第七章 土坡稳定计算

第七章土坡稳定计算土坡:具有倾斜坡面的土体。如土体内部某一个面上的滑动力超过土体抵抗滑动的能力，就会发生滑坡。坡肩坡顶坡面坡角坡趾坡高第七章土坡稳定计算土坡:具有倾斜坡面的土体。造成滑坡的原因:水流冲刷、地壳运动或人类活动破坏。第七章土坡稳定计算土坡:本章主要讨论由凝聚性土类组成的均质或非均质土坡。土坡稳定分析方法基本条分法，如：瑞典法，毕肖普法等普遍条分法作一基本的叙述，如：Morgenstern、陈组煜、Sermar、Spercer、Janbu方法等

有限元法极限分析法第七章土坡稳定计算第七章土坡稳定计算条分法：先假定若干可能的剪切面将滑裂面以上土体分成若干垂直土条对各土条进行力与力矩的平衡分析求出在极限平衡状态下土体稳定的安全系数通过一定数量的试算找出最危险滑裂面位置求出相应的(最低的)安全系数ACbBWiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXi第一节条分法的基本概念Q条分法：（瑞典人——彼德森，1916年），后经过费伦纽斯、泰勒等人的不断改进。假定：土坡稳定问题是个平面应变问题滑裂面是个圆柱面不考虑土条之间作用力用滑裂面上全部抗滑力矩与滑动力矩之比来定义。第七章土坡稳定计算第一节条分法的基本概念条分法：20世纪40年代以后的发展：两个方面：探索最危险滑弧位置对基本假定作些修改和补充其中毕肖普等提出的关于安全系数定义：沿整个滑裂面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。第七章土坡稳定计算第一节条分法的基本概念条分法中的力和求解条件在滑动土体n个土条中任取一条i：土条本身重量水平作用力(如地震惯性力)土条两侧孔隙压力土条底部孔隙压力土条有关几何尺寸：底部坡角底长滑裂面上的强度指标第一节条分法的基本概念第i条土的作用力第七章土坡稳定计算WiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXiQ条分法中的力和求解条件未知量数目：土条底部的有效法向反力：Ni

共n个安全系数FS：

1个土条底部的切向力Ti

可用法向力Ni

及FS

求出相邻土条分界面上的法向条间力：Ei

共n-1个相邻土条分界面上的切向条间力：(或Xi

与Ei

的交角θi)

共n-1个每一土条底部Ti

及Ni

合力作用点位置αi

共n个相邻土条条间力Xi

及Ei合力作用点位置：zi

共n-1个未知数合计=2n+3(n-1)+1=5n-2第一节条分法的基本概念第i条土的作用力WiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXi第七章土坡稳定计算Q条分法中的力和求解条件未知量：5n-2个求解条件（方程）：。水平向静力平衡条件：

x=0共n个垂直向静力平衡条件：

y=0共n个力矩平衡条件：

M0=0共n个共3n个未知数的数目超过了方程的数目是一个高次超静定问题第一节条分法的基本概念第i条土的作用力WiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXi第七章土坡稳定计算Q条分法中的力和求解条件未知量：5n-2个求解条件（方程）：共3n个如土条极薄土条底部合力作用点近似认为作用于土条底部中点未知量减少n个未知量仍多n-2个第一节条分法的基本概念第i条土的作用力WiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXi第七章土坡稳定计算Q条分法中的力和求解条件未知量多n-2个为解决超静定问题对多余未知数作充分的假定使未知数和方程数目相等

第一节条分法的基本概念第i条土的作用力WiziEizi+1Ei+1Xi+1NiTiXi第七章土坡稳定计算Q对多余未知数解决办法：1、引进土体本身的应力－应变关系（复杂）；2、作出各种简化假定。大致有下列三种：(1)假定n-1个Xi值--毕肖普假定所有的Xi均为零(2)假定Xi与Ei的交角或条间力合力的方向。如斯宾塞法、摩根斯坦——普赖斯法、沙尔玛法及不平衡推力传递法。(3)假定条间力合力的作用点位置--如简布法

