秦曾煌《电工学》第4章

正弦交流电路…第四章§4.1正弦电压与电流§4.2正弦量的相量表示法§4.3电阻元件、电感元件与电容元件§4.4电阻、电感与电容串联交流电路§4.5阻抗的串联与并联§4.6复杂正弦交流电路的分析与计算§4.7交流电路的频率特性§4.8

功率因数的提高交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间（T

）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)概述TutuTt如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电路便于传输、分配；便于运算；有利于电器设备的运行；

.....正弦交流电的优越性：§4.1正弦电压与电流正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。正弦交流电的方向正半周时，实际方向和参考方向一致负半周时，实际方向和参考方向相反ti++--ieR+--+正半周~ieR+--+负半周~4.1.1正弦电压与电流：

电流幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）：

初相角特征量:正弦量的三要素正弦电压和电流等物理量，统称为正弦交流量，简称正弦量。i、uiπ2π

u

1.周期

T：

变化一周所需的时间。

单位：秒，毫秒..4.1.2

正弦波特征量之一：频率、角频率与周期3.角频率

ω：每秒变化的弧度。单位:弧度/秒(rad／s)2.频率

f：

每秒变化的次数。单位：赫兹（Hz），千赫兹

...描述变化周期的几种方法：Tt0T*电网频率：

中国

50Hz

美国

、日本

60Hz小常识*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz正弦波例4.1.1已知求T和ω。i、uiπ2πuTt04.1.3正弦波特征量之二：

幅值与有效值

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测量的有效值。读数220V，是指供电电压的有效值。正弦电流、电压的最大值（幅值）

最大值正弦量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im

、Em瞬时值瞬时值交流直流热效应相当正弦量必须大写如：U、I、E有效值有效值概念则有（均方根值）当

则同理:积分提示：问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压:t=0时的相位，称为初相位或初相角。说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。：正弦波的相位角或相位。4.1.3

正弦波特征量之三——初相位i0例1已知时的瞬时值。解求有效值U和uπ2π0

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

tj

三相交流电路：三相电压初相位各差120

。

t0正弦量的同相和反相

t两种同频正弦信号的相位关系同相位落后于相位落后相位领先领先于可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论

因角频率（

）不变，所以讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与相位的变化。幅度、相位变化频率不变幅度：例2已知：频率：初相位：求三要素.§4.2

正弦量的相量表示法

瞬时值表达式

相量前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

正弦波形图i正弦量的表示方法：重点ω00

概念：正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。正弦量的相量表示法矢量长度

=矢量与横轴夹角

=初相位矢量以角速度

ω

按逆时针方向旋转最大值相量的书写方式1.描述正弦量的有向线段称为相量。若其幅度用最大值表示，则用符号：2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：

3.相量符号仅包含幅度与初相位信息。正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示。幅度：相量大小相位：设：1U˙2U˙有效值领先或落后？例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则˙2U˙1U˙U幅度：相量大小相位：设：注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。相量的复数表示法将复数放到复平面上，即：ab+10+j复平面虚数单位:

指数式

极坐标式直角坐标式(代数式)相量的复数运算1.加

减运算（宜用直角坐标式）设：则：+10+jb1b2b1+

b2:复数的大小---模(有效值):U与+1正方向间的夹角---幅角(初相位)2.乘法运算（宜用极坐标式）j相当于90°旋转因子。任一相量乘上+j，则逆时针转90°；乘上-j，则顺时针转90°设：则：3.除法运算（宜用极坐标式）设：则：说明：设：任一相量则：复数符号法应用举例解：220100已知瞬时值，求相量。求：

i

、u

的相量.已知:

例1：解：求：例3已知画出相量图。三相交流电【例4】求相应的相量式。已知:

解：+17.0757.07+j解：求：例5：已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量形式为：(1)以三角函数式求解解：求总电流i.例6已知i2ii1设则i的幅值：i的初相位：得总电流解：求总电流i.例6已知i2ii1(1)以三角函数式求解(2)以正弦波求解ω00i1i2ii(3)以相量图求解070.752122.740.770.730(4)以复数式求解【例7】求：已知:

解：070.752122.740.770.730(4)以复数式求解+1+j0【例8】解：频率为ω，求相应的三角函数表示式。已知:

解：u2比u1超前900。【例9】已知:求与

的模及幅角的关系。+1+j波形图相量图相量表示式小结：正弦波的四种表示法瞬时值:T˙jjÐÞ=+=UeUjbaUjIU˙˙φ2φ1umU正弦量表达式注:

相量不等于正弦量，只是表示正弦量提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。ab+10+jⅣⅢⅡⅠ象限Ⅰ:43jU+=˙43jU+-=˙43jU-=˙象限Ⅱ:象限Ⅳ:象限Ⅲ:43jU--=˙:U与+1正方向间的夹角---幅角(初相位)符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I最大值

