《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算2.1线性方程组和矩阵2.2矩阵的运算2.3逆矩阵2.4克拉姆法则2.5矩阵分块法§1

线性方程组和矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换定义1

设有n

个未知数m

个方程的线性方程组一、线性方程组其中aij表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient),bi是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m，j=1,2,…,n.（1）

b1,b2,…,bm

不全为零时，方程组（1）称为n元非齐次线性方程组(systemofnon-homogeneouslinearequations).b1=b2=…=bm=0

时，方程组（1）成为（2）称为n元齐次线性方程组(systemofhomogeneouslinearequations)..

对于齐次线性方程组（2）,x1=x2=…=xn=0

一定是它的解，称为方程组（2）的零解(nullsolution)；如果存在不全为零的数是（2）的解，则称为其非零解(non-zerousolution).n元线性方程组通常简称为线性方程组或方程组.

（1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解.

例如非齐次方程组可能有解可能无解.线性方程组的研究内容：是否有解？有解时它的解是否唯一？如果有多个解，如何求出其所有解？问题的答案都取决与方程组（1）的m×n个系数aij(i=1,2,…，m，j=1,2,…,n)与常数项b1,b2,…,bm

所构成的m行n+1列的矩形数表齐次方程组（2）的相应问题取决于m行n列数表b1

b2...bm

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作二、矩阵(Matrix)的定义A=简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.A=行数可不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：三、特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵(diagonalmatrix)

特别的，方阵称为单位阵(unitmatrix),记作记作．形如下面两个矩阵的方阵称为上三角矩阵(uppertriangularmatrix)．5.形如下面两个矩阵的方阵称为下三角矩阵(lowertriangularmatrix)．6.若方阵中,则称为对称矩阵(symmetricmatrix)．即例如7.如果方阵中,则A称为

反对称矩阵(antisymmetricmatrix)．即例如同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如例1对于非齐次线性方程组（1）四、应用举例

有下列几个矩阵x1

x2...xm

x=未知数矩阵b1

b2...bm

b=常数项矩阵A=b1

b2...bm

B=系数矩阵增广矩阵第i市到j市有单程航线用1表示，无单程航线用0表示，则得到一个数表：②①③④②①③④例2

某航空公司在四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.②①③④图2.1若令则图2.1中的航线可表示成下列矩阵其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例3

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.五、矩阵与线性变换

n个变量与m

个变量之间的关系式系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.2例4

线性变换称为恒等变换.对应

单位阵

En恒等变换对应投影变换例5

2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j

角的旋转变换例6

2阶方阵小结1.矩阵的定义2.特殊矩阵4.矩阵与线性变换行（列）矩阵单位矩阵零矩阵对称矩阵反对称矩阵3.同型矩阵，矩阵相等对角矩阵三角矩阵§2

矩阵的运算例1

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第

j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j

种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例2求A+B，其中解：知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例1（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．二、数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为2结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例1（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，三、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例2设求解：则因此知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例3结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5)方阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立练习求A+2B

和BC.四、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

.例4转置矩阵的运算性质分析：设则而又如果，不可乘.但有意义.例5已知解法1解法2定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵例5

设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式令，则

C=(cij)=AB．从而．定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式

Aij

所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵(adjointmatrix).

.元素的代数余子式位于第j行第i列注：1.只有方阵才有伴随矩阵.

2.与的阶数相同.六、方阵的伴随矩阵例2：求3阶方阵的伴随矩阵.解：性质证明：令

则

2小结1.矩阵的运算线性运算加法数乘幂运算2.方阵乘法运算转置运算伴随矩阵行列式作业P52:1(2)(4)§3

逆矩阵矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是n阶方阵.

从乘法的角度来看，n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位．一个复数a

≠0的倒数a－1可以用等式aa－1

=1来刻划.类似地，我们引入对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A，都有定义：

n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵， （inversematrix）记作A－1.一、逆矩阵的定义下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A－1

？二、矩阵可逆的条件复习：行列式的按行展开定理结论：，其中当时，上式改写为令，则存在方阵B使得定理1：若，则方阵A可逆，而且推论：若，则.证：由得

即故结论成立.

例1：求二阶矩阵的逆矩阵.解:故.例2：求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=1，则方阵A可逆此时，称矩阵A为非奇异矩阵定理2：若方阵A可逆，则．解：因为可逆,必存在方阵使得

于是

故

结论2:

对于n阶方阵A、B，如果那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.

证明同上.

结论1：方阵A可逆的充要条件是.

推论2：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且三、逆矩阵的性质

证：先证

再证

最后证5、几个常用公式证：设Ａ是ｎ阶的方阵．

即方法一：存在.求例3设A为3阶矩阵

解:由于方法二解存在.解法三先左乘A的行列式解例4解矩阵方程

解：设

则原方程可改写为又因为所以都可逆,于是

即而例5设

求

解：因，故Ｂ可逆，且

于是

性质1：若

则

即

对角阵的性质

性质2：若

则

即

性质3：若

则

例6设

且AB

E

A2

B

求B

解：由AB

E

A2

B得

AB

B

A2

E

即(A

E)B

(A

E)(A

E)

因为

所以A

E

可逆

从而线性变换的系数矩阵为n阶方阵A

，若记则上述线性变换可记作Y=AX.