作了这些假定之后，超静定问题就转化为静定问题这些方法一般均需试算或迭代。第一节条分法的基本概念第七章土坡稳定计算对多余未知数进行假定应必须使获得的解符合土的力学特性。⑴在土条分界面上不违反土体破坏准则。切向条间力得出的平均剪应力应小于分界面土体的平均抗剪强度。Fv>1⑵一般地说，不允许土条之间出现拉力。为保证在土条接触面上不产生拉力的作用效应，作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外面。最后结果要得出:滑裂面上的最小安全系数各土条分界面上的安全系数条间力合力作用点的位置第一节条分法的基本概念第七章土坡稳定计算边坡稳定分析的目的：找出既满足静力平衡条件，又满足合理性要求的：安全系数解集缺陷：用极限平衡方法来分析边坡稳定，由于没有考虑土体本身的应力－应变关系和实际工作状态、所求出的土条之间的内力或土条底部的反力均不能代表土坡在实际工作条件下真正的内力或反力，更不能求出变形。实际上并不存在1个“精密解”

第一节条分法的基本概念第七章土坡稳定计算一、瑞典圆弧滑动法基本概念瑞典圆弧滑动法(瑞典法或费伦纽斯法)：假定滑裂面是圆柱面假定不考虑土条两侧的作用力安全系数定义为：每一土条在滑裂面上所能提供的抗滑力矩之和与外荷载及滑动土体在滑裂面上所产生的滑动力矩和之比。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念由于不考虑条间力的作用对每一土条力的平衡条件不满足对土条本身的力矩平衡不满足仅能满足整个滑动土体的整体力矩平衡条件求出的安全系数偏低10％～20％瑞典圆弧法的推导方法：通常采用总应力法。为了考虑条间力的作用，并可认为假定每一土条两侧作用力的合力方向均和该土条底面平行，因而在进行土条底部法线方向力的平衡时，可以不予考虑。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念均质土坡、土条高hi

、宽bi、自重Wi

；条间力合力方向和土条底部平行土条底部的总法向反力Ni

土条底部的切向阻力Ti

土条底部坡角αi

，长li

，滑裂面圆弧半径R

第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念据M-C准则，滑裂面AB平均抗剪强度：整个滑裂面AB上的平均安全系数为FS

土条底部的切向阻力Ti：第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念土条底部法线方向力的平衡各土条对圆心的力矩和应当为零第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念当坡内有地下水渗流作用时：须考虑其影响考虑土和水脱离：土条重量：在土条两侧及底部都作用有渗透水压力稳定渗流情况下：土条底部的孔隙应力即渗透水压力第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念如经土条底部中点M等势线与地下水面交于N：若地下水面平行滑裂面土条很薄第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念与替代容重法比较替代容重法计算式：式中：才与下式相等，替代容重法有时计算偏不安全。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念在稳定分析中，安全系数的定义通常有两种：（1）加大外力来达到平衡，求出安全系数安全系数具有超载系数性质（2）降低材料的强度来达到平衡安全系数为材料的强度储备系数。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念土坡中存在比较高的孔隙应力时下式可能会产生很大误差：有时高达60%原因:在推求法向反力时，包含在竖向总应力中一个应该各向同样大小的孔隙应力分量，也分解到法线方向上去了。使得土条底部的法向有效应力偏低。正确的法向有效应力的合力应当是:第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法一、瑞典圆弧滑动法基本概念土坡中存在比较高的孔隙应力时:正确的法向有效应力的合力应当是:安全系数计算式应改写成第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法二、最危险滑弧位置的确定不少学者在这方面作了很大的努力:通过各种途径探索最危险滑弧位置的规律制作数表、曲线对减少试算工作量有益如泰勒的图表利用图表，经简捷计算，可迅速找到最危险滑弧位置和相应的安全系数Fsmin适用于承受各种外荷载或存在有不同土层的复杂土坡第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:“相对粘结度”的概念：反映土的凝聚力与摩擦力关系的参数量纲是长度/m经分析，在坡高和坡比一定时：土坡最危险的滑弧位置的变化有一定规律。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:坡高和坡比一定时，最危险的滑弧位置的变化规律：⑴滑弧圆心横坐标X随S的增加而增加无粘性土：纯粘性土：当s值越大，最危险滑弧位置越深；s值越小，最危险滑弧位置越高。第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:坡高和坡比一定时，最危险的滑弧位置的变化规律：⑴滑弧圆心横坐标X随S的增加而增加理想砂土：最危险滑面与坡面重合的平面纯粘性土：最危险滑弧在无限深处⑵最危险滑弧圆心位置随s变化的轨迹：第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法近似于双曲线的一侧双曲线的原点位于边坡中点以过中点的铅垂线与中法线为渐近线二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:坡高和坡比一定时，最危险的滑弧位置的变化规律：第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法⑴有多少层土层就可能出现多少个的极小值区二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:坡高和坡比一定时，最危险的滑弧位置的变化规律：第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法⑵两个不同土层最小的滑弧圆心分别为及。必须有极小值区比较，从中选择最小的作为整个土坡的稳定安全系数。二、最危险滑弧位置的确定张天宝对土坡最危险滑弧位置变化规律的分析:坡高和坡比一定时，最危险的滑弧位置的变化规律：第二节最简单的条分法：瑞典圆弧滑动法⑶对复杂土坡，在计算时，要先固定一个出滑点，所有计算的滑弧均要通过同一出滑点，求出最小的，再换另一个出滑点，最后对不同出滑点的进行比较，从中求出最小的一、毕肖普(1955年)法的计算公式考虑条间力的作用法向及切向条间力:土条重:水平作用力:土条底部的总法向力:土条底部的总切向力:土条竖向力的平衡平衡条件:第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式土条竖向力的平衡平衡条件:第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式考虑条间力的作用法向及切向条间力:土条重:水平作用力:土条底部的总法向力:土条底部的总切向力:各土条对圆心的力矩之和为零:条间力的作用相互抵消第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式为使问题得解略去切向条间力:即假定条间力合力是水平的第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式第三节毕肖普法采用迭代计算法一般先假定K=1一、毕肖普(1955年)法的计算公式必须注意：第三节毕肖普法一、毕肖普(1955年)法的计算公式对于缓坡:可用潘家铮的简化公式估算(根据弹性理论推求来的)土坡坡角:系数:整个土体必须满足的条件:第三节毕肖普法二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出第三节毕肖普法二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出稳定系数M、N

