注重数学的整体性提升系统思维水平朝阳

例1从数及其运算看数学的整体性在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义。然而，0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。第一页第二页，共61页。数系扩充中的基本思想数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。数系的扩充：引入一种新的数，就要定义其运算；定义一种运算，就要研究其运算律。扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。运算是代数中的核心问题。第二页第三页，共61页。数系扩充的整体结构背景引入（现实、数学内部）、定义和表示（抽象的过程）——分类、性质、运算（推理活动）——联系及其应用（建模活动）。研究一个数学新对象的基本套路。第三页第四页，共61页。数列课程内容的设计思路学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。第四页第五页，共61页。内容和要求（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等差数列、等比数列①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。第五页第六页，共61页。对内容的理解数列的概念和表示——注意从函数的研究中得到启发；等差数列：概念、表示（通项公式）、性质（等差中项），等差数列的“原型”就是自然数列{n}；等差数列的前n项和公式：从概念和性质中推出的自然结果；应用——作为知识的联结点。第六页第七页，共61页。等差数列的概念和通项公式如何教概念？问题观察下列数列，你有什么发现？（1）0，5，10，15，……；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……；（3）0，2.5，5.0，7.5，……追问：是相邻两项的差吗？从第二项起……这个问题能引出等差数列的概念吗？第七页第八页，共61页。问题不恰当：（1）对概念理解不到位——“等差”是由运算引发的！等差数列是一类特殊的数列，“考察特例”是一种“基本套路”；（2）对教材不理解——教材是这样开头的：初中学了实数及其运算、性质。现在我们面对一列数（数列），能不能也像研究实数一样，研究它的项与项的关系、运算和性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；（3）对学生不理解——这些数列的共同特征不只是“等差”，没有从关系、运算等作必要引导，学生的观察没有方向。第八页第九页，共61页。如何教通项公式？什么叫“通项公式”？——研究一个数学对象的“基本套路”是：获得对象（下定义）—表示对象—研究性质—建立与相关知识的联系。“通项公式”——等差数列的一种表示，就像函数的解析式一样，要回答的是“第n项an与序号n的关系”。“求通项公式”——从定义出发。第九页第十页，共61页。等差数列的性质运算中出现的规律性——有了运算，数的力量无限。最简单的等差数列：三项——“等差中项”；如何看“等差中项”？——平均数！当m+n=p+q时，am+an=ap+aq

；……第十页第十一页，共61页。前n项和公式的教学设计作为自然数列性质的自然延伸、一般化——将a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+…+n=

？有多种角度：“平均数”，不同数求和化归为相同数求和，等；“平均数”本质上是等差数列的性质：am+an=ap+aq

，当m+n=p+q时——这是“倒序求和”技巧的源头。第十一页第十二页，共61页。教学设计思路总体思想：希望学生领悟到“倒序求和”技巧的来源。问题1高斯是如何求出1+2+…+100的？问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列1，2，3，……的什么特性？问题3你能用高斯的方法求1+2+…+101吗？问题4如何用高斯的方法求1+2+…+n？问题5一般地，设公差为d的等差数列{an}，你能求出Sn=a1+a2+…+an吗？（什么叫求Sn？）第十二页第十三页，共61页。回到概念去，回到基本性质去——返璞归真，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。“倒序求和”是雕虫小技！第十三页第十四页，共61页。二、关于系统思维的培养数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。第十四页第十五页，共61页。例“三角形”研究中的系统思维定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；——明确研究对象基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于180°”等；研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；第十五页第十六页，共61页。三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；三角形的变换（如相似三角形等）；直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。第十六页第十七页，共61页。把三角形作为一个系统进行研究明确研究对象（定义、表示、分类）

——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系；定性研究（相等、不等、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。第十七页第十八页，共61页。培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。第十八页第十九页，共61页。什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？第十九页第二十页，共61页。从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。第二十页第二十一页，共61页。从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素间确定的关系也是性质。第二十一页第二十二页，共61页。两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。第二十二页第二十三页，共61页。圆的几何性质要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；相关要素：弦、圆周角……你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？第二十三页第二十四页，共61页。同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？第二十四页第二十五页，共61页。如何引导学生观察几何体的结构特征棱柱要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高……要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱……特例：长方体——正方体，平行六面体……第二十五页第二十六页，共61页。直线与平面平行的性质位置关系：直线l

