损伤粘弹性梁-柱的控制方程

损伤粘弹性梁-柱的控制方程

随着科学技术的发展，许多具有弹性和粘性的材料，如各种高科技聚合物、塑料、橡胶、油棕榈、树脂等，以及岩石、土壤、沥青路面、石油、矿物等地质材料、肌肉、骨骼、血液等生物材料。它们在航空航天、土木工程、地下工程、海洋工程、生物工程及材料工程等领域都具有广阔的应用。由于此类材料具有强烈的时间、温度和频率效应,理论分析和定量计算都很困难,远跟不上科技发展和实际应用的需要,因此引起了国内外学者的极大关注。同时,工程中所用的材料,有的在自然状态下就是一种明显的多孔介质,如混凝土、木材、石料和陶瓷等;有的材料由于冷热加工过程,载荷与温度的变化,化学和射线的作用以及其它多种环境的影响,使材料内部存在和产生微观的以至宏观的缺陷,造成材料力学性能的逐步劣化,从而使结构强度明显削弱,寿命缩短。通常材料的劣化—损伤是不可避免的,这早就引起材料科学、力学、工程设计和生产部门工作者的相当重视。广义变分原理不但是进行理论研究和求近似解的有力工具,而且是有限元方法的理论基础。因此,国内外学者对广义变分原理的研究十分重视,取得了不少成果。上世纪60年代,Gurtin利用卷积理论,提出了能反映弹性动力学全部基本特征的变分原理,为求解弹性动力学初-边值问题的近似解奠定了可靠的基础。之后,热弹性、粘弹性、热弹性动力学中的各种Gurtin型变分原理也纷纷问世。在具体的工程和设计中,把有横向载荷作用的压杆称为梁-柱问题。梁-柱作为工程中的一种重要的结构元件,其相关的力学问题一直是固体力学研究的一个重要方面。由于梁-柱的极限承载力受到诸多方面的影响,如截面的形状、尺寸、材料的力学性能、残余应力、构件的初弯曲、载荷作用点的初偏心等,因此相应的计算方法和计算公式往往都是建立在实验研究的基础上,适用范围受到一定的限制。对梁-柱问题的研究主要包括梁-柱的静力平面弯曲和梁-柱的屈曲问题,而对损伤粘弹性梁-柱广义变分原理论证的报道的文献尚不多见。本文同时考虑材料的粘弹性性质和损伤缺陷,推导了损伤粘弹性梁-柱的运动微分方程、边界条件和初始条件,分别给出了损伤粘弹性梁-柱的卷积型泛函,建立了相应的Gurtin型广义变分原理。该变分原理可以为粘弹性梁-柱的静、动力学行为分析的Ritz法和有限元法奠定必要的理论基础。1应变参数和损伤动力演化方程设ui、εij、σij和-D分别是损伤粘弹性材料的位移、应变、应力分量及损伤变量,它们均是坐标xi和时间t的函数。根据连续介质力学和带空隙线弹性微结构基本理论],它们满足如下方程运动微分方程σij,j+fi-ρ¨ui=0(1)ρk-¨D-α-D,ii+ω-˙D+ξ(-D--D0)-βεkk+p=0(2)几何方程εij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi)(3)本构方程σij=C1⨂εij+C2⨂εkkδij-β(-D--D0)δij(4)式中C1和C2为粘弹性材料的性质函数,它们和蠕变函数J1和J2的关系为c1=L-1[1/(s2ˉJ1)],C2=L-1(ˉJ1-ˉJ2)/s2ˉJ1(ˉJ1+2ˉJ2)],式中,¯(⋅)和L-1分别表示Laplace变换和逆变换,s是变换参数。符号⨂是Boltzmann算子,定义为φ1(t)⊗φ2(t)=φ1(0+)φ2(t)+˙φ1(t)*φ2(t)=φ1(0+)φ2(t)+∫l0+˙φ1(t-τ)φ2(τ)dτ在(1)～(4)式中,fi为已知体积力,ρ为参考构形的已知密度,k为已知平衡惯量,p是已知外在平衡体积力,α,ω,ξ,β为材料的特征常数,其具体的物理含义分别是损伤梯度、损伤变化率,损伤本身和应变本身对损伤发展的影响,-D0是初始损伤。方程(2)为损伤动力演化方程取自Nunziatio和Cowin建立的带孔隙材料的理论。若材料的泊松比μ(t)≡μ=常数,则有J2(t)/J1(t)=(1-2μ)/(1+μ),C2(t)/C1(t)=μ/(1-μ)=μ12破坏粘性梁柱运动方程2.1应力分量的计算考虑受周期轴向力作用的各向同性梁-柱的横向运动,记横向位移为v(x,t),梁-柱的密度为ρ,宽度为1,高度为h,受到周期外力Q(t)=Q0cos2πt和横向载荷为q(x,t)的作用,截面弯矩为M(x,t),则梁-柱的动力学方程为ρh∂2v(x,t)∂t2+Q(t)∂2v(x,t)∂x2+∂2Μ(x,t)∂x2=q(x,t)(5)其中M(x,t)=∫h/2-h/2zσ(x,z,t)dz(6)而σ(x,z,t)为轴向应力分量。