一级倒立摆论文

直线倒立摆论文姓名:许才生班级：13自动化一班学号：21306061083日期：2023.05.22摘要倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院〔MIT〕的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比拟理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的开展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比拟真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。第一章绪论1.1引言杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技术的精湛引人入胜，更重要的是其物理本质与控制系统的稳定性密切相关。它深刻揭示了自然界一种根本规律，即一个自然不稳定的被控制对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。由此不难看出杂技演员顶杆表演的物理机制可简化为一个倒置的倒立摆装置，也就是人们常称的倒立摆或一级倒立摆系统。早在上世纪60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究。倒立摆作为一个典型的不稳定、严重非线性的例证，用来检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆受到世界各国许多科学家的重视，成为目前具有挑战性的课题之一。倒立摆系统有两个平衡点：悬垂状态的稳定平衡点和倒立状态的不稳定平衡点。对倒立摆的控制包括摆起控制和稳定控制，摆起即将摆从稳定平衡点摆至不稳定平衡点，稳定控制即将倒立摆系统稳定在不稳定平衡点附近。到目前为止，已经有许多关于摆起及稳定控制的论文发表，这些成果针对摆起和稳定采用不同的控制思路并用统一的控制理论来实现这两个过程[1]1.2倒立摆的研究现状倒立摆的控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题，因此对倒立摆系统的研究在理论和方法论上均有着深远的意义。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。早在20世纪50年代，麻省理工学院〔MIT〕的控制论专家就根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验设备，此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星发射架的稳定控制、飞机平安着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等，均涉及到倒立摆问题。事实上，人们一直在试图寻找不同的控制方法来实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。倒立摆是理想的自动控制教学实验设备，它能全方位地满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表现出来。由于倒立摆系统的高阶次、严重不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，吸引着许多学者和研究人员不断地从倒立摆控制中开掘新的控制策略和算法，并应用于航天科技和机器人等领域[2]。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆等。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级、乃至多级。倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的〔这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义〕。控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆系统的研究意义在控制理论开展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个被控制对象。倒立摆的典型性在于：作为一个实验装置，本钱低廉，结构简单，便于实现模拟和数字两种不同的方式的控制；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定[3]。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用途，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机平安着陆，化工过程控制都属于这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，已成为控制理论中经久不衰的研究课题。第二章倒立摆概述由绪论可知，倒立摆是一个可以反映现代控制理论的系统，其采用的控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。本章主要介绍倒立摆系统的分类、特性、系统框架以及倒立摆的工作原理，并建立倒立摆系统的数学模型。2.1倒立摆分类以及特性2.1.1倒立摆分类到目前为止，倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：(1)直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆。直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。(2)环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。