---大写+下标复数、相量

---大写

+“.”U˙正误判断瞬时值复数??瞬时值复数已知：？有效值j45

？已知：

则：？？

则：？最大值已知：无源元件小结理想元件的特性（u与i

的关系）L：C：R：实际元件的特性可以用若干理想元件来表示例：电感线圈L

：电感量R：导线电阻C：线间分布电容参数的影响和电路的工作条件有关。UR1R2LCR1UR2U为直流电压时,以上电路等效为注意L、C在不同电路中的作用VCR－VoltageCurrentRelation§4.3电阻元件、电感元件与电容元件uiR根据

欧姆定律4.3.1

电阻元件交流电路设为(t=0)时的参考正弦量则即U=RI,Um=RIm,或:式中:ωtui0iuωt++0PpPRPm瞬时功率：（耗能元件）平均功率（有功功率）：(一个周期内的平均值)

1.频率相同,相位相同3.相量关系：设2.有效值关系：则或【例3】已知电炉丝的电阻为50Ω,电源电压为ωt=314rad/s，求:电流i及ωt=15时的瞬时功率pR及平均功率PR【解】据和已知额定值,可求得其他额定值。有一电阻炉,其额定电压UN=220V,额定功率PN=800W,试求电阻炉的额定电流IN和在额定状态下的电阻R值.【例2】把一个200Ω的电阻元件接到频率为50HZ电压有效值为10V的正弦交流电源上,问电流是多少?如保持电压值不变,而电源频率改变为500HZ,这时电流将为多少?【解】【解】额定电流【例1】额定工作状态下的电阻因为电阻与频率无关,所以电压有效值保持不变时,电流有效值不变,即瞬时功率平均功率设为(t=0)时的参考正弦量，则即U=ωLI,

令:式中:iuL感抗电感iu瞬时功率：（吞吐能量）ωt++0PpPL--吞吞吐吐1.相位差为900，电压领先于电流。3.相量关系：2.有效值关系：则设在内，电感吞或吐的电能：4.3.2

电感元件交流电路感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ω=0时XL=0关于感抗的讨论e+_LR直流E+_RfXL0XL=2πfLXL=ωL=2πfL感抗＝0，即阻抗＝0，相当于短路直流时:ωt++0PpPL--瞬时功率：（吞吐能量）（储能元件）无功功率：平均功率：（取瞬时功率的最大值）当时当UL为定值时，则ω↑，XL↑,I↓.说明感抗与频率有关。【例1】已知:求：当频率f分别为时，电流分别是多少?【解】当时当时【例2】【解】设，参考相量则已知:及其与的相位差;自感电动势EL

，在内线圈吞或吐的电能WL.求:XL，电流iuL设为(t=0)时的参考正弦量则即I=ωCU,

令:式中:1.相位差为900，电压滞后于电流。2.有效值关系：容抗电容ui瞬时功率：（吞吐能量）ωt++0PpPC--充充放放uiC3.相量关系：则设在内，电容吞或吐的电能：4.3.3电容元件交流电路E+-e+-关于容抗的讨论直流是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗ω＝0时ω容抗＝∞，即阻抗＝∞，相当于开路直流时:（储能元件）无功功率：瞬时功率：（吞吐能量）平均功率：ωt++0PpPC--充充放放（取瞬时功率的最大值）已知：C＝1μF求：I

、i例3uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i领先于u90°已知：C＝20μF求：i

、I、uiC解：电流有效值瞬时值i领先于u90°【例4】

相量无功功率在

周期内，电容器吸收的电能已知：R=100Ω,L=1H,C＝100μF

分别接到

的电源上，

分别求：各个元件的电流相量与函数式。设电源电压相量为参考相量【例5】

【解】uRCL单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系在电阻电路中：正误判断？？？瞬时值有效值

§4.4电阻、电感与电容(RLC)串联交流电路据KVL得uRLCi则设因频率相同，得KVL的相量式，且设电流相量为:则令相量式欧姆定律Z：复数阻抗实部为（电）阻虚部为（电）抗容抗感抗得电压三角形与I同相比I领先+j比I滞后-juRLCi相量式欧姆定律Z：复数阻抗实部为（电）阻虚部为（电）抗容抗感抗由电压三角形得即

复数阻抗模：电压三角形j阻抗三角形Ｚ的幅角：uRLCi小结：RLC串联电路中各电压与电流是同频正弦量；Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比；而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。:取决于电源频率和电路参数。当时，

表示u

领先i

－－电路呈感性;当时，表示u

、i同相－－电路呈阻性;当时，表示u

落后i

－－电路呈容性;产生电压串联谐振.电压三角形已知：(1)

