人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第23讲 2.5.2圆与圆的位置关系（含解析）

第10讲2.5.2圆与圆的位置关系课程标准学习目标①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.知识点01：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含2、圆与圆的位置关系的判定2.1几何法设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，两圆的圆心距为SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，两圆相交；②当SKIPIF1<0时，两圆外切；③当SKIPIF1<0时，两圆外离；④当SKIPIF1<0时，两圆内切；⑤当SKIPIF1<0时，两圆内含.2.2代数法设SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消去“SKIPIF1<0”得到关于“SKIPIF1<0”的一元二次方程SKIPIF1<0，求出其SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与设设SKIPIF1<0相交②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与设设SKIPIF1<0相切（内切或外切）③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与设设SKIPIF1<0相离（内含或外离）【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：SKIPIF1<0与圆C:SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【详解】圆SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0改写成标准方程为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3，所以两圆外切，故选：SKIPIF1<0.知识点02：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0联立作差得到：SKIPIF1<0即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.知识点03：圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离SKIPIF1<0求解【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为5；圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为3，所以两圆的圆心距为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.知识点04：圆系方程(1)以SKIPIF1<0为圆心的同心圆圆系方程：SKIPIF1<0；(2)与圆SKIPIF1<0同心圆的圆系方程为SKIPIF1<0；(3)过直线与圆SKIPIF1<0交点的圆系方程为SKIPIF1<04过两圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交点的圆系方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，此时圆系不含圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0）特别地，当SKIPIF1<0时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点，且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆的方程.【答案】SKIPIF1<0【详解】设圆的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心坐标为SKIPIF1<0，把圆心坐标SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求圆的方程为SKIPIF1<0．题型01判断圆与圆的位置关系【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：SKIPIF1<0与圆C:SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【详解】圆SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0改写成标准方程为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3，所以两圆外切，故选：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【详解】两圆化为标准形式，可得SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，可知半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故两圆相交，故选：SKIPIF1<0.【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切B．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切C．直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为2D．若SKIPIF1<0分别为圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最大值为10【答案】ACD【详解】圆SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为2，圆SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为3.因为两个圆的圆心距为SKIPIF1<0，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，SKIPIF1<0正确.圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0不相切，SKIPIF1<0错误.圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为SKIPIF1<0，C正确.若SKIPIF1<0分别为圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确.故选：ACD【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【详解】由题意可得SKIPIF1<0，故两圆的圆心分别为：SKIPIF1<0，设两圆半径分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，故两圆内切.故选：B【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离【答案】C【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是相交.故选:C.题型02求两圆交点坐标【典例1】（2022·高二课前预习）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的交点坐标为（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以两圆的交点坐标为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,故选:C【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则线段SKIPIF1<0的垂直平分线的方程是______.【答案】SKIPIF1<0【详解】圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，则圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两圆相交于SKIPIF1<0两点，则线段AB的垂直平分线即为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标为______.【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【详解】联立SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以交点坐标为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【变式2】（2022·高二课时练习）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的交点坐标为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】联立两个圆的方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程带入SKIPIF1<0，先得到SKIPIF1<0，在联立SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，对应的SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，于是得到两圆交点：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型03由圆的位置关系确定参数【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0恰有三条公切线，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立.故选：A【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有且仅有一条公切线，则SKIPIF1<0______；此公切线的方程为______【答案】1SKIPIF1<0【详解】如图，