(3)平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种(4)复合倒立摆系列复合倒立摆是一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的根底实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆[4]2.1.2倒立摆的特性虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：(1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。(2)不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。(3)耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。(4)开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。(5)约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低本钱，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象2.2倒立摆系统框图倒立摆系统通常采用的结构是PC+运动控制硬件+运动控制软件+电控单元+运动实验平台。其硬件包括倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC机组成的控制平台等三大局部，其硬件框图如图2.1所示。其中控制平台包括[5]：(1)与IBMPC/AT机兼容的PC机，带PCI/ISA总线插槽；(2)GT400-SV-PCI、GM400运动控制卡；(3)计算机与运动控制卡的接口及GUI一级倒立摆系统如上图2.2所示，由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体两局部组成。在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间通过轴承连接，并在连接处安置电位计用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆杆可在垂直平面内自由运动，直流电动机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。只要在顶端铰链再联接摆，就可以组成二级、三级甚至更多级的倒立摆，在一些复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等。倒立摆的工作原理大致相同，即用一种强有力的控制方法对小车的速度做适当的控制，从而使全部摆杆倒置稳定于小车正上方。倒立摆刚开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动。而经过几次摆动后，能自动直立起来。这种被控量既有角度，又有位置，且它们之间又有关联，具有非线性、时变、多变量藕合的性质[6]倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反响测量元件组成一个闭环系统。以直线一级倒立摆为例，其工作原理框图如图2.3所示。图中光电码盘1由伺服电机自带，小车的位移可以根据该码盘的反响通过换算获得，速度信号可以通过对位移的差分得到。各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反响到I/O卡，而角速度信号可以通过对角度的差分得到。计算机从I/O卡实时读取数据，确定控制决策〔电机的输出力矩〕，并发给I/O卡。I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量，驱动电机转动，使小车按控制要求进行。对于二级或更多级数的倒立摆，需要相应增加光电码盘以检测各摆杆的角度。实际系统配置中，可以根据需要自行配置I/O卡、伺服电机和伺服驱动器第三章倒立摆数学模型3.1一阶倒立摆的模型图3-1倒立摆结构在考虑空气流动、小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆的影响之后，可将倒立摆抽象成小车和匀质杆，如图3–2所示。图3–2是系统中小车和摆竿的受力分析图，其中N和P分别为小车和摆竿相互作用力的水平和垂直方向的分量。要求摆角的摆动不超过0.35rad。表3-1一阶倒立摆系统参数图3-2小车与倒立摆受力分析图应用牛顿力学进行受力分析，小车在水平方向的受力情况是摆杆在水平方向的受力情况是把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程:为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力行分析，可以得到下面方程:力矩平衡方程如下：注意：由于，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：设〔是摆杆与垂直向上方向之间的夹角〕，假设与1〔单位是弧度〕相比很小，即≤1，那么可以进行近似处理：。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如：(2–7)传递函数的推导对方程组(2–7)进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出是角度，求解方程组〔2–8〕的第一个方程，可以得到把上式代入方程组〔2–8〕的第二个方程，得到整理后得到传递函数：其中系统状态空间方程为整理后得到系统状态空间方程：3.2一级倒立摆的可控性分析通过对一级倒立摆的建模分析，得到一级倒立摆的数学模型，并且在平衡点附近线性化得到系统的状态方程，便可以分析以及倒立摆在平衡点附近的能控性。由的矩阵A，B在MATLAB环境下求得系统的极点为：[0;-0.0781;5.2727;-5.2779]，由此可以看出，系统有两个特征值位于坐标系的左半平面，因此系统是不稳定的。系统的能控矩阵P的秩为4，根据线性系统的可控性判据可知，一级倒立摆系统在平衡点附近为完全可控的。第四章控制理论的作用自动化已深入到各个领域，大到军事，航天，小的楼宇电梯。而在中国社会主义建设的现今阶段，过程自动化控制在工业生产领域，不断的发挥着提高效率，控制质量，节约本钱等重要作用，已经成为除“工艺〞，“电气〞等之外，不可或缺的生产保障范围。1.三大环节就生产过程自动化而言，整体上可分为三大环节，即“过程检测〔ProcessDetection〕〞、“过程控制系统〔ProcessControlSystem〕〞、“过程控制装置〔ProcessControlDevices〕〞。