取决于：土坡的坡比：坡高：第一层硬土层的埋深：土料的性质指标：当土坡几何尺寸及土质指标均已知时，可直接由图7－9查出M、N。第三节毕肖普法二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出硬土层埋藏很深时，最危险滑面不一定与它相切：需利用图9中虚线求出最危险滑裂面的深度因素再求出稳定系数M、N第三节毕肖普法图7－9查出M、N的值是假定最危险滑面底部与第一层硬土层顶面相切求出的。二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出硬土层埋藏很深时，利用图9中虚线求稳定系数M、N对于给定的一组参数必有一个孔隙应力比使硬土埋深浅时与埋深大时的安全系数相等第三节毕肖普法二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出硬土层埋藏很深时，利用图9中虚线求稳定系数M、N第三节毕肖普法二、稳定系数法--由毕肖普和摩根斯坦提出某均质土坡其，坡比为1:4，，设计的，第一层硬土层的深度因素，求最小稳定安全系数第三节毕肖普法一、普遍条分法基本假定土坡断面:坡面任意、坡面作用各种荷载、剪切面任意推力线:土条两侧作用力合力作用点位置的连线整个土坡的两侧受力:侧向推力侧向剪力第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定土条受力分析集中荷裁匀布荷载土条自重条间力滑面上作用力基本未知量：第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定平面应变条件下简布假定：①整个滑裂面上的稳定安全系数一样。②土条上所有垂直荷载的合力作用线和滑裂面的交点与的作用点为同一点。③推力线的位置假定已知。第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定平面应变条件下简布假定：③推力线的位置假定已知。假定土条侧面推力成直线分布坡面没有超载，则：非粘性土--推力线应选在(或靠近)土条下三分点处粘性土--推力线应选在土条下三分点以上(被动情况)或以下(主动情况)坡面有超载--侧向推力成梯形分布推力线应通过梯形的形心简布假定：和的作用点是同一点不合理，但其影响可忽略。第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定土条力及力矩平衡分析滑裂面坡度土条宽单位宽度上作用的总垂直荷载水平荷载作用点离滑裂面距离推力线与滑裂面垂直距离推力线的坡度第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定土条力及力矩平衡分析每一土条力及力矩平衡条件--四个基本方程滑裂面上的平衡条件u：滑裂面上的孔隙应力力的垂直平衡方程力的水平平衡方程力矩平衡条件第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定整个滑体整体水平作用力平衡分析第四节