由(4)可得σ(x,z,t)=(C1+C2)⊗ε(x,z,t)-β-ˆD(7)其中ε(x,z,t)为轴向应变,损伤增量-ˆD=-D--D0。根据Cowin的理论,损伤增量可假设为坐标z的三次函数,即-ˆD(x,z,t)=-ˆD(x,t)(z33-h24z),因而,-ˆD(x,z,t)满足在z=±h2表面上∂-ˆD(x,z,t)∂z=0的条件。对于小变形,应变和位移的关系为ε(x,z,t)=z∂2v∂x2(8)将(8)代入到(7)得σ(x,z,t)=(C1+C2)⊗(z∂2v∂x2)-β-ˆD(9)因而有弯矩的表达式Μ(x,t)=h312[(C1+C2)⊗∂2v(x,t)∂x2+βh25ˆD(x,t)](10)由(5)和(10)可得挠度v(x,t)ρh∂2v(x,t)∂t2+Q(t)∂2v(x,t)∂x2+h312[(C1+C2)⊗∂4v(x,t)∂x4+βh25∂2ˆD(x,t)∂x2]=q(x,t)(11)同时,注意到损伤粘弹性材料损伤的运动微分方程(2)和应变的表达式(8),并令p=0可得到损伤ˆD的运动微分方程-ρk¨ˆD+αˆD,ii-ω˙ˆD-ξˆD+84β17h2∂2v∂x2=0(12)2.2边界条件(1)端部自由：x.0或x.l处的端部条件∂Μ∂x+F∂v∂x=0,Μ=0,∂ˆD∂x=0(13a)(2)端部简单分支：x.0或x.lv=0‚Μ=0ˆD=0(13b)(3)损伤发展力的边界v=0,∂v∂x=0,∂ˆD∂x=0(13c)在上述边界条件中,∂ˆD∂x=0是根据Cowin的理论得到的,即损伤发展力的边界上,必须满足损伤发展力为零的条件,即n¯⋅Δ¯ˆD=0‚ˆD=0为损伤边界上假定的条件。2.3v0.2v.t设粘弹性物体初始时(t<0)处于自然状态,且当t≥0时满足如下初始条件v|t=0=v0,˙v|t=0=˙v0;ˆD|t=0=ˆD0,˙ˆD|t=0=˙ˆD0(14)其中v0,˙v0;ˆD0,˙ˆD0是已知的。方程(11),(12)及其边界条件(13)和初始条件(14)构成控制损伤粘弹性梁-柱动力学行为的初边值问题。3带损伤粘弹性梁-柱运动微分方程的特征应用梁立孚等于1985年提出的变积法,可直接给出了损伤粘弹性梁-柱以卷积形式表示的泛函。损伤粘弹性梁-柱的广义变分原理:在满足位移边界条件的一切可能的位移v和损伤变量ˆD中,真实的位移和损伤使泛函Π取驻值,其中Π定义为Π=∫l0-12ρh˙v*˙vdx-h324∫l0(C1+C2)⊗∂2v∂x2*∂2v∂x2dx-h560∫l0βˆD*∂2v∂x2dx+17h75040∫l0[-12ρk˙ˆD*˙ˆD+αˆD,ii*ˆD-12ωδ′(t)*ˆD*ˆD-12ξˆD*ˆD-8417h2β∂2v∂x2*ˆD]dx+12∫l0F∂v∂x*∂v∂xdx+∫l0q*vdx-17h75040∫l0α(ˆD*ˆD,x),xdx-∫l0ρh[(v|t=0-v0)*˙v|t=Τ-˙v0*v|t=Τ]dx-∫l0ρhk[(ˆD|t=0-ˆD0)*˙ˆD|t=Τ-˙ˆD0*ˆD|t=Τdx(15)证明:对泛函Π进行变分,并令δΠ=0得到δΠ=-∫l0{ρh∂2v∂t2+F∂2v∂x2+h312[(C1+C2)⊗∂4v∂x4+βh25∂2ˆD∂x]-q}*δvdx+17h75040∫l0[-ρk¨ˆD+αˆD,ii-ω˙ˆD-ξˆD+84β17h2∂2v∂x2]*δDdx+[h312(C1+C2)⊗∂3v∂x3+F∂v∂x+h560β∂D^∂x]*δv|0l-[h312(C1+C2)⊗∂2v∂x2+h560βD^]*δ(∂v∂x)0l+17ah75040∂D^∂x*δD^l0-∫l0ρh[(v|t=Τ-v0)*δv˙|t=Τ+(v˙|t=0-v˙0)*δv|t=Τ]dx-∫l0ρhk[(D^|t=0-D^0)*δD^˙|t=Τ+(D^˙|t=0-D^˙0)*δD^|t=Τ]dx(16)这里已利用了卷积和Boltzmann算子的性质,对δΠ作变分运算并利用分部积分,不难得到δΠ的表达式。注意到区域积分中δv,δD的任意性,初始条件中δv|t=Τ,δv⋅|t=Τ,δD^|t=Τ‚δD^⋅|t=Τ的任意性,可得到带损伤粘弹性梁-柱的运动微分方程(11)和(12)及初始条件(14)。