID=2,

则。(0,0,0),5(0,1,0),C(-l,0,0),Ci(-2,0,2),则艰=(1,1,0),鬲=(—1,0,2),

因为BD_L平面/MiGC,

所以丽=(0,1,0)即为平面441GC的一条法向量,

设平面BCG的法向量为元=(x,y,z),

n-CB=x+y=0

则有可取元=(2,—2,1),

.n-CC1=—x+2z=0

则COS(ji,而〉=布而_-22

|n||DB|-1x33,

由图可知，二面角4一CG-B为锐二面角,

所以二面角A-CC]-8的余弦值为半

选②，取41cl的中点E,连接&E,CE,DE,

则4E//DC且&E=DC,

所以四边形4DCE为平行四边形，所以4D〃CE且4山=CE,

因为CiE〃DC且CiE=DC,

所以四边形&OCE为平行四边形，所以8D〃B]E且8。=BrE,

又因为所以CE1B1E,

又力&=BiC=\TS.BD=BiE=1，

所以CE=2,则&D=CE=2,

在△力O4中，因为+=4]42,

所以AD_La。，

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

下同选①的答案.

【解析】(1)根据面面垂直的性质可得BD1平面A&CiC,再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)选①，取&G的中点E,连接BiE,CE,证明4c_L&D,再以点。为原点，建立空间直角坐标

系，利用向量法求解即可；

选②，取&G的中点E,连接B1E,CE,DE,利用勾股定理证明力。1&C,再以点。为原点，建

立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：（1）由题知：随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.

根据条件得昭=0）=警=蒜=强;

505

P(X=

1)=%一120=12;

c|c|505

rD(fAV—一一=

2)-%一120=12;

33)=热—.

则随机变量X的分布列为

X0123

1551

p

12121212

数学期望E(X)=0x-^+lx^4-2x-^+3x-^=^.

(2)①设该划线分为zn,

由Y〜N(75.8,36)得〃=75.8,<r=6,

令匕=三丝

1o6

则V=6〃+75.8.

依题意P。>m)«0.85,

即P(6〃+75.8>m)=P(j]>空誉)。0.85,

因为当7?〜N(0,1)时，P(r]<1.04)x0.85,

所以PS>-1.04)*0.85,

所以”一I。生

6

故mx69.56.

・,・取?n=69.

②由①讨论及参考数据得P(Y>71)=P(6r)+75.8>71)=P(r)>-0.8)=P(rj<0.8)«0.788,

即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788,

故f〜B(800,0.788),=k)=C%0.788k(l-0.788)80°-fc.

|P(f=k)>P(f=k-1),

出lP(f=k)>P(f=k+1),

伴0。.788气1-0.788)8。。-">面-0-788严一”，

l1fc+17fc

KoO.788/1-O.788)8oof>C^ooO.788(l-0.788)"-,

解得630.188<k<631.188,

又keN,所以k=631,

故当k=631时，P(f=k)取得最大值.

【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，正态分布的概念、性质与应用，属于中

档题.

(1)结合题设条件先得到随机变量X的所有可能的取值，然后结合概率计算公式求得随机变量X的

可能取值对应的概率，最后列出分布列，结合期望计算公式代入计算即可；

(2)①设该划线分为由丫〜N(75.8,36)得〃=75.8,=6,由〃=一=上誉,则丫=6〃+75.8,

转化求解小即可.

②由①讨论及参考数据得P(Y>71)=P(6T;+75.8>71)=P(7)>-0.8)=P(rj<0.8)»0.788,

k80fc

得到f〜8(800,0.788),P(f=k)=C^)oO.788(l-0.788)0-.

由朦=2!*求出k的范围，即可推出结果.

=k)>=k+1),

21.【答案】解：(1)设d是点P到直线%=等的距离，

根据题意，动点P的轨迹就是集合P={M|等=年}.

由此得J(7?)2+y2;号,

厚r|2

化简得<+4=1.

oZ

(2)设4。1％),8(如丫2)，时值加,则加+羽=10,

切线M4方程：平+#=1,切线MB方程：等+孚=1,两直线都经过点M,

oZoZ

所以，得竿+华=1,等+第=1

所以直线ZB的方程是：萼x+与y=l,

oL

f比

+

i-XZO2y-

d8

nrl

+21

lX2-y万=

8

由韦达定理，得X1+%2=肃簿，X/2=*就%+10，

I,16xo、，_464-32%_2E（3羽+2）

-

\AB\=J1+（一卷）2.%一X2IJ（3%+10）3y2+103y2+10-，

点M到直线4B的距离d=用、。+矍％一"=泻一"=单皙型=1；。-%+4%一8|=3?+2,

J（第2+（当产1.+16%J琢+16*J1。-%+16%辿2+3-

3

所以SAMA"扪8|〃=音磊1其中,代处

4yQ■U

令t=J3光+2,则

所以S^/VMB=片;，

令/（t）=嘉，则吃“4+2牝2）

“2+8）20,

所以/'（t）在tG44^］上递增,

所以t=4，1,即%=1。时，AMAB的面积取到最大值差此时点M（0