简布的普遍条分法两边均有FS

项，须用迭代法试算一、普遍条分法基本假定整个滑体整体水平作用力平衡分析第四节

简布的普遍条分法一、普遍条分法基本假定整个滑体整体水平作用力平衡分析第四节

简布的普遍条分法滑裂面上剪应力滑裂面上正应力滑裂面的安全系数一、普遍条分法基本假定整个滑体整体水平作用力平衡分析第四节

简布的普遍条分法制成曲线图一、普遍条分法基本假定各土条侧向水平作用力推求由A开始，从上往下逐条进行--各土条侧向剪应力推求---第四节

简布的普遍条分法不仅可求滑裂面安全系数及应力还可求各土条分界面上安全系数二、普遍条分法的计算步骤⑴假定滑裂面并划分土条．求出各土条的⑵假定，求出⑶先假定，则而⑷由选取（一般），求出，再求第四节

简布的普遍条分法二、普遍条分法的计算步骤⑸再由、求出，若求出的与相比误差小于5％，可选用，否则重新假定，重新计算。⑹由式，当时，⑺求土条分界面的，从坡顶逐条往下推直到最后满足条件⑻根据推力线位置求出第四节

简布的普遍条分法二、普遍条分法的计算步骤⑼由下式求,即⑽求得各土条分界面上第一个近似的T值⑾求出每一土条的值⑿求出每一土条的值⒀求出这是的第一次近似值。⒁由假定，求出各土条的第四节

简布的普遍条分法二、普遍条分法的计算步骤⒂求出若与相比误差小于5%,可选用，否则重算。⒃重复6～15，从开始，直符合精度要求，则迭代结束，一般仅需迭代3次。⒄当确定以后，求出各土条应力⒅校核每一土条分界面上的抗剪安全系数⒆绘制成果，计算结束。第四节

简布的普遍条分法一、斯宾塞法(Spencer)假定相邻土条之间的法向条间力E与切向条间力X之间有一固定的常数关系:土条受力平衡分析垂直土条底部方向:平行土条底部方向:据安全系数的定义及M-C准则得:第五节

极限平衡的其他计算方法各条间力合力P的方向是相互平行的一、斯宾塞法(Spencer)土条受力平衡分析第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)整个滑动土体受力平衡分析水平方向平衡条件铅直方向平衡条件即力矩平衡条件滑裂面为圆柱面时:第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)整个滑体受力平衡分析

土坡的几何形状及滑裂面已定、土质指标已知时:只有两个未知数--问题可解第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)解题步骤⑴任择一圆弧滑裂面，划分垂直土条，宽度相同，在图上量出土条中心高h及底坡。⑵选定若干个值,对每一个都可求出不同的值由力的平衡方程式求得值以表示由力矩平衡方程式求得值为当时用力矩平衡方程求得的安全系数--相当于用简化毕肖普法求得的值第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)解题步骤⑶作出曲线由两条曲线的交点求安全系数及条间力的坡度。第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)解题步骤⑷以F及代入下式：从上往下逐条求每条两侧的条间力合力由此求分界面上的法向力及剪力求出抗剪安全系数第五节

极限平衡的其他计算方法一、斯宾塞法(Spencer)解题步骤⑸从上往下求出条间力合力作用点位置通过对土条底部中点求力矩得出⑹重新选择滑裂面，重复上述步骤求出最危险的滑裂面及值第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法假定土条法向条间力和切向条间力之间存在1个对水平方向坐标的函数关系。土条力的平衡及力矩平衡分析坡面线侧向孔隙水应力有效应力的推力线滑裂线第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法土条力的平衡及力矩平衡分析第五节

极限平衡的其他计算方法土条重力切向阻力有效法向反力土条两侧法向力土条两侧切向力两侧孔隙水应力二、摩根斯坦一普赖斯法土条力的平衡及力矩平衡分析对土条底部中点力矩平衡第五节

