几何直观让数数不再为难

几何直观，

让数数不再为难

问题提出——数数如此之难？实践研究——数数如此,不难。交流提纲问题提出问题提出——数数如此之难？1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

100、200，300，400，500，600，700，……51，52，53，54，55，56，57，58，59，？11,12,13,11,15,16,17,18,19,20,

……

700前面的数是？比700少1的是600还是699？1000前面的数是？问题提出——数数如此之难？几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。实践研究实践研究——数数如此,不难。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象实物直观即实物层面的几何直观，是指以现实世界中的实际存在物作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得判断的一种能力。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象在一年级上册认识1-10以内的数时，教材提供了两只小鸟、两个人，都可以用数字“2”来表示。学生再在身边找一找，通过点数同桌两人、两把笤帚和两盆花，留下“2”的实物数量印象。接着再想一想，做一做，用两架飞机、两根小棒、两个手指或两个三角形等来表示“2”。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象在认识10时，教材又提供了拨珠子的方法：1，再拨一个就是2；9，再拨一个就是10。这里的珠子是一个一个数的，与实际物品没什么太大区别，仍可以看成是实物直观认数阶段。然后，在10以内数的比较大小中，仍然坚持实物直观，利用小松鼠与盘子、勺子、杯子的实物图片数一数，感受一一对应，感悟数的大小与多少。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象实践研究——数数如此,不难。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象在一年级上册《古人计数》一课，对数的认识由10以内的数扩展到20。于是，10根小棒捆成一捆表示10，即10个一是一个十，从而认识新的计数单位“十”。这里的一根小棒、一捆小棒，就是针对个位1、十位10的替代物形式。个位十位二、替代物直观，十个百个地数，建立表象在这节课上，对应着捆小棒，还出现了计数器。计数器已经将数位的含义明确表示出来（具有普适性和公共的约定性），这又是一种替代物。计数器上用珠子代表数，个位上的1个珠子表示1个一，十位上的1个珠子代表1个十……二、替代物直观，十个百个地数，建立表象在捆小棒、数小棒的过程中，学生感受着“计数单位”的变化；在拨珠子，数珠子的过程中，学生理解着“数位”的不同。孩子们会发现每次都是先按10以内的点数，每数10根就可以捆成一捆，变成1个新的十，累加到原来的十位上，然后再点数……依此类推，直至数出结果。孩子们越数越明白，只要弄清数的“单位”和相应的“个数”即可，十进位置制也就逐渐开始建立。10个一一个十二、替代物直观，十个百个地数，建立表象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象等到一年级下册认识了“百”后，二年级下册第三单元《生活中的大数》中，学生将认识新的计数单位“千”和“万”。这时再用小棒作为替代物，就显得力不从心了，于是替代物换成了小方块。其实，孩子们早就熟悉小方块了。在一年下册第三单元《生活中的数》中，第二课时《数一数》教材呈现了“10个小方块是一条”的数法，学生一条一条地数，也就是10个10个数下去，知道“九十九个再添1个就是一百个”，从而认识到“10个十是一百”。二、替代物直观，十个百个地数，建立表象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象400个600个1000个10000个一共有多少个小方块？在第一课时《数一数（一）》中，教材先带领学生回顾原有认知“一个一个地数，数10个是1条”，接着，“一条一条地数，数10条是一片，一片共有100个”。再接着数下去，学生会发现“一片一片地数，数10片就是10个100，也就是一个大正方体里有1000个小正方体”，即“10个一百是一千”。二、替代物直观，十个百个地数，建立表象一个10个一是一个十10个十是一百10个百是一千二、替代物直观，十个百个地数，建立表象在第二课时《数一数（二）》中，学生根据一个大正方体是1000个小方块的认知，继续数下去，一千、二千、三千……九千、一万，又认识了“10个一千是一万”。教材还特别安排了“9999再添1个是一万”的内容，借助不同数位的珠子，直观认识一万。接着在直观的基础上，学生从九千八百八十七开始，一个一个数到一万。学生会发现，每个数位上“满十”后，都要在前一位上添上一个单位，然后接着数下去。二、替代物直观，十个百个地数，建立表象到四年级上册《认识更大的数》时，再一次借助数方块的直观呈现，认识了新的数位及计数单位，加上第二课时的学习，完善了数位顺序表的学习，完成了整数的认识，十进位置制基本建立起来。二、替代物直观，十个百个地数，建立表象实践研究——数数如此,不难。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象所形成的半符号化的直观。三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象在一年级的加减法内容中出现的“毛毛虫”就是数线的原型。学生可以“一个一个”去数，但是顺序是一定的，都是“从左到右，越来越大”；二年级加减法中，已经逐步抽象成“线”

