第十三章轴对称分类训练人教版八年级数学上册

第十三章轴对称专题训练专题1利用“三线合一”作辅助线例.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证：(1)DE=DF;(2)DE⊥DF.1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF.2.如图，在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于点D,试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系，并说明理由。3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于点D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度数.4.如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上，AD=AC,BE⊥CD交CD的延长线于点E.(1)求∠BCD的度数；(2)求证：CD=2BE.专题2角平分线模型例1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G,求证：(1)BF=CG(2)AB+AC=2AF1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC的延长线上的一点，连接BD,点E在线段DB上，且∠BAC=∠CED,连接AE,判断∠AEB与∠AEC的关系，并证明.2.(1)如图1,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到AB的距离是______,：AP平分∠BAC.例2.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足为E.求证：BD=2CE,1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作AF⊥BD于点F,在BD的延长线上取一点E,使∠ACE=∠FAD.求证：BD=2CE.2.如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于点M.求证：EM=2OF.3.如图1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB=12∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延长线上.(1)如图2,当点D与点C重合时，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论；(2)若点D不与点B,C重合，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论.4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。(1)如图1,BD平分∠ABC交AC于点D,F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AF⊥BD,求证：AD=CF;(2)如图2,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E.探究线段CE和BD的数量关系，并说明理由；(3)如图3,F为BC上一点，∠EFC=12例3.如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°.1.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的长.2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上，且∠EAC=2∠EBC.求证：AE+AC=BC.3.如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，AD=CD=CB.(1)求证：CD平分∠ACB;(2)点E在AC上，EF⊥CD交BC于点F.求证：AE=DB+BF.5.在四边形ABCD中，AE平分∠BAD,E为BC的中点，∠AED=a.(1)如图1,当α=90°时，求证：AD=AB+CD;(2)如图2,当α=120°,且DE平分∠ADC时，探究线段AB,BC,CD,AD之间的数量关系，并说明理由.专题3等腰直角三角形与全等例.在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°,E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE,连接CF.(1)如图1,若点E在线段BC上，点F在直线BC的上方，求∠FCE的度数；(2)如图2,若点E在CB的延长线上，点F在直线BC的下方，求∠FCE的度数；(3)如图3,若点E在BC的延长线上，点F在直线BC的上方，完成作图，并求∠FCE的度数.1.如图1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,过点C在△ABC外作直线MN,且AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N.(1)求证：MN=AM+BN;(2)如图2,过点C在△ABC内作直线MN,且AM⊥MN于点M.BN⊥MN于点N.猜想AM,BN与MN之间的数量关系，并证明.2.(1)如图1,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,AC⊥BC,点A(0,3),C(1,0),求点B的坐标；(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC.AC⊥BC,点A(1,0),C(1,3),求点B的坐标；(3)如图3,△ABC为等腰直角三角形，AC=AB,AC⊥AB,点B(2,2),C(4,2),求点A的坐标.3.如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.(1)求点C的坐标；(2)如图2,OA=2,P为y轴的负半轴上一个动点，当点P在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以点P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD,过点D作DE⊥x轴于点E,求OPDE的值；(3)如图3,已知点F的坐标为(2,2),当点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作等腰Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴的负半轴相交于点G(0,m),FH与x轴的正半轴相交于点H(n,0).