§2.3逆矩阵（续）

例7设线性变换的系数矩阵是一个3阶方阵记求变量y1,y2,y3

到变量x1,x2,x3的线性变换。则上述线性变换可记作Y=AX．分析：求变量y1,y2,y3

到变量x1,x2,x3的线性变换相当于求A的逆矩阵.解：由例2已知，于是，即或定义设

是复数域上的多项式，称

为矩阵A的m次多项式.则四、矩阵多项式（polynomialofmatrix）性质设是复数域上的多项式，证：证：例8设AP

P

其中

求

(A)A8(5E

6A

A2)

解:由于

(

)

8(5E

6

2)

diag(1

1

58)[diag(55

5)

diag(

6

6

30)

diag(1

1

52)]

diag(1

1

58)diag(120

0)

12diag(1

0

0)

所以

(A)P

(

)P

1小结概念矩阵可逆的条件一、可逆矩阵性质应用二、矩阵多项式—解矩阵方程求法(伴随矩阵法)作业P54：21,22

§4

克拉默法则简介克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer‘sRule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则（Gramer’sRule）如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：方程组有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)给出.这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.例1解线性方程组解（2）用逆矩阵法因故A可逆，于是即二、克拉默法则的等价命题定理4

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理4′

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是一个解，称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.定理5

如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.定理5′

如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零例2问取何值时，齐次方程组有非零解？解如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.课堂练习用克拉默法则和逆矩阵法求解线性方程组1.用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．小结作业P54：15（1）§5矩阵分块法前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？一、分块矩阵的概念

定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块(matrixpartition)；每一个小块称为矩阵的子块（block）；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵(blockmatrix/partitionedmatrix).这是2阶方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵．问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.1、分块矩阵的加法二、分块矩阵的运算

定理1

若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！2、分块矩阵的数乘定理2

若l是数，且

则有形式上看成是普通的数乘运算！3、分块矩阵的乘法定理3设A为m

l矩阵，B为l

n矩阵

，把A、B分块如下：例1设有求－４A+B和AB.解：用分块矩阵运算，令则则于是故2）而于是4、分块矩阵的转置若，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．5、分块对角矩阵定义：设A

是n

阶矩阵，若

A

的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称A

为分块对角矩阵．例如：分块对角矩阵的性质|A|=|A1

||A2

|…|As

|若|As

|≠0，则|A|≠0，并且证：例2:设，求

A－1

．解：例3设，求

|A5

|和A4.

解：则因所以因所以或例4

证

Am

n

=Om

n的充分必要条件是方阵ATA

=On

n

．证明：把A按列分块，有于是那么即A

=O

．三、按行分块以及按列分块m

n矩阵A有m行n

列，若将第i行记作若将第j列记作则行分块矩阵列分块矩阵于是设A为m

s矩阵，B为s

n矩阵，若把A按行分块，把B按列块，则小结一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算加法数乘乘法转置三、特殊的分块矩阵行分块矩阵列分块矩阵对角分块矩阵(性质)作业P55：

25、28（1）第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

一、

矩阵的初等变换二、矩阵的秩

三、线性方程组的解

第一节

矩阵的初等变换

一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用知识点回顾：克拉默法则结论

1如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P.24定理4）结论1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.（P.24定理4'）设用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.线性方程组的解受哪些因素的影响？引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等变换①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

为自由变量，则令x3=c

，则恒等式①②③④三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.

其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换(elementaryrowtransformations)

：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换

．初等行变换初等列变换初等变换kkkkkkkk增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.①②③÷2①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5

对应方程组为令x3=c

，则备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法 ＋数乘矩阵、矩阵乘法 ×矩阵的转置 T（上标）方阵的行列式 |∙|不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换有限次初等行变换有限次初等列变换A,B行等价，记作A,B列等价，记作二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．行阶梯形矩(Row-EchelonForm)可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵(Row-SimplestForm)行阶梯型矩阵若满足：1.非零行的首个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵（NormalizedForm）左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.行最简形矩阵(Row-SimplestForm)行阶梯型矩阵若满足：1.非零行的首个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.故行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系

1≤r≤min{m,n}.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换191将下列矩阵化为标准形.例2解192课堂练习1：用初等变换将下列矩阵化为标准形矩阵.§3.1.2矩阵的初等变换(下)上节内容回顾一、初等变换的定义二、矩阵的分类三、三种特殊矩阵一、初等变换的定义对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：有限次初等行变换有限次初等列变换A,B行等价，记作A,B列等价，记作二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.三、三种特殊矩阵标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.行阶梯形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系其中1≤r≤min{m,n}.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（elementerymatrix）.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调单位阵的两行（列）；(2)以常数

k≠0

乘单位阵的某一

行（列）；(3)以

k

乘单位阵单位阵的某一

行（列）加到另一

行（列）

．四、初等变换与矩阵乘法的关系(1)对调单位阵的第

i,j行（列），记作

E5(3,5)记作

Em(i,j)．(2)以常数

k≠0

乘单位阵第

i行（列），记作

E5(3(k))记作

Em(i(k))．(3)以

k

乘单位阵第

j行加到第

i行,记作

E5(35(k))记作

Em(ij(k))．

以

k

乘单位阵第

i列加到第

j列．?两种理解！1.定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调单位阵的第

i,j行（列），记作

Em(i,j)．i行i列j行j列207(2)以常数

k≠0

乘单位阵第

i行（列），记作

Em(i(k))．208(3)以

k

乘单位阵第

j行加到第

i行,记作

Em(ij(k))．结论把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.性质1

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.初等变换初等变换的逆变换初等矩阵?因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵结论2把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.性质1