由题意得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相内切，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以切点的坐标为SKIPIF1<0，故所求公切线的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：1；SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·高二课时练习）若两圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，SKIPIF1<0两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则SKIPIF1<0的最小值为_______【答案】2【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆的圆心距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆内切，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时，取得最小值，SKIPIF1<0的最小值为2．故答案为：2．题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程【典例1】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的方程为__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图所示：过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0为端点的线段的垂直平分线为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圆心都在坐标原点，半径分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．若圆SKIPIF1<0的圆心在SKIPIF1<0轴正半轴上，且与圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均内切，则圆C的标准方程为_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：依题意可知圆心SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0(1)若直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与圆SKIPIF1<0相切，求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若圆SKIPIF1<0的半径为3，圆心在直线SKIPIF1<0上，且与圆SKIPIF1<0外切，求圆SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）圆SKIPIF1<0化为标准方程为SKIPIF1<0，所以圆C的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0①若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，即直线为SKIPIF1<0，符合题意．②若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由题意知，圆心SKIPIF1<0到已知直线SKIPIF1<0的距离等于半径2，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0综上，所求直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）依题意，设SKIPIF1<0又已知圆C的圆心为SKIPIF1<0，半径为2，由两圆外切，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以所求圆D的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）经过点SKIPIF1<0以及圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的圆的方程为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点坐标为SKIPIF1<0，设经过点SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的圆的方程为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故经过点SKIPIF1<0以及圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的圆的方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．【答案】SKIPIF1<0【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．联立SKIPIF1<0，可得直线AB的方程为SKIPIF1<0．又圆M的圆心SKIPIF1<0，圆N的圆心SKIPIF1<0所以两圆圆心连线的方程为SKIPIF1<0．解方程组SKIPIF1<0，可得圆心坐标为SKIPIF1<0．圆心SKIPIF1<0到直线AB的距离为SKIPIF1<0，圆M的半径为SKIPIF1<0，弦AB的长为SKIPIF1<0，则所求圆的半径为SKIPIF1<0，所以所求圆的方程为SKIPIF1<0．题型05相交圆的公共弦方程【典例1】（2023·河南·统考二模）若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦SKIPIF1<0的长为1，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】将两圆方程相减可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，且公共弦SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选：D.【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，直线SKIPIF1<0的方程为__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】圆的方程可化为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆相离，依圆的知识可知，四点SKIPIF1<0四点共圆，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，原题意等价于SKIPIF1<0取到最小值，当直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小.SKIPIF1<0的直线方程为：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两圆的方程相减可得：SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0的圆心，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，两圆的方程相减可得相交弦方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在的直线方程为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】联立SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型06两圆的公共弦长【典例1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若两圆相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0______【答案】SKIPIF1<0【详解】圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，又圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0到直线的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为:SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0取何值时两圆外切？(2)当SKIPIF1<0时，求两圆的公共弦所在直线SKIPIF1<0的方程和公共弦的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)两圆的公共弦所在直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，两圆的公共弦的长为SKIPIF1<0【详解】（1）因为圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，所以两圆的圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当两圆外切时，圆心距为半径之和，则SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0的一般方程为SKIPIF1<0两圆一般方程相减得：SKIPIF1<0，所以两圆的公共弦所在直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0故两圆的公共弦的长为SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有两个公共点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于圆SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为两圆有两个公共点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将两圆方程作差可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0过圆心SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0若两圆相交，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又两圆相交弦SKIPIF1<0所在直线方程为：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，则弦长SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型07圆的公切线条数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】根据题意，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，两圆的圆心距SKIPIF1<0，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．【典例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为a，所以圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0．圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆心距SKIPIF1<0，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．【典例3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两条公共的切线，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以m的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰好有4条公切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰好有4条公切线，所以圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0外离，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有且仅有3条公切线，则SKIPIF1<0=（

）A．14 B．28 C．9 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.【变式2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰有三条公切线，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．－6【答案】A【详解】由已知可得，圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有三条公切线，所以两圆外切.所以有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0.故选：A.【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，则同时与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0相切的直线有（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．0条【答案】B【详解】由圆SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.【变式4】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由圆SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以两圆相交，公切线条数为2.故选：C.题型08圆的公切线方程【典例1】（多选）（2023·高二课时练习）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，则下列是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径SKIPIF1<0．圆N的圆心为N（－2，－1），半径SKIPIF1<0．圆心距SKIPIF1<0，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离SKIPIF1<0，解得k＝0或SKIPIF1<0，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而SKIPIF1<0，设切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：ACD．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两条公切线，则满足题意的一个SKIPIF1<0的取值为____；此时公切线的方程为__________.【答案】5（答案不唯一）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（答案与前空的答案有关联）【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为5.因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两条公切线，所以圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交.即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以可取SKIPIF1<0(答案不唯一.满SKIPIF1<0即可).此时SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为5，SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为5，所以可设公切线的方程为SKIPIF1<0，且与两圆圆心所在的直线平行，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以当SKIPIF1<0时，公切线的方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故答案为:5；SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）写出与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0都相切的一条直线的方程___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（三条中任写一条即可）【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以两圆外切.过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0.由图可知，直线SKIPIF1<0是两圆的公切线，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设两圆的一条公切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两圆的一条公切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0两式相减并化简得SKIPIF1<0，所以两圆的公切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（三条中任写一条即可）【变式1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相内切，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0