以下两个结论：①mn为定值；②m+n为定值.其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值.4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一点，过点D作DE⊥AD,且DE=AD,连接BE,求∠DBE的度数.5.我们知道，如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等.已知△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,连接AD,BE.(1)如图1,当∠BCE=90°时，求证：S△ACD(2)如图2,当0°<∠BCE<90°时，上述结论是否仍然成立?请说明理由；(3)如图3,在(2)的基础上，如果G为AD的中点，连接CG,延长GC交BE于点F,试猜想GF与BE的位置关系，并说明理由.专题4等边三角形与全等例.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=4,PE=1.求AD的长.1.如图，△ABC为等边三角形，点M,N分别为边AC,BC上的点.若AM=CN,连接AN,BM相交于点P.求证：(1)△ABM≌△CAN;(2)∠BPN=60°.2.如图，在等边△ABC中，点E,F分别在CB,BA的延长线上，BE=AF.(1)△ACE与△CBF是否全等?请说明理由；(2)延长EA交FC于点P,求∠EPC的度数.3.如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，点E在AC的延长线上，EB交AD的延长线于点F,FB=AB,BD=4,CE=1,求BE的长.4.如图1,在等边△ABC中，点D在AB的延长线上，点E在CD上，∠BCD=2∠DAE,AE,BC相交于点F,BF=1,DE=2.(1)在图1中找出与∠AEC相等的角并证明；(2)求线段BD的长度；(3)如图2,连接BE,求∠BEA的度数.5.如图1,在等边△ABC中，AC,BC上分别有点E,F,且AE=CF,连接BE,AF交于点D.(1)求证：∠BDF=60°;(2)如图2,连接CD,若∠BDC=90°,①求证：BD=2AD;②过点B作BG⊥AC,垂足为G,连接DG.求证：AD=2DG.专题5手拉手模型例.如图1△ABD和△ACE均为等腰三角形，AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=a.(1)连接DC与BE,G,F分别是DC,BE的中点，求∠AFG的度数；(2)如图2,CD,BE相交于点M,连接AM,求∠AMC与α的数量关系.1.如图，△OAB和△OCD都是等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,即共顶点且顶角相等的两个等腰三角形为手拉手模型.连接AC,BD相交于点P.求证：(1)△AOC≌△BOD,AC=BD;(2)∠APB=∠AOB;(3)PO平分∠APD.2.如图1,在△ABC中，AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点，且DE=CE,连接BD,CD.(1)BD与AC的位置关系是_________,数量关系是__________;(2)如图2,将△DCE绕点E旋转一定的角度后，AC与BD相交于点F,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变.①BD与AC的数量关系为__________;②你能求出∠AFB的度数吗?如果能，请直接写出∠AFB的度数；如果不能，请说明理由.3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠CAB=a,分别以AB,BC为边作等边△ABD和等边△BCE,连接AE,DC.(1)求∠ACE的度数；(用含a的式子表示)(2)求证：AE平分∠BAC;(3)作BF⊥CD,交DC的延长线于点F,求BFBC4.已知△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为(a,b),且a,b满足a+5+(b53)²=0.D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC,CB交y轴于点E.(1)如图1,求点A的坐标；(2)如图2,点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，CB的延长线交y轴于点E,交x轴于点M.当点D在y轴的正半轴上运动时，点M的坐标是否变化?若不变，请求出点M的坐标；若变化，请说明理由.(3)如图3,点D在y轴的负半轴上，点C在第四象限，CB交y轴于点E,连接AE.当点D在y轴的负半轴上运动时，试判断CE,OD,AE三者的数量关系，并证明你的结论.专题6一边一角构全等例1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，点E,F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC,BF//CE.(1)求证：∠AFB与∠BAC互补；(2)图中是否存在与AF相等的线段?若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由.1.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=CD,点E在CD上，∠ABC+∠AEC=180°.图中是否存在与AE相等的线段?若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由.2.在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°,D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转60°与过点A的直线相交于点E.求线段BD与AE之间的数量关系.3.如图，在等边△ABC中，点D在BC上，点E在CA的延长线上，连接BE,AD,若∠ADB=2∠E,求证：AE+CD=AD.4.如图，在△ABC中，AB=AC,CD是AB边上的高，P是AC边上任意一点(不与点A,C重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,交CD于点F.若AD=CD,探究线段PF,CE之间的数量关系，并证明你的结论.5.如图，在△BEC中，CE=CB,EF⊥BC于点F,延长BE至点A,使BE=AE,再延长BC至点D,连接DE,AC,且∠B=∠A+∠D.求证：CD=2BF.6.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD,CE相交于点F,CE=BE,且∠BEC+∠BDC=180°,求证：BF=AC.