极限平衡的其他计算方法认为的作用点与、的作用点重合()二、摩根斯坦一普赖斯法土条力的平衡及力矩平衡分析土条底部法线方向力的平衡平行土条底部方向力的平衡由安全系数定义及摩尔－库伦准则引用毕肖普孔隙应力比第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法土条力的平衡及力矩平衡分析第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法土条力的平衡及力矩平衡分析已知：方程中的、及都可以求出土质指标、及孔隙压力比给定未知：、函数安全系数第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法简化和假定条件以土条侧面总法向力E来代替有效法向力E′其作用点位置用下式求出

E和X之间必定存在一个对x的函数关系

λ为任意选择的一个常数第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法简化和假定条件对每一土条来说，由于dx可以取得很小使y=z(x)、y=h(x)及y=y(x)在土条范围内近似为一直线函数f（x）在每一土条范围内也可以取作直线因此，在每一土条内有式中，A、B、p、q、k及m均为任意常数可通过几何条件及所选f(x)的类型来确定第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法简化和假定条件经过以上各式的处理，基本微分方程式简化为：第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法微分方程求解土条两侧的边界条件：从xi

到xi+1进行积分，得从上到下，逐条求出法向条间力E、切向条间力X当滑动土体外部没有其他个力作用时对最后一土条必须满足条件:En=0第五节

极限平衡的其他计算方法(x=xi+1)

(x=xi)二、摩根斯坦一普赖斯法微分方程求解土条两侧的边界条件：从xi

到xi+1进行积分，得最后也必须满足条件第五节

极限平衡的其他计算方法(x=xi+1)

(x=xi)二、摩根斯坦一普赖斯法λ及Fs值的求解先假定一个λ及Fs逐条积分得到En及Mn如果En及Mn不为零有规律的迭代，不断修正λ及Fs直到得到满足En=0第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法如何选择f(x)？可以利用弹性理论的解答加以算出也可以在直观假设的基础上指定根据摩根斯坦等人的研究:对于接近圆弧的滑型面，安全系数对内力分布的反应是很不灵敏的，往往取完全不同的f(x)

，得到的安全系数却相当接近。用本法求出的条间力也必须符合（及不存在拉力)如不满足，通过修改f(x)加以调整。第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法摩根斯坦－普赖斯法是对土坡稳定进行极限平衡分析计算的最一般的方法。取f（x）为一常数其结果和斯宾塞相同取f（x）=0则相当于简化毕肖普法第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法陈祖煜对摩根斯坦一普赖斯法的改进结合更一般工程实际，如地震力、坡面载荷等从土条的静力平衡得到的微分方程出发结合相应的边界条件推导出带有普遍意义的极限平衡方程式

第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法陈祖煜对摩根斯坦一普赖斯法的改进第五节

极限平衡的其他计算方法二、摩根斯坦一普赖斯法陈祖煜对摩根斯坦一普赖斯法的改进对力平衡对力矩平衡第五节

极限平衡的其他计算方法q:

坡面垂直荷载β:土条侧向作用力合力对x轴的倾角a、b:滑弧两端x的坐标ξ、ζ:为积分变量三、沙尔玛法滑裂面是任意形状的土坡第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法假想在每一土条重心作用着一个水平地震惯性力KWi，使土条在滑裂面上达到极限状态滑裂面上的稳定安全系数Fs=1此时水平地震加速度为Kc以Kc作为判断土坡稳定程度的1个标准假定所有平行于土条底面的斜面均处于极限平衡状态这个前提下，推导出切向条间力X的分布从而使超静定问题变成静定的第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法土条受力分析整个滑动土体的重心G土条底部中点(合力作用点与此重合)土条垂直方向平衡水平方向力的平衡第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法土条受力分析假定Fs=1由摩尔—库伦准则可得第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法土条受力分析第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法整个土体力平衡第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法整个滑动土体力矩平衡所有力对重心G取为矩Wi及KWi力矩总和为零条间力E、X为滑体内力不产生力矩第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法上式中:只有地震加速度及条间力是未知的如能找到X的表达式同时满足：上式(2)

由式(1)可求出KK----临界地震加速度第五节

极限平衡的其他计算方法12三、沙尔玛法求解:沙尔玛假定：为一常数为待求的函数，必须满足第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法求解:当已知:可由下式求出逐条推求各土条分界面上的则土条分界面上抗剪安全系数为土条侧面的孔隙水应力第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法求解:

作用点位置可以取每一土条各作用力对土条底面中心求力矩，得:可从初始条件开始逐条推求第五节

极限平衡的其他计算方法三、沙尔玛法求解:最后:如何确定？对于均质情况通常取如果或条间力作用点位置超出三分点可以通过修正加以调整第五节

极限平衡的其他计算方法四、不平衡推力传递法铁道部门在核算滑坡稳定时使用非常广泛的方法适用于任意形状的滑裂面假定条间力的合力与上一条土条底面相平行根据力的平衡条件逐条向下推求直至最后一条土条的推力为零第五节

极限平衡的其他计算方法四、不平衡推力传递法土条受力分析:垂直与平行土条底面方向力的平衡:由安全系数定义及M-C准则得:传递系数第五节

极限平衡的其他计算方法从第一条开始逐条向下推求，直至求出最后一条的推力=0四、不平衡推力传递法工程单位常采用下列简化式：传递系数：采用试验和滑坡反算相结合的方法来确定Ks：取1.05－1.25求出各土条分界面上后，可求出此分界面上的抗剪安全系数：土条侧面高；土条侧面的孔隙水应压力。第五节

极限平衡的其他计算方法四、不平衡推力传递法讨论：该法只考虑了力的平衡，对力矩平衡没有考虑。这也是一个缺点仅满足力的平衡条件而力矩平衡条件不满足的方法还有：简布的简化法美国陆军工程师团法假定条间力合力方向是一个定值，等于土坡的平均坡度。第五节