此三大环节工作内容，即为过程检测装置把实际的现场的工程量检测出来，即当前的压力、流量、温度等，转换成为控制系统环节可以识别的电信号，并传送给控制系统；过程控制系统环节接收到由过程检测装置传输来的信号，一那么显示该信号的工程值，反响当前现场的实际情况，一那么根据此信号值，经过相关的计算，将结果转换为过程控制装置〔即现场控制阀门或电机等〕可以识别的电信号，传送给过程控制装置；过程控制装置根据过程控制系统传输来的电信号，修正其执行机构的执行量大小，进而影响现场的实际情况，而该实际情况又重新被过程检测装置识别，再转换传送给过程控制系统，等等，周而复始形成整套循环，此为过程控制自动化中，大的闭环控制系统。该闭环控制系统，又是由或多或少的多个小的开环或闭环控制系统组成，根据生产需要，其规模、内容、精度及相关设备的性能，也不尽相同。但归咎其理论，都基于经典控制理论根底为原那么和依据。如果把过程自动化系统比作是人，过程检测装置相当于人的眼睛、鼻子等感官，其工作原理是基于一些根本的和非根本的物理化学性质等，检测现场情况。过程控制装置相当于人的四肢，根据要求执行各种动作。而过程控制系统，那么相当于人的大脑，分析和计算各种信息，并发出各种命令。从原来的二型及三型盘装仪表，到现在的PLC(可编程控制器)、DCS〔集中分散控制系统〕等，其工作的理念和工作方式是极为复杂的，也正应为此，经典控制理论在过程控制系统中，也是表达的最为明显的。那么，何为经典控制理论？一般来看，自动控制理论分为“经典控制理论〞和“现代控制理论〞两大局部，经典控制理论主要以传递函数为根底，研究单输入单输出〔SISO〕自动控制系统的分析和设计问题。而现代控制理论那么主要是以状态空间法为根底，研究多输入多输出〔MIMO〕及变参数、非线性控制系统的分析设计问题。二者是自动控制理论开展的两个阶段，但是它们又是相互影响和促进的，现代控制理论也不能看做是经典控制理论的延续和推广，其采用的数学工具、理论根底、研究方法、研究对象都有着明显区别。而在生产过程自动化领域里，控制系统主要是以数学模型和函数为根底，研究SISO系统，外表上看，有多输入多输出，而其输入多以计算变参数及补偿的方式出现，主要的输入对象，即控制对象是单一的，输出也多为一输出一控制。因此，按照生产过程自动化的特点，用经典控制理论研究其分析和设计的实际问题，是相对最适宜的。在自动控制系统中，有三大根本要求，即稳定性、精确性和快速性。此三大根本要求直接影响了生产过程中的平安和效率。而在实际的应用中，我们在各个过程控制系统中，可以通过其他的方式来判断系统该回路的稳定性、速度和准确度。2控制系统中的典型环节。比例环节：又称放大环节，其特点是一种输出量与输入量成正比、无失真和时间延迟的环节，即它的输出量能够无失真、无延迟的按照一定比例关系复现输入量。微分环节：微分环节分三种，即理想微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节。理想微分环节的输出量与输入量的一阶导数成正比，其输出能预示输入变化的趋势，具有相对超前作用，因此该环节又叫做超前环节。一阶微分环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和。二阶微分具有一对共轭复零点。由于微分环节的输出量与输入量的各阶微分有关，因此，微分环节能预示输入信号的变化趋势。积分环节；积分环节的特点是其输出与输入的积分成正比。当输入消失，输出具有记忆功能。惯性环节：惯性环节具有一个贮能元件，输出量不能立即跟随输入量的变化，而是存在惯性。其输出与其变化率的加权和等于输入。振荡环节：振荡环节具有两个贮能元件，当输入量发生变化时，两种贮能元件的能量相互交换，其输出出现振荡。延迟环节：又称纯滞后环节、时滞环节，其特点是环节的输出是经过一定的延时时间后，完全复现输入信号。了解了以上六中控制系统中常见的典型环节后，我们再回到PID控制器的分析中来。PID控制器。PID控制器〔比例-积分-微分控制器〕，由比例单元P、积分单元I和微分单元D组成。通过Kp，Ki和Kd三个参数的设定。PID控制器主要适用于根本线性和动态特性不随时间变化的系统。由以上概念我们不难看出，PID控制器中有：比例环节、积分环节和理想微分环节三个控制系统典型环节。结合三个典型环节的特点，我们分析PID的工作原理：比例环节来控制当前，误差值和一个负常数P〔表示比例〕相乘，然后和预定的值相加。P只是在控制器的输出和系统的误差成比例的时候成立。这种控制器输出的变化与输入控制器的偏差成比例关系。积分环节来控制过去，误差值是过去一段时间的误差和，然后乘以一个负常数I，然后和预定值相加。I从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会振荡，会在预定值的附近来回变化，因为系统无法消除多余的纠正。通过加上一个负的平均误差比例值，平均的系统误差值就会总是减少。所以，最终这个PID回路系统会在预定值定下来。理想微分环节来控制将来，计算误差的一阶导，并和一个负常数D相乘，最后和预定值相加。这个导数的控制会对系统的改变作出反响。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反响。这个D参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。D参数对减少控制器短期的改变很有帮助。这样，我们就可以知道PID控制器中，各个典型环节的作用，也就知道了调试的方向。根据输出对应输入的曲线，我们可以知道在哪个典型环节出了问题，需要进行调节其参数。例如，如果我们的输入信号没有回到我们预想的设定线上来，而是等副振荡，那么我们就知道是积分环节没有起到及时的消差作用，需要调节Ki来放大积分的作用。如果输入曲线横向的周期较大或较小，曲线回归缓慢或者过快〔过快对设备的使用寿命是不利的〕，那么我们就会知道比例环节的作用缓慢，需要调整Kp来调整其相应时间。一般单回路调节中，微分环节用到的相比照拟少，相对变化缓慢的输入应考虑用微分环节，例如温度调节。由于温度调节的滞后性，用输出能预示输入变化的趋势，具有相对超前作用的环节，可提前计算其变化，作相应的输出，适用环节即理想微分环节。如不增加微分环节，那么会产生振荡，影响生产的稳定性及调节效率当然，研究经典控制理论，还有很多其他的方法，例如“时域分析法〞、“根轨迹分析法〞，“频率特性分析法〞等等。控制系统模型的