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.性质2

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2,…,Pl

．证:先证充分性.设存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使得

A=P1

P2,…,Pl

．因为初等矩阵可逆，所以有限多个初等矩阵的乘积仍可逆，故A可逆.

再证必要性.设n

阶方阵A可逆，且A的标准形矩阵为F.由于A～F，知F可通过有限次的初等变换可化为A，即有初等矩阵P1,P2,…,Pl，使得因为A可逆，P1,P2,…,Pl也都可逆，故标准形F也可逆.假设中r<n，则｜F｜=0，与F可逆矛盾.故r=n,即F=E，

从而A=P1

P2,…,Pl.#性质2

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2,…,Pl

．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．.定理1

设A,B都是m×n矩阵，则

(1)的充要条件是存在可逆矩阵Pm

，使得PA=B；(2)的充要条件是存在可逆矩阵Qn

，使得AQ=B；(3)的充要条件是存在可逆矩阵Pm

，及可逆矩阵Qn

使得PAQ=B；推论1

方阵

A可逆的充要条件是.证：方阵

A可逆存在可逆方阵

P，使得推论2

方阵

A可逆的充要条件是.推论3

方阵

A可逆的充要条件是.问：PA=B，

则如何求可逆矩阵P？分析：PA=B

有限次初等行变换四、初等变换的应用1)已知矩阵A和B，求可逆矩阵P，使得PA=B.

方法：

例3解：故

方阵

A可逆有限次初等行变换2)求可逆矩阵A的逆矩阵.利用初等变换求逆阵的方法：初等列变换初等行变换231

解例4232课堂练习2：用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵.初等行变换3)求A-1B.

方法：

例5解列变换行变换总结（一）初等变换与矩阵乘法的关系定理1

设A,B是一个m×n矩阵，则

(1)的充要条件是存在可逆矩阵P，使得PA=B；(2)的充要条件是存在可逆矩阵Q，使得AQ=B；(3)的充要条件是存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B；

推论1

方阵

A可逆的充要条件是.推论2

方阵

A可逆的充要条件是.推论3

方阵

A可逆的充要条件是.初等列变换初等行变换（二）初等变换法求逆矩阵（三）初等变换的其他应用初等行变换列变换行变换作业P78:4(2),5(2)第三章线性方程组§3.2矩阵的秩矩阵的秩的引入任何矩阵行阶梯形矩阵有限次初等行变换r唯一确定一、矩阵的秩(RankofMatrix)的概念定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式（

）．＊m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式是矩阵A的一个2阶子式例如与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A

的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式问：所有r+1阶子式全等于零，那么

矩阵A

的最高阶非零子式阶数恰好是r？

定义2设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．定义3

设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．例1

求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且

|A|=3-40+42-36+35-4=0，

因此R(A)=2．解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．注：

(1)若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则R(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则R(A)<t

．(2)若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|． 当|A|≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵（fullrankmatrix）． 当|A|=0时，R(A)<n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵（reducedrankmatrix）．(3)若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．(4)R(AT)=R(A)．矩阵A的一个2阶子式矩阵AT

的一个2阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．二、矩阵的秩的计算例2求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B的充分必要要条件是

R(A)=R(B)

．证明思路：证明A

经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．

B

也可经由一次初等行变换变为A，则R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．设A

经过初等列变换变为B，则AT

经过初等行变换变为BT

，从而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．第1步：

A

经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明：设

R(A)=r，且A

的某个r

阶子式D≠0．当或时， 在B

中总能找到与D

相对应的r

阶子式D1． 由于D1=D或D1=－D或D1=kD，因此D1≠0，从而

R(B)≥r．当时，只需考虑这一特殊情形．返回第1步：

A

经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明（续）：分两种情形讨论：(1)D

中不包含r1中的元素 这时D

也是B

的r

阶非零子式，故R(B)≥r

．(2)D

中包含r1中的元素 这时B

中与D

相对应的r阶子式D1为若p=2，则D2=0，D=D1≠0，从而R(B)≥r；若p≠2，则D1－kD2=D

≠0， 因为这个等式对任意非零常数k

都成立， 所以D1、D2

不同时等于零， 于是B

中存在r

阶非零子式D1或D2，从而R(B)≥r， 即R(A)≤R(B)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例2：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．分析：对B

作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B

的行阶梯形矩阵为，则就是A

的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例3设，求矩阵A

及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3矩阵的秩的性质若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，则R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，则R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特别地，当B=b

为非零列向量时，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nB