求：电流【例1】【解】RLC(2)(1)(2)i领先u,相位差电容性电路。+1电感性电路。u领先i,相位差+1已知：I=10A,UR=80V,UL=180V,UC

＝120V

f=50Hz,分别求：U,R,L,C,和总电压与电流的相位差.以电流为参考相量【例2】

【解】uRLCi假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。

URLCIRULUCU˙˙˙˙˙RLC并联交流电路据KCL得其有效值为:电流三角形RCL为参考正弦量与相量，设则总电流与电压的相位差为:电流三角形RCL当时，

表示u

领先i

－－电路呈感性;当时，表示u

、i同相－－电路呈电阻性;当时，表示u

落后i

－－电路呈容性;总电流与电压的相位差为:电路产生电流并联谐振已知：R=10Ω,XC=8Ω,XL=15Ω,U＝120V,f=50Hz分别求：各个元件的电流及总电流相量与函数式。取电压为参考相量【例3】

【解】RCL4.5.1阻抗的串联(交流电路的一般分析方法)§4.5阻抗的串联与并联Z=Z1+Z2Z1Z2Z等效阻抗等于各个串联阻抗之和分电压公式两个串联阻抗的分电压为:R=R1+R2:等效电阻X=X1+X2:等效电抗一般情况下:4.5.2阻抗的并联Z一般情况下:分电流公式两个并联阻抗的分电流为:Z1Z2等效阻抗的倒数等于各个并联阻抗的倒数之和或等效导纳等于各个并联导纳之和导纳等于阻抗的倒数.导纳的概念:设:导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s=1/Ω

)。则:电导电纳导纳

可应用在直流电路中的分析方法来分析计算复杂交流电路；所应用的电路公式使用其相应的相量式;

电压、电动势和电流以相量表示,电阻、电容和电感以阻抗或导纳表示;

阻抗Z是复数,不是相量;注意阻抗,阻抗模与阻抗幅角的计算。

复杂交流电路的分析计算要点:

已知：

Z1=4+j10Ω,Z2=8-j6Ω,Y3=-j0.12s,

U＝60V,分别求：各支路电流及相量图。取电压为参考相量:【例】【解】Y3Z2Z1支路2和3的并联等效导纳和阻抗分别为:总阻抗为:为感性阻抗.感性感性容性感性容性

已知：

Z1=4+j10Ω,Z2=8-j6Ω,Y3=-j0.12s,

U＝60V,分别求：1)各支路电流及相量图;2)i1、i1、i1。取电压为参考相量:【例】续【解】Y3Z2Z1感性感性容性已知：Z1=Z2=0.1+j0.5Ω,Z3=5+j5Ω,求：【例4.9.1】【解】+－a-+b（解法一）支路电流法：据KCL,KVL:（2）－（3）：代入（1）得（3）×2－上式）：（1）（2）（3）已知：Z1=Z2=0.1+j0.5Ω,Z3=5+j5Ω,求：（解法二）结点电压法：【例

4.9.1】（续）【解】+－a-+b已知：Z1=Z2=0.1+j0.5Ω,Z3=5+j5Ω,求：（解法三）电源等效互换法：【解】+－a-+bZ0Z3【例

4.9.1】（续）已知：Z1=Z2=0.1+j0.5Ω,Z3=5+j5Ω,求：（解法四）叠加原理：【解】+－a-+b单独作用时：单独作用时：【例

4.9.1】（续）证明:当时

，且为最大值。【解】【例】+－RCRC+－RC串联部分的复阻抗为Z1;RC并联部分为Z2当时

，即则此时，分母最小，即的数值最大，且响应－电路受激励或内部储能的作用下所产生的电流与电压。（响应又称输出）频域分析-当正弦量是频率的函数时,对电路进行的分析当激励的ω改变而引起响应的随之改变,称为电路电路的频率特性或频率响应激励－电路从电源（信号源）输入的信号的统称。（激励又称输入）时域分析-当正弦量是时间的函数时,对电路进行的分析§4.7交流电路的频率特性4.7.1串联谐振在RLC串联电路中,若调节电路参数L、C或f)，使XL=XC,即UL=UC,u与i同相,电路便发生串联谐振。（电压谐振）若:

XL=XC

或uRLCiCU˙LU˙CLUU+˙˙U˙I˙RU˙CU˙LU˙U˙I˙RU˙=产生串联谐振的条件：XL=XC

或谐振频率:4.7谐振电路CU˙LU˙U˙I˙RU˙=串联谐振的特征2.在谐振时,电路的阻抗最小，电路电流达到最大值:u

与i同相,U=UR电路对电源呈现电阻性,电源与电路之间不发生能量转换.3.当XL=XC>R

时,UL与

UC

高于U产生电压谐振：品质因数令：UL与

UC

比U高出Q倍。谐振时，角频率为ω0谐振电路的选频特性I0.707

I0通频带f1f2当电流频率f偏离谐振频率

f0时，电流I便明显下降。通频带宽：f0f0I0电流频率响应曲线选频特性——能把谐振频率附近的电流选择出来的特性。又称电路的选择性。

Q值越高，谐振曲线越尖锐，电路的选择性越强。当电流下降到最大有效值的70.7%时，所包含的一段频率范围称为谐振电路的通频带宽度。Q值较高Q值较低串联谐振在无线电工程中应用较多，在接收机里被用作选择信号。【例4.7.1】1)当f0

＝200kHz时谐振,求电流和电容电压?2)当频率增加10％时,求电流和电容电压?

解:XL=2πfL=2π×200×103×4×10-3=5000ΩUC=XCI0=5000×0.5=2500V(>U)I25VLC＋－4mH160pFR50Ω1)当f0

＝200kHz发生谐振时UC.U2)当频率增加10％时,UC=XCI=4500×0.025=112.5V(<2500V)偏离谐振频率10％，I和UC大大减小。L1CLRLCf3e3e2e1f2f1【例4.7.2】收音机接收输入电路：已知：L=0.3mH,R=16Ω,1)欲收听640kHz电台,C应调至多少皮法?2)若调谐回路感应电压:U=2µV,求回路中信号的I和UL、UC.解:由此算出：C=204pF这时XC=XL=2πfL=2×3.14×640×103×0.3×10-3=1200ΩUC=UL=XLI=1200×0.13×10-6=156×10-6V=156µVI0调节C，使fi=f0，I0最大，输出电压亦最大，即选中fi

。据得达最大值>2µV,Cu+-i1RLiCi在RL串联再与C并联电路中,若调节电路参数L、C或f)，使IL=IC,电路呈阻性，即

u与i同相,电路便发生并联谐振。（电流谐振）1.产生并联谐振的条件：4.7.2并联谐振故呈电阻性，产生电流谐振，即谐振条件为：由于R<<XL=ωL当谐振频率:2.并联谐振的特征1）

在谐振时,电路总阻抗最大，总电流达到最小值:3)谐振时,L,C支路间产生过电流。品质因数令：Cu+-i1RLiCi一般u

与i同相,

电路对电源呈现电阻性,相当于一个电阻，电源与电路之间不发生能量转换.Q值一般为200~500。所以IC与IL比I0大许多倍。电流谐振当电路改由恒流源供电，在某频率下，电路产生谐振，阻抗最大，电路两端产生电压最大，起选频作用。例2有一个100µF的电容器和一个电阻为10Ω、电感为0.4mH的线圈。求分别为串并联接时的谐振阻抗和谐振频率。[解]1.接成串联谐振电路时：uRLCi2.接成并联谐振电路时：Cu+-i1RLiCi4.8.1.瞬时功率

4.8.2.平均功率

P§4.8交流电路的功率与功率因数的提高则设Z总电压总电流u与i

的初相位差iupωt++0P--Puiuiuiui-----功率因数u与i

的实际方向一致：吞（有功功率）u与i

的实际方向相反：吐Z:呈电阻性Z:纯电感(容)Z:呈电感性Z:呈电容性在含有R、L、C的交流电路中，储能元件L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：4.8.3.无功功率Q：无功电压：无功电流：据电压三角形（阻抗串联时）据电流三角形（阻抗并联时）有功电流：有功电压：Z:纯电感纯电容Z:呈电感性Z:呈电容性4.8.4.视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安(VA)、千伏安(kVA)PQ（有助记忆）S注：S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）4.8.5.功率三角形视在功率无功功率有功功率_++_p

设u

领先i，（电感性电路）含有R、L、C

的交流电路中的功率关系ui功率三角形电压三角形阻抗三角形SQPRP=已知：求：总电路和各支路的P,Q,S.（解法一）【解】【例】+－第一支路,感性负载:第二支路,容性负载:总电路的P,Q,S:电流滞后于电压:??电流领先电压:电流领先电压:总电路是容性负载容性容性感性已知：求：总电路和各支路的P,Q,S.（解法二）【解】【例】+－第一支路,感性负载:第二支路,容性负载:总电路的P,Q,S:总电路是容性负载容性容性感性(续)问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如图。COS

I当U、P

一定时，

希望将COS

提高4.8.6

功率因数的提高P=PR=

UIcos

其中消耗的有功功率为：负载iu说明： 由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。功率因数和电路参数的关系R例40W白炽灯