专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型(原卷版)

专题23.2模型构建专题：旋转中的常见模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一“手拉手”模型】 1【变式1等边三角形——等腰直角三角形】 3【变式2特殊三角形——矩形】 12【变式3特殊三角形——正方形】 16【类型二“半角”模型】 22【典型例题】【类型一“手拉手”模型】例题：（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点旋转到图①的位置时，连接并延长相交于点（点与点重合），有（或）成立．

(1)将△ADE绕点旋转到图②的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？并加以证明；(2)将△ADE绕点旋转到图③的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【变式1等边三角形——等腰直角三角形】例题：（2023春·吉林长春·七年级校考期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若，，，则≌．(1)【材料理解】在图1中证明．(2)【问题解决】如图2，和都是等腰三角形，，，，线段与线段交于点F，延长交于点，求证：．下面是小明的部分证明过程：证明：∵，，∴，∵，∴．请你补全余下的证明过程．(3)【结论应用】如图3，是等腰三角形，，、分别为边、上的点，且满足，连接，将以点为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为，当线段与的腰有交点，且直线垂直于的腰时，直接写出的值．【变式训练】1．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知和都是等腰直角三角形（），．

(1)如图①，连，，求证：；(2)若将绕点顺时针旋转．①如图②，当点恰好在边上时，求证：；②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．2．（2023春·江西吉安·八年级校联考期中）如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．(1)当时，如图2，求证：；(2)当时，如图3，延长交于点，求证：垂直平分；(3)在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．【变式2特殊三角形——矩形】例题：（2023春·福建福州·八年级统考期末）矩形的边长，，将矩形绕点顺时针旋转角得到矩形，点、、的对应点分别为、、．

(1)如图，当过点时，求的长；(2)如图，当点落在上时，连结、．①四边形是何特殊的四边形？请说明理由；②证明点、、三点共线．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：．【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度．

【变式3特殊三角形——正方形】例题：（2023·山西大同·校联考三模）综合与实践：问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．

(1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；(2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度数；(3)问题解决：如图4，如果，，，请直接写出点G到的距离．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．【类型二“半角”模型】例题：（2023春·福建漳州·八年级校考期中）（1）【发现证明】老师在数学课上提出一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，请试判断、、之间的数量关系，小聪把绕点A逆时针旋转至，发现，请你利用图1证明上述结论．（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，要使得仍然成立，则与应满足什么数量关系？请说明理由．（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路、上分别有景点E、F，且，）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长，

【变式训练】1．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)梳理，把绕点A逆时针旋转