2022年湖南省怀化市中考数学试卷（附答案详解）

2022年湖南省怀化市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.的相反数是（）

A.：B.2C.—：D.—2

22

2.代数式|x，岛，/一|，p筌中，属于分式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”

号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（）

A.10.909x102B.1.0909x103C.0.10909x104D.1.0909x104

4.下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角

B.对角线相等的四边形是矩形

C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

5.下列计算正确的是（）

A.（2a2）3=6a6B.a84-a2=a4

C.,（-2）2=2D.（x-y）2=x2-y2

6.下列一元二次方程有实数解的是（）

A.2x2—x+1=0B.x2—2%+2=0

C.x2+3x-2=0D./+2=0

7.一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

8.如图，△ABC沿BC方向平移后的像为ADEF,已知BC=5,EC=2,则平移的距

离是（）

A.1B.2C.3D.4

9.从下列一组数-2,兀，-p-0.12,0,-通中随机抽取一个数，这个数是负数的

概率为()

；

A.I6B.3C.12D.J3

10.如图，直线力B交x轴于点C,交反比例函数y=?(a>1)的图象于4、B两点，过

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

12.因式分解：x2-x4=.

13.已知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称，贝b-匕=

15.如图，AB与。。相切于点C,4。=3,。。的半径为2,则AC的长为

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16.正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列,

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是

三、解答题(本大题共8小题，共86.0分)

17.计算：(3.14-7r)°+|V2-1|+(I)-1-V8.

18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

-J___I_____I____I___I____I____I____I____L_>

-4-3-2-101234

(5x-l>3(x+l)①

(3x-2<2x+1@

19.某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形

纪念园.如图，纪念园中心点4位于C村西南方向和8村南偏东60。方向上.C村在B

村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计划在8、C两村之间修一条笔直的公路

来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.(参考数据：V3«

1.73,V2x1.41)

20.如图，点4,B,C,。在。。上，AB=CD.，

求证：=A/\\

(2)△力BETDCE.I

E

B

扇形统计图

21.电视剧片代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化

市各旅游景点知名度得到显著提高.为全面提高旅游服

务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意

度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计

图.

频数分布表

满意程度频数(人)频率

非常满意500.5

满意300.3

一般aC

不满意b0.05

合计1001

根据统计图表提供的信息，解答下列问题:

⑴a=,b=,c=；

(2)求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角a的度数；

(3)根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议.

22.如图，在等边三角形ABC中，点M为边上任意一点，延长BC至点N,使CN=AM,

连接MN交AC于点P,MH14C于点H.

(1)求证：MP=NP；

(2)若48=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

23.去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位：件)和雨鞋(单位：

双)，其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵

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5元.

(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？

(2)为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了

20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为：若一次购买

不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套

打八折.设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出以关于a的函数关系式.

(3)在(2)的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？

24.如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点4(一1,0)、2(3,0),

与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE1BC

于点E,作PF〃/1B交BC于点F.

(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.

(2)当4PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和^PEF的周长.

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以

C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，

请说明理由.

图一备用图

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一：的相反数是g

故选：A.

根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案.

本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：分式有：岛，筌，

整式有：%?一［,

57r3

分式有3个，

故选：B.

根据分式的定义：一般地，如果4,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式t叫做

分式判断即可.

本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果4,B表示两个整式，并且8中含有字母，那

么式J叫做分式是解题的关键，注意兀是数字.

3.【答案】D

【解析】解：10909=1.0909x104,

故选：D.

把比较大的数写成ax10%其中lWa<10,n为正整数即可得出答案.

本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的

关键.

4.【答案】D

【解析】解：4、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；

8、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；

C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；

。、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意.

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故选：D.

根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案.

本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以

及性质进而判定出命题的正确性.

5.【答案】C

【解析】解：4(2a2)3=8a6,故此选项不合题意；

B.as+a?=a6,故此选项不合题意；

C.斤可;2,故此选项符合题意；

D.(x—y)2=x2—2xy+y2,故此选项不合题意;

故选：C.

直接利用积的乘方运算法则以及同底数基的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方

公式分别计算，进而得出答案.

