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文档简介
第四章
数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式学习任务1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.(数学抽象)3.会求等差数列的通项公式.(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式解决相关问题.(数学运算、数学建模)必备知识·情境导学探新知01观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题.1.我国有用十二生肖纪年的习惯,例如,2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077,….2.某个电影院设置了20排座位,这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列:38,40,42,44,46,….3.全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5.以上三个问题中的数蕴含三个数列,你能找到它们的共同规律吗?知识点1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_项起,每一项与它的______的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个____叫做等差数列的公差,公差通常用字母__表示符号语言an+1-an=d(d为常数,n∈N*)2前一项同一个常数常数d思考等差数列的定义中,为什么要“从第2项起”?[提示]第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.知识点2等差中项(1)条件:如果a,A,b成等差数列.(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是
___________.知识点3等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式an=________________.a+b=2Aa1+(n-1)d1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等差数列{1-3n}的公差d=1. (
)[提示]数列{1-3n}的公差为-3.(2)所有的等差数列都有通项公式. (
)[提示]由等差数列的定义可知正确.×√1234
√
12343.(多选)下列数列是等差数列的是(
)A.0,0,0,0,0,… B.1,11,111,1111,…C.-5,-3,-1,1,3,… D.1,2,3,5,8,…AC
[根据等差数列的定义可知A,C中的数列是等差数列,而B,D中,从第2项起,后一项与前一项的差不是同一个常数.]√√12344.等差数列-3,-1,1,…的通项公式为an=________.2n-5
[由题知,a1=-3,d=2,所以an=-3+(n-1)×2=2n-5.]2n-51234关键能力·合作探究释疑难02类型1等差数列的通项公式的有关运算类型2等差中项的应用类型3等差数列的判定与证明
(2)已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
反思领悟
求等差数列的通项公式的两种思路(1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.(2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式.注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的形式,不必保留a1+(n-1)d的形式.
10(2)已知a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=________;
类型2等差中项的应用【例2】
(1)如果3是2a与a-6的等差中项,则a的值为(
)A.-1 B.1C.3 D.4D
由条件知2a+(a-6)=3×2,解得a=4.√(2)一个等差数列的前4项是1,x,a,2x,则x=________.
2
发现规律
等差中项应用策略(1)求两个数x,y的等差中项A,即根据等差中项的定义得A=____.(2)证三个数成等差数列,只需证中间一个数为两边两数的等差中项,即若a,b,c成等差数列,则有_________;反之,若_________,则a,b,c成等差数列.
a+c=2ba+c=2b[跟进训练]2.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
反思领悟
等差数列的三种判定方法(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.
学习效果·课堂评估夯基础0312341.(多选)下列数列中,是等差数列的是(
)A.1,4,7,10
B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2ABD
[选项A,B,D满足等差数列的定义,是等差数列;选项C中,因为24-25≠23-24,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.]√√√2.在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(
)A.6 B.8C.16 D.32B
[因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8.]1234√3.(多选)已知数列{an}满足an+1=an-3,n∈N*,a1=27,则下列说法正确的是(
)A.该数列为等差数列
B.公差为3C.a5=15 D.-3是该数列的第11项ACD
[由条件可知an+1-an=-3,∴该数列为等差数列,公差为-3,这时an=-3n+30.∴a5=-3×5+30=15,又由-3n+30=-3得n=11,故ACD正确.]1234√√√4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为________.12343
回顾本节知识,自主完成以下问题:(1)等差数列的概念中,应从哪几个方面理解?[提示]等差数列的概念是非常严密的,要抓住“从第2项起”“后项与前项的差
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