3.2.2双曲线的简单几何性质（十大考点）（原卷版）

双曲线的简单几何性质双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；双曲线的简单性质求标准方程；3.会判断直线与双曲线的位置关系；4.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.一、双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线二、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率三、直线与双曲线的位置关系一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得.①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点；②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点；判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离,没有公共点．考点01由双曲线方程得到几何性质1．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（

）A．9 B．－9 C． D．2．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（

）A． B．3 C．2 D．13．设双曲线(，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的虚轴长为5．已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等6．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：(1)；(2)．考点02由几何性质得到双曲线方程7．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（

）A． B．C． D．9．已知双曲线过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的方程为.10．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)经过、两点．(2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆有公共焦点，且过点；(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为；(3)离心率，且经过点；(4)经过点，且一条渐近线的方程为．12．（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程：①顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；②渐近线方程是，虚轴长为4.（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点．求线段的长．13．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；(2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.考点03求双曲线的离心率14．已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．315．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．316．已知坐标平面中，点为双曲线的右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．517．设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．18．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为.19．已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于．20．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为.考点04求双曲线离心率的取值范围21．双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．23．已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为.24．设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是.25．曲线且过定点，点在椭圆上，设椭圆的左右焦点为，若，则该椭圆的离心率取值范围是．26．已知双曲线，点B的坐标为，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率取值范围是．27．已知斜率为2的直线l过双曲线（）的右焦点，若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是．若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是．考点05双曲线的渐近线问题28．已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．29．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．30．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．31．已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．32．（多选）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（

）A． B． C． D．33．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的动点，，，点P到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则＝．34．设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为.考点06直线与双曲线的位置关系35．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．36．若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是37．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．38．已知直线与双曲线，若直线与双曲线左支交于两点，求实数的取值范围.39．讨论直线与双曲线的公共点的个数．40．已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.(1)求双曲线E的方程；(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.考点07双曲线的弦长问题41．已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.42．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点.(1)写出直线的方程；(2)求双曲线的标准方程；(3)求的面积.43．已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．44．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.45．已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．46．已知圆，圆，圆P与圆M，圆N都外切，圆P的圆心的轨迹记为Q．(1)求Q的方程；(2)若直线与Q交于A，B两点，求．47．双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为．(1)求双曲线方程；(2)过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长．考点08双曲线的中点弦问题48．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(

)A．3 B．6 C．8 D．1249．设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．50．过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．51．不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．52．已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．53．已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率．54．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．考点09双曲线的实际应用55．如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（

）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元56．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则57．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．58．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则．59．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程.60．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.附：61．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角．考点10双曲线的综合应用62．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.63．已知双曲线C:的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆O:上，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点）的面积．64．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由65．已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.(1)求双曲线的方程；(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.66．已知双曲线的两条渐近线分别为，.(1)求双曲线的离心率；(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.67．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．68．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.(1)求C的方程；(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.基础过关练1．已知顶点在轴上的双曲线实轴长为，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（

）A． B．C． D．2．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（

）A． B． C．3 D．53．已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（

）A． B．C． D．5．（多选）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．的标准方程为C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点6．（多选）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（

）A． B．C． D．7．直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为．8．双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为．9．已知双曲线，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的虚轴长为.10．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在轴上，两顶点间的距离是10，且经过点；(2)一个焦点坐标为，一条渐近线方程为．11．已知椭圆，左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点．(1)求的长和的周长；(2)求的面积．12．已知椭圆的离心率为，长轴长为．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．能力提升练1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且