。孩子们又会发现，每段数线不但可以表示整十、整百的数，也可以表示普通的数，只是在同一条数线里，不同的数对应的长度也应该是不同的。三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象到了二年下册第三单元《生活中的大数》第四课时《比一比》一课中，开始利用数线进行数的比较。这里的数线已经抽象出格子，也就是一定的“单位”

。在1题中，每个格子表示的就是100元，在第2题中，每个格子代表1000。借助这个直观的数线图，学生能够标出3200的大致位置，不但知道3200比3000大，比4000小，在3000与4000之间，还能感受3200离3000更近些。三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象35003200学生对数的抽象认知对建立和丰富数感非常重要，直接影响着后续的运算等内容的学习。四年级上册第一单元《认识更大的数》第五课时《近似数》中，这里的近似数“2万”是如何得到的？三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象从图上直观地看出，18000在1万和2万之间，离1万有8个格子，离2万只有两个格子，离2万近，所以可以把18000近似地看成2万。在学生数格子的同时，还会发现1万和2万之间的数是分成“两队”的，比15000小的数，零头舍去，可以近似地看成1万；比15000大的数，其中比1万多出来的部分又接近新的1万，这样就可以近似地看成2万。其实，学生通过这样的几何直观，已经能自己总结“四舍五入”了。三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象那15000正好在中间，怎么办？在学生讨论的基础上，教师可以合作者的身份介入：为了交流方便，我们统一规定“够五就入”。那1万是不是“吃亏”了？爱动脑筋的孩子们马上会想到，把数线接着画下去，1万的左边，不是还有从5000起的5000个数也可以近似地看成1万吗，而2万右边的数却只能数到24999，25000已经大约是3万了。看来，四舍五入还是很公平滴！三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象150001万2万5000250001499924999实践研究——数数如此,不难。一、利用实物直观，一个一个地数，留下印象二、替代物直观，十个百个地数，建立表象三、简约符号直观，从左到右地数，形成抽象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。在认识分数和小数的学习内容中，几何直观也得到了很好的渗透和体现，这里多是图形直观。。四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象三年下册第六单元《认识分数》第一课时《分一分（一）》中，学生会怎样表示一半呢？除了实物表示外，学生会想到画图来表示，其中就会有圆、长方形等学生认识的一些几何图形。在知道一半可以用表示后，尝试涂出一些图形的。多数学生会借助第二单元刚刚学习的轴对称来解决问题，画出这个图形的对称轴，恰好把图形平均分成两份，其中的一份就是这个图形的二分之一。接着，学生用纸（正方形、长方形、圆形的都可以）动手折一折，得到了以外的新的分数。在第一课时的试一试中，学生用同样的一张正方形纸分别折出这张纸的。直观认知中，冲突产生了：涂色部分形状不同，都是这张纸的吗？这时直观背后的思考指向了数学的本质：这几种涂法因为平均分的方法不同，所以涂色部分的形状也不同，但都是把一张纸平均分成4份，涂上了其中的一份，就是这张纸的。四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象教材呈现了一个“分数墙”，学生独立填一填，然后观察中想一想，他们有好多发现呢！越往下分，份数越多，每份就越小；1里面有2个，有3个，……；9个，10个，……，都是1；平均分成几份，每份就是几分之一；分母越大，分数单位越小，反之，分母越小，分数单位就越大；……我们再看小数的认识，是基于分数与整数的认识基础上学习的，借助图形在“平均分”中进行的。在四年级下册第一单元《小数的意义与加减法》中，教材用了三课时来认识小数的意义。四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象小数是十进分数，所以把一个正方形看成“1”，平均分成10份，其中的一份是，也可以表示为0.1；把“1”平均分成100份，其中的1份就是，也可以表示为0.01；……在数数的过程中，学生认识了0.1、0.01、0.001等新的“计数单位”，也逐步建立起“1个正方形是1”“1条是0.1”“1小格是0.01”的模型。为了帮助学生完善数位顺序表，理解小数的计数单位也是“满十进一”，教材仍然借助了直观的几何图形，1个小方格是0.01，10个0.01就是“1条”，也就是1个0.1，10个0.1就是“1”。至此，数位顺序表在整数基础上又得以补充和完善，十进位置制更加深入人心。四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象到六年级下册总复习时，所有学过的数都能在数线上呈现出来，一条基本的“数轴”已经建立起来。四、借助图形直观，先平均分再数，发展想象到这里，我们会发现，数数中哪有什么弯要拐哩！它们不过是一条向两端无限延长的直线上的一个一个“节点”而已。只要弄清了数的“计数单位”和相应“个数”，就会柳暗花明，