此题主要考查了积的乘方运算以及同底数基的除法运算、二次根式的性质、完全平方公

式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：A.21=(-1)2-4x2x1=-7<0,

・••方程2x2一%+1=0没有实数根；

B.-：4=(-2)2-4x1x2=-4<0,

二方程/-2x+2=0没有实数根；

C.v4=32-4xlx(-2)=17>0,

二方程/+3x-2=0有两个不相等的实数根；

£).­••21=02-4x1x2=-8<0,

••・方程/+2=0没有实数根.

故选：C.

根据各方程的系数结合根的判别式4=炉一4砒，可求出各方程根的判别式d的值，取

A>0的选项即可得出结论.

本题考查了根的判别式，牢记“①当4>0时，方程有两个不相等的实数根；②当/=0

时，方程有两个相等的实数根；③当4<0时，方程无实数根”是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：设多边形的边数为n,

（n-2）-180°=900°,

解得：n=7.

故选：力.

根据多边形的内角和公式：（n-2”180。列出方程，解方程即可得出答案.

本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=（九-2"

180。是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：点B平移后对应点是点E.

••・线段BE就是平移距离，

•••已知BC=5,EC=2,

BE=BC-EC=5-2=3.

故选：C.

利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离.

考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点.

9【答案】B

【解析】这组数据共有6个数，其中是负数的有—2,-p-0.12,-遍这4个，

„_4_2

t'（随机抽取一个数，这个数是负纥=6=3'

故选：B.

首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可.

本题主要考查随机事件概率的求法.

10.【答案】D

【解析】解：设点B的坐标为（a,等），

VS&BCD=5，且Q>1»

—1xcixa——1=厂59

2a

解得：a=11>

经检验，a=11是原分式方程的解，

故选：D.

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设点B的坐标为(a,子)，然后根据三角形面积公式列方程求解.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐

标特征是解题关键.

11.【答案】1

【解析】解：原式=§詈

_X+2

-x+2

=1.

故答案为：1.

原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12.【答案】x2(l+x)(l-x)

【解析】解:原式=/(1—

=%2(1+x)(l—X).

故答案为：%2(1+x)(l-X).

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13.【答案】5

【解析】解：•••点4(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,

a=2,b=—3,

Aa—b=2+3=5,

故答案为：5.

根据关于原点对称的点的坐标，可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a,b是解

题关键.

14.【答案】8

【解析】解：•・・£»,E分别是4B,4C的中点，

:.DE：BC=1：2,DE//BC,

•'•AADE^-^ABC>

.SMDE_(DE\2_1

"S"BC-、BC)-4'

S&4BC=8・

故答案为：8.

由中位线定理可得线段。E与BC的比，即可得出AAOE与△4BC的比，又已知△4OE的

面积，进而即可得出△4BC的面积.

本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明

△ADE-LABC是解题的关键.

15.【答案】V5

【解析】解：连接0C,

•••4B与O。相切于点C,

0C1AC,

在RtAAOC中，0C=2,0A=3,

则AC=>JOA2—OC2=>/32-22=V5>

故答案为：V5.

连接OC,根据切线的性质得到。C14C,再根据勾股定理计算，得到答案.

本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

16.【答案】744

【解析】解：由图可知,

第一行有1个数，

第二行有2个数，

第三行有3个数，

第n行有ri个数.

•••前九行共有竺岁2个数.

前27行共有378个数，

.•・第27行第21个数是一共378个数中的第372个数.

・•・这些数都是正偶数，

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.♦.第372个数为372x2=744.

故答案为：744.

由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数,

第三行有3个数…••…第n行有n个数，则前n行共有色工个数，再根据偶数的特征确定第

几行第几个数是几.

本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的

规律，再结合其他已知条件求解.

17.【答案】解：原式=1+/一1+2-2e

=2-V2.

【解析】根据零指数累，绝对值，负整数指数幕，二次根式的化简计算即可.

本题考查了实数的运算，零指数累，绝对值，负整数指数累，考查学生的运算能力，掌

握a。=l(a+0),a~p=10)是解题的关键.