小明经探究发现，在AB上取一点G(不与点E重合),使CE=CG,连接CG(如图2),从而可证△BEF≌△CGA,使问题得到解决.(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：(2)如图3,在等腰△ABC中，AB=AC,点D,F在直线BC上，DE=BF,连接AD,过点E作EG//AC交FG于点G,且∠DFG+∠D=∠BAC.请在图中找出一条和AD相等的线段，并证明.例2.在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,E是AC上一点，AD⊥BE于点D,CF⊥BE交BE的延长线于点F.(1)如图1,探究AD与DF的数量关系；(2)如图2,若将(1)中“E是AC上一点”改为“E是AC的延长线上一点”,其他条件不变，探究AD与DF的数量关系.1.如图、在等腰直角△ABC中，∠C=90°.(1)D是BC上任意一点，连接AD.在射线AD上取一点E,连接CE,BE,若∠AEC=45°,判断BE与AE的位置关系，并证明；(2)若D为CB的延长线上一点，其他条件都不变，画出图形，并判断BE与AE的位置关系是否发生变化，请说明理由.2.如图1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC.(1)若AD⊥BD,求∠CDA的度数；(2)若∠CDB=135°,求证：AD⊥BD;(3)如图2,若AD⊥BD,求∠CDA的度数.3.已知△AOB为等腰直角三角形，P为动点，PA⊥PB.(1)如图1,当点P在第一象限时，求∠OPA的度数；(2)如图2,当点P在第四象限时，求∠OPA的度数.4.在△ABC中，AB=AC,CD交AB于点E,∠BDC=∠BAC=a,连接AD.AD=BD=12CD;(1)如图1,当α=60°,CD⊥AB时，求证：(2)如图2,当α=60°,CD与AB不垂直时，请猜想线段AD,BD,CD之间的数量关系，并说明理由.例3:在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°,点A,B分别是x轴，y轴上的动点，直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E.(1)如图1,若点A(0,1),B(2,0),求点C的坐标；(2)如图2,当等腰直角△ABC运动到使点D恰为AC的中点时，连接DE.求证：∠ADB=∠CDE;(3)如图3,在等腰直角△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，猜想线段OA,OD,BD三者之间的数量关系，并说明理由.1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点E在BC上，点D,F在AC上，连接BD,AE,EF,AE⊥BD于点G,AD=CF.求证：∠CEF=∠AEB.2.在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC.(1)如图1,D,E分别是AB,AC的中点，AF⊥BE于点G,交BC于点F,连接EF,CD交于点H.求证：EF⊥CD;(2)如图2,AD=AE,AF⊥BE于点G,交BC于点F,过点F作PF⊥CD于点H,交BE的延长线于点P.试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.3.等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1,点A(O,a),B(b,0),点C在第四象限，且满足a²+b²4a+12b+40=0.(1)求点C的坐标;(2)如图2,若AC交x轴于点M,BC交y轴于点D,E是AC上一点，且CE=AM,连接DE.求证：AD+DE=BM;(3)在y轴上取点F(0,6),H是y轴上点F的下方任意一点，作HG⊥BH交射线CF于点G,在点器H位置的变化过程中，BHGH专题7半角模型例.(1)如图1,在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且∠FAE=45°,试判断BE,DF与EF三条线段之间的数量关系，并证明；(2)如图2,若(1)中的点E,F分别为BC,CD延长线上的点，其他条件不变，那么(1)的结论是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请给出结论并予以证明.1.(1)探究问题：如图1,在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°,E,F分别为DC,BC边上的点，且满足∠EAF=45°,连接EF,则DE,BF,EF之间的数量关系为;(2)方法迁移：如图2,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分别为DC,BC边上的点，且∠EAF=12(3)问题拓展：如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别为DC,BC边上的点，且满足∠EAF=122.如图1.△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以点D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB,AC相交于点M,N,连接MN.(1)探究线段BM,MN,CN之间的数量关系，并证明；(2)若△AMN的周长为Q,等边△ABC的周长为L,求QL(3)若点M,N分别在射线AB,CA上，其他条件不变，在图2中画出相应的图形，求线段BM,NM,NC之间的数量关系.3.已知在等边△ABC中，O是边AC,BC的垂直平分线的交点，点M,N分别在直线AC,BC上，且∠MON=60°.(1)如图1,当点M,N分别在边AC,BC上时，判断线段AM,CN,MN三者之间的数量关系，并证明；(2)如图2,当点M在边AC上，点N在边BC的延长线上，其他条件不变时，判断线段AM,CN,MN三者之间的数量关系，并证明.4.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=12(2)在(1)中，若将△AEF绕点A逆时针施转，当点E,F分别运动到BC,CD的延长线上时，如图2所示，其他条件不变，则(1)中的结论是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请给出结论并予以证明，专题8最值问题例.如图，∠AOB=a,P为∠AOB内部一定点，OP=m,点E与点F分别为OA,OB上任意两点，连接PE,PF,EF.若△PEF的周长最小值为m,则a=.1.如图，正方形ABCD的周长为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为()36D.62.如图，等边△