将它们代入到δΠ=0,可得到梁-柱的边界条件。即(1)fvx+h602v2v2h312(C1+C2)⊗∂3v∂x3+F∂v∂x+h560β∂D^∂x=0h312(C1+C2)⊗∂2v∂x2+h560βD^=0,∂D^∂x=0(17a)(2)端部简单分支：x.0或x.lv=0,h312(C1+C2)⊗∂2v∂x2+h560βD^=0,D^=0(17b)(3)变分原理cv=0,∂v∂x=0,∂D^∂x=0(17c)从而变分原理成立。当不考虑损伤时,该变分原理可以退化得到粘弹性梁-柱的变分原理,因此它可以作为粘弹性梁-柱变分原理的一种推广。4阶gactorin断裂系统模型为了方便,设梁-柱两端简支。由边界条件(13b)可将解进行Fourier级数展开v(x,t)=Σi=1∞v¯(t)isiniπxl,D^(x,t)=Σi=1∞D^—(t)isiniπxl(18)其中l为梁-柱的长度。为了计算的方便,我们假设梁-柱所受的横向载荷为q(x,t)=q¯(t)sinπxl(19)取n=1,3,将(18),(19)代入到(11),(12)式中,可得简化的二阶Galerkin截断系统为ρhl2v■1-π2Q2lv¯1+h3π424l3(C1+C2)⊗v¯1-h5π2β120lD^—1=q¯l2ρhl2v■2-9π2Q2lv¯3+27h3π48l3(C1+C2)⊗v¯3-3h5π2β40lD^—3=0-ρkl2D^■1-π2α2lD^—1-ωl2D^∸1-ξl2D^—-42π2β17h2lv¯1=0-ρkl2D^■3-9π2α2lD^—3-ωl2D^∸3-ξl2D^—3-378π2β17h2lv¯3=0(20)令v¯3=D^—3=0,即取n=1,我们可得一阶Galerkin截断系统模型。引入如下的无量纲化参量,并作如下的变量变换β1=l/h,v=v¯/h,D^1=h3D^—1,D^2=h3D^—2,β0=Q0/(ρVc2h),β2=C1(0)/(ρVc2),β3=β/(ρV2c),β4=α/(ρkV2c),β5=ξh2/(ρkV2c),β6=ωh/(ρkVc),β7=βh2/(ρkVc2),τ=tVc/h,τ0=τ0Vc/h,c1(τ)=C1(τ)/C1(0),q0=q¯/C1(0),y0=t,y1=v1,y2=v˙1,y3=v3,y4=v˙3,y5=∫0tc˙1(t-τ)v1(τ)dτ,y7=D^1,y8=D^˙1,y9=D^3,y10=D^˙3(21)对于标准线性固体,材料的松弛函数c1(t)满足下面的条件:c1(t)=c0+c1exp(-α1t),c1(0)=c0+c1=1(22)从条件(22)和方程(21)中,我们可得下面的常微分方程组:Y˙=F(Y)(23)其中Y={y0,y1,…,y10}T,F={F0,F1,…,F10}T,F0=1,F1=y2,F2=k1y1cos(2πt)-k2(y1+y5)+k3y7+β2q0,F3=y4,F4=k4y3cos(2πt)-k5(y3+y6)+k6y9,F5=-α1(c1y1+y5),F6=-α1(c1y3+y6),F7=y8,F8=-k7y7-β6y8-β5y7-k8y1,F9=y10,F10=-k9y9-β6y10-β5y9-k10y3其中k1=π2β0/β21,k2=π4β2(1+v1)/(12β41),k3=π2β3/(60β21),k4=9π2β0/β21,k5=27π4β2(1+v1)/(4β41),k6=3π2β3/(20β21),k7=π2β4/β21,k8=84π2β7/(17β21),k9=9π2β4/β21,k10=756π2β7/(17β21),取β0=0.01,β1=10,β2=105,β3=6.67×104,β4=3.33×105,β5=5.0×103,β6=36.1,β7=4.17×103,μ=0.23,c1=0.9,q0=0.001sin(2πt),进一步给定梁-柱的材料参数α1,应用动力系统的数值分析方法,分别给出了在不同的材料参数下的系统的响应。当材料的粘性参数α1较大时,系统的响应为渐近稳定,响应趋于零。当材料的粘性参数较小,系统的响应不稳定,响应渐渐增大。当α1=0.006时,系统的响应为一种临界状态,响应为近似的等幅振动。5g分系统法的gctin模型本