∥平面α；其他事物：直线、平面；命题：（1）如果

a∥l，那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α

，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；第二十六页第二十七页，共61页。（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。第二十七页第二十八页，共61页。（9）与“公理”相联系，直线l与平面α

内任意一点A确定一个平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

内，则或者m∥l，或者m与l是异面直线。（11）直线m与直线l异面，则过直线m有且只有一个平面与直线l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。第二十八页第二十九页，共61页。从培养系统思维的要求出发设计教学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。——数学化的过程第二十九页第三十页，共61页。关于正弦定理、余弦定理的教学教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：如何发现问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。第三十页第三十一页，共61页。如何研究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。第三十一页第三十二页，共61页。对于“解三角形”，你会哪些知识？——会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角——化归为直角三角形。还有没有其他方法？——从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？第三十二页第三十三页，共61页。你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？第三十三页第三十四页，共61页。一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。第三十四页第三十五页，共61页。二元一次不等式表示平面区域如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般——强调归纳的过程。直角坐标系中，方程x－y－6=0的解为坐标的点在直线l上；同时，直线l上的点的坐标都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新问题？第三十五页第三十六页，共61页。(x0,y0)不在直线l上，则x0－y0－6≠0——x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。坐标平面被直线x－y－6=0分成三个部分，它们与x－y－6＞0，x－y－6=0，x－y－6＜0有什么关系呢？任意取点，代入，找规律——发现“同侧同号”。第三十六页第三十七页，共61页。如何证明“同侧同号”点P0(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用数量关系表达？y

P(x0,y0)·

O

x第三十七页第三十八页，共61页。获得证明思路的关键对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度；对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识；在直角坐标系中，几何方位的代数化——以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左右”的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。第三十八页第三十九页，共61页。三、充分重视教育信息化信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视。要通过教育信息化体系的建设促进教育内容、教学手段和教学方法的现代化。要强化信息技术应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果。鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题的能力。