解不等式①，得：x>2,

解不等式②，得：%<3,

二原不等式组的解集是2<xW3,

其解集在数轴上表示如下：

-1-----1——।---------1------1-------1------------------------

-4-3-?-1n1734

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其

解集即可.

本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解

一元一次不等式的方法.

由题意知：^.ABC=90°-60°=30°,Z.ACD=45°,

BD=WAD,CD=AD,

BC-24km=2400m,

•••V3AD+AD=2400，

解得：AD=1200(73-1)x876>800，

故该公路不能穿过纪念园.

【解析】过4点作ZD1BC于。点，根据题意可得BD=V371L>，CD=AD,由BC=2400m

可得关于4。的方程，计算可求解4。的长，进而可求解.

本题主要考查解直角三角形的应用-方向角，构造直角三角形是解题的关键.

20.【答案】证明：(1)■-AB=CD，

•••AC-BD，

AC=BD；

(2)vZ.A=乙D,(B=Z.C,

・•・△ABE~ADCE.

【解析】(1)根据等式的性质可得：AC^BD，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；

(2)根据两角相等可证明两三角形相似.

本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系.根据已知条件推知力。=

BD是解题的难点.

21.【答案】1550.15

【解析［解：(1)由题意得，d=100x0.05=5,a=100-50-30-5=15,c=1-

0.5-0.3-0.05=0.15,

故答案为：15；5；0.15；

(2)扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角a的度数为360。x0.15=54°；

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(3)在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅

游质量还有待提高.(答案不唯一).

(1)用样本容量乘“不满意”的频率求出心进而求出a、c的值；

(2)用360。乘“一般”的频率即可；

(3)根据频数分布表的数据提出建议即可.

此题考查了频数(率)分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的

关键.

22.【答案】(1)证明：过点M作MQ〃BC,交4c于点Q,如图所示：

A

在等边△中，乙4==Z.ACB=60°,

-MQ//BC,

:./-AMQ=CB=60°,乙AQM=乙ACB=60°,(QMP=4N,

・・・△4MQ是等边三角形，

・・・AM=QM,

-AM=CN,

・•・QM=CN,

在AQMP和ACNP中，

(4QPM=乙CPN

4Mp=乙N,

,QM=CN

・MQMP"CNP(AAS),

:.MP=NP；

(2)解：M4MQ是等边三角形,且MH1AC,

・・・AH=HQ,

•••△QMP=LCNP,

・•・QP=CP,

・・・PH=HQ+QP=：AC,

vAB=Q,AB=AC,

1

・•・PH=~a.

【解析】(1)过点M作MQ〃BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性质

可得"1MQ=^AQM=乙4=60°,可得△4MQ是等边三角形，易证△QMPNA

CNP(AAS),即可得证；

(2)根据等边三角形的性质可知4”=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可

表示出HP的长.

本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟

练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设每件雨衣x元，则每双雨鞋(x-5)元，

根据题意，得出=芸，

XX-5

解得x=40,

经检验％=40是所列方程的根，并符合题意.

所以x-5=35,

答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；

(2)由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：(40+35)x(l-20%)=60(元)，

当购买a套雨衣和雨鞋a<5时，费用为w=0.9x60a=54a；

当购买a套雨衣和雨鞋a>5时，费用为w=0.9x60x5+(a-5)x60x0.8=48a+

30,

•••”关于a的函数关系式为…=|看(:薪，》

⑶由题意得：48a+30<320,解得a46盘,

答：最多可购买6套.

【解析】(1)设每件雨衣x元，则每双雨鞋(x-5)元，根据购买了一批数量相等的雨衣(单

位：件)和雨鞋(单位：双)列出方程并解答；

(2)根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；

(3)根据题意列出不等式并解答.

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找

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到合适的数量关系是解决问题的关键.

24.【答案】解：⑴•・・抛物线丫=。%2+2%+。经过点4(_1,0)、3(3,0),

.(a-2+c=0

19a+6+c=O'

解得

・•・抛物线的解析式为y=--+2无+3,

令％=0,可得y=3,

,•"(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,则6=0'

.(k=-l

=3，

・,・直线BC的解析式为y=-％+3；

(2)如图一