极限平衡的其他计算方法条分法不断改进，日趋完善。假定土体是理想塑性材料土条为刚体按极限平衡分析（不考虑土体本身的应力－应变关系）各方法不同之处:在于对相邻土条之间的内力作何种假定，使超静定问题变成静定问题。表7-1各种方法所能满足的平衡条件及使用情况第七节各种方法的比较与讨论表7-1各种方法所能满足的平衡条件及使用情况第七节各种方法的比较与讨论计算方法所满足的平衡条件滑裂面形式计算手段整体力矩土条力矩垂直力水平力手算计算机瑞典圆弧法简化毕肖普法斯宾塞法摩根斯坦一普赖斯法沙尔玛法√√√√√√××√√√√×√√√√√××√√√√圆弧圆弧任意任意任意任意√√√××√√√√＊√＊√＊√＊某些情况下收敛可能有困难各种方法比较一般说来，对于软粘土，滑裂面底部的正应力对有效抗剪强度影响较小用瑞典圆弧滑动法求出的安全系数并不一定比其他方法来得保守；当比较大时，用瑞典圆弧滑动法求出的结果就显得偏低一些，而用其他的方法却得出大致相同的结果。第七节各种方法的比较与讨论各种方法比较下图包括圆弧滑动面和复式滑动面对于几何尺寸、土质指标及地下水渗流条件等六种不同的组合，用各种方法求出的安全系数见表7-2。第七节各种方法的比较与讨论各种方法比较(表中)：⑴简布法的推力线位置假定在每个土条分界面的下三分点⑵斯宾塞法的为条间力合力与水平面的交角⑶摩根斯坦—普赖斯法采用了两个函数，一个是常数，另一个呈半正弦函数分布(均为正值)。第七节各种方法的比较与讨论各种方法比较除瑞典圆弧滑动法外，其他的方法还可以用曲线来加以比较：毕肖普法的=0简布按推力线位置推出平均的斯宾塞法与摩根斯坦—普赖斯法都可以分别求出曲线仅满足力的平衡条件仅满足力矩平衡两曲线交点的即为满足所有平衡条件的安全系数第七节各种方法的比较与讨论各种方法比较沙尔玛法的基本假定和摩根斯坦－普赖斯一样采用假想的临界水平地震加速度作为衡量土坡稳定程度的标准而使=1，这样可以不用试算或迭代，使计算工作大为简化。显然，如果≤0，则土坡是不稳定的。孙君实的模糊极值理论，其基本方程组实质上和摩根斯坦－普赖斯－陈祖煜的方法是一样的，同时满足力与整体力矩平衡条件。如果两种方法都满足模糊约束条件，得到的结果也相同。第七节各种方法的比较与讨论潘家铮原理提出了滑坡极限分析的两条基本原理极小值和极大值原理⑴极小值原理滑坡体如能沿许多个滑面滑动，则失稳时它将沿抵抗力最小的一个滑面破坏。⑵极大值原理滑坡体的滑面肯定时，则滑面上的反力（以及滑坡体内的内力）能自行调整，以发挥最大的抗滑能力。这两条原理是相辅相成第六节塑性极限分析和模糊极值理论以上极限平衡理论，未考虑土体本身的应力－应变关系。实际分析时应了解变形的全过程。假定土体为刚塑性体，一旦σ达到σs，土体会象理想塑性体那样塑性流动，土体局部或全部进入塑性状态土坡失稳。此时作用于土坡的荷载(包括自重)就等于极限荷载（塑性力学中的塑性极限分析法）第六节塑性极限分析和模糊极值理论孙君实理论：根据潘家铮两条基本原理，提出了一种新型的稳定分析理论－－模糊极值理论。⑴对边坡稳定分析——力学基础，剖析了塑性力学极限理论蕴含的模糊性，提出滑动机构的概念，证明了给定滑动机构的耗散功能定理。⑵构造了模糊函数和模糊约束条件，提出了安全系数的模糊解集和最小模糊解集的概念，建立起了边坡稳定分析“极大中极小”问题的模糊极值理论。⑶在此基础上孙君实还提出了一个数值计算稳定、简便，又具有降低未知函数维数作用的计算格式，建立了数值计算的最优化方法——双层复形法，具有自动生成任意滑动面、组合滑动面和圆弧滑动面的功能。第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析刚塑性体，外力到达某一定值时，可在外力不变的情况下发生塑性流动，这时就称物体处于极限状态，所受的荷载为极限荷载。极限状态：介于静力平衡与塑性流动之间的临界状态极限状态的特征是：应力场为静力许可的应变率场(或速度场)是机动许可的第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析静力许可的应力场(简称静力场)是满足下列条件的应力场：⑴在区域υ内满足平衡条件⑵在区域υ内不违反屈服准则⑶在力边界上满足边界条件一般情况下，静力场的分布是连续的，但也可以不连续。至于应变率场是否能从速度场导出则不管。第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析机动许可的应变率场(或速度场，简称机动场)是满足下列条件的应变率场或速度场：⑴在区域υ内满足几何条件(连续性条件)，亦即应变率场能由某一速度场导出。⑵在速度边界满足边界条件。⑶满足外功率大于零的要求。⑷满足体积不可压缩条件。速度场允许不连续，但在速度间断面上要求法向速度连续。由应变率的方向，可以在屈服面上找出对应的应力值，但该应力是否满足平衡条件和力边界条件，则可不管。第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析极限分析的上、下限定理：⑴上限定理在所有与机动许可的速度场对应的荷载中，极限荷载为最小。此时物体破坏，外荷载所做的功就等于塑性变形机构(屈服机构)中所耗散的能。⑵下限定理在所有与静力许可的应力场相对应的荷载中，极限荷载为最大。此时物体不破坏，或恰好处于破坏点。第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析极限分析的上、下限定理：对于土坡，极限荷载可用土坡的临界高度表示：⑴上限定理对刚塑性土坡，如存在某种机动许可的速度场，使外荷载所做的功率等于内能耗散率，则土体破坏，与此相应的坡高即为临界高度的上限。⑵下限定理对刚塑件土坡，如存在某种静力许可的应力场，使作用于土坡的力满足平衡方程、边界条件和摩尔－库伦屈服准则，则土体不破坏，或恰好处于破坏点。与此相应的坡高即为临界高度的下限。第六节塑性极限分析和模糊极值理论楔体的下滑速度为v方向与滑裂面成角对于垂直开挖的边坡外力所做功的功率就等于土体自重W与速度v在垂方向分量的乘积：如图假定滑裂面为直线破裂面当土体沿直线滑裂面下滑时形成刚性楔ABD

第六节塑性极限分析和模糊极值理论一、塑性极限分析以竖直挖方为例：德鲁克(Drucker)和普拉格(Prager)对边坡稳定的极限分析进行了研究沿滑裂面的内能耗散率为τ、σ分别为作用于滑裂面上的剪应力和法向应力为速度在滑面切向和法向的分量由M-C准则