——《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010－2020年）》第三十九页第四十页，共61页。课堂教学中强化信息技术的应用，是建设创新型国家的需要，与国家的未来发展、学生的未来前途命运高度相关。因为信息技术本质上是“数学技术”，所以在提高学生利用信息手段自主学习，增强运用信息技术分析解决问题的能力上，数学课程负有更大的责任。数学教学中使用信息技术是天经地义的，广大中学数学教师应当对此作出积极回应。第四十页第四十一页，共61页。如何理解“信息技术”？信息技术不同于“人造工具”。它是高科技产品，体现了人类强大的创造力，聚集了人类智力活动的最高成果，是“人造工具”和“智力技能”的综合——“硬件”是人造工具，“软件”是智力技能，只有在两者综合一起时，信息技术才能发挥作用。第四十一页第四十二页，共61页。人类是一种科技的动物；人类社会进步以技术进步为标志；技术的进步使人类生活越来越容易——人类为了使自己更省时省力且可靠地做事而不断地发明工具。第四十二页第四十三页，共61页。在数学教育中使用技术从上世纪70年代初开始，数学和数学教育在不断地引进信息技术：算术四则运算计算器，然后是科学计算器、各种微机应用软件、图形计算器和CAS的手持计算器等。目前，发达国家在课堂中使用图形计算器已成为常态，而且考试中也允许使用。第四十三页第四十四页，共61页。计算机代数系统、统计分析系统和动态几何系统等技术，已变得越来越有用且便宜，因而被不断地应用到数学教学和学习中。现在已经出现了许多功能强大、用途明确的数学应用软件，包括Mathematica、Matlib、电子制表软件、统计分析系统、z+z超级画板、动态几何系统软件（如Cabri-Geomètre）、几何画板等。第四十四页第四十五页，共61页。信息技术能给予教学全方位的支持，教师和学生可以利用技术的强大功能，做过去课堂中完全做不到的事情。例如，TI-nspireCAS计算器的功能设计具有如下特点：为数学学习提供“应用套件”，形成数据、图形、方程、模型（函数）等的联动，真正实现代数、几何、数据处理等不同数学分支的融合，为学生的探究活动提供强大的技术支持，为有不同认知风格、不同表达习惯的学生提供数学理解的机会；第四十五页第四十六页，共61页。生成tns格式的文件，真实、完整地记录作业过程，给教师和学生自己分析学习过程提供了依据，也提供了方便；利用局域网络系统为数学课堂营造即时互动、共同学习的环境，帮助教师观察学生的学习过程，为师生、生生交流互动提供了有力工具，教师可以即时了解学生的学习情况，展示学生作业，有针对性地进行作业讨论、评价，利用课堂生成的教学资源，启发思维，促进理解——改变了课堂生态；第四十六页第四十七页，共61页。利用配套数据收集工具收集真实反映事物变化状况的数据，即时传导，并用图形、数据表等方式记录和显示，数据的收集和变化可以实现动态关联，从而让使用者能从多角度开发和利用数据。第四十七页第四十八页，共61页。教育技术的设计理念从学生学习需要出发，为学生提供内容丰富、形象化、动态化的学习工具，帮助学生理解数学，提高学习效率和效果。第四十八页第四十九页，共61页。信息技术对数学教育发展的影响信息技术不仅是工具，也是数学的一部分。信息技术是一种认知工具。信息技术可以促进教学内容的变革，可以减少与“体力劳动”相关的内容，增加与“脑力劳动”相关的内容；信息技术可以消除运算能力弱而带来的学习差异；信息技术可以让学生有更多的时间用于理解数学本质，更有效地培养学生的想象力和创造力；信息技术可以在学习方式变革（独立思考、自主探究、合作交流等）中扮演重要角色。第四十九页第五十页，共61页。数学课程的设计，应该以“纯粹数学”为载体（数学课要教数学——如果想让学生学会数学，那么我们就必须在课堂上教真正的数学），以培养学生的思维能力为核心，为学生构建有价值的（实用价值和精神价值）、富有挑战性的数学学习过程。从学生的长期利益出发，为了使学生获得信息化社会的生存技能和人生幸福，必须促使学生认识到数学在“信息技术社会”中的重要性，增强学生有效使用数学的思想、方法和技术处理问题的自信心，使他们在利用技术学习数学的过程中，自然地、水到渠成地掌握信息技术。第五十页第五十一页，共61页。为什么要把使用信息技术作为一项数学活动？——因为它已经在深刻地影响着数学和数学教育的发展进程；技术已成为数学的一部分；就像现在数学教师已经习惯使用PPT、几何画板等一样，借助信息技术以获得结果也将成为数学教学和学习的一部分。第五十一页第五十二页，共61页。信息技术的恰当使用数学教学中使用信息技术有利有弊——重要的是了解信息技术对学生掌握数学知识的影响方式，趋利避害。信息技术的一个关键特征是它运用数字、图形和符号，为抽象的数学理论构建了一个直观、动态的模型。解题——直接得到结果——计算能力、推理能力下降（？）第五十二页第五十三页，共61页。现实观念上认同，实施中不用——高考不能用！信息技术被广泛地用于工作、个人生活和教育情境中，已经成为信息和知识的生产、使用、存储、评价、分析和交流的组成部分。因此，掌握使用信息技术的技能，就象学会说话一样的重要。熟练掌握各种信息技术意味着有更多的机会。不是“用不用”，而是“如何用得更好”！第五十三页第五十四页，共61页。使用技术的理由（1）改善了传统数学内容的教学——例如，信息技术使对应关系变得“可操作”、“可视化”，强大的作图和图形变换功能使图像的动态演示变得“唾手可得”，因此函数概念的教学变得容易了；（2）为数学内容的重新选择和组织提供了机会——如微积分、统计、概率等将大量进入，而传统的初等数学内容将被精简；（3）为由于过难而无法进行有效教学的重要数学思想的教学提供了途径——例如在信息技术支持下，“逼近”的过程得到直观显示，而使极限思想的教学变得容易了；第五十四页第五十五页，共61页。（4