新高考数学一轮复习7.6 空间向量求空间距离（精讲）（基础版）（解析版）

7.6空间向量求空间距离（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一点线距【例1】（2022·福建）在空间直角坐标系中，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为___．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【一隅三反】1（2022·北京·二模）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴动点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号，即线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则C到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知，SKIPIF1<0，取AC的中点O，则SKIPIF1<0，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的长度为SKIPIF1<0，故点C到直线SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0.故选：D3．（2022·广东）如图，在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，E为BC的中点，点P在线段SKIPIF1<0上，点Р到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】在正方体SKIPIF1<0中，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因点P在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上投影长为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则点Р到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“=”，所以点Р到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0考点二点面距【例2】（2022·江苏常州）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为上底面SKIPIF1<0和侧面SKIPIF1<0的中心，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，易知SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：A.【一隅三反】1．（2022·哈尔滨）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·江苏）将边长为SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折成直二面角，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为___．【答案】SKIPIF1<0【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知SKIPIF1<0，所以在图2中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0如图建立空间直角坐标系，易知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为平面ABC的法向量，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03．（2022·福建福州）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离．【答案】(1)证明见详解.(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则SKIPIF1<0,设面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.考点三线线距【例3】（2022·全国·高三专题练习）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图所示，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴如图建立空间直角坐标系则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公垂线的方向向量为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0又SKIPIF1<0则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0故选：D【一隅三反】1．（2022·山东）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂线的方向向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】2．（2022·江苏）长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公垂线的一个方向向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0．故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上任意一点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，可知此时SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离最短设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是SKIPIF1<0.故选：B.考点四线面距【例4】（2022广西）如图，已知斜三棱柱SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影恰为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0又知SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）证明：∵SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是菱形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·山西）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面AD1E(2)求直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如图建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.2．（2022·海南）如图，在正方体SKIPIF1<0中，棱长为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.(2)若SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)如图，以A为坐标原点，SKIPIF1<0分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0,因为正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，而SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0.3．（2022·北京）图1是直角梯形SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为折痕将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如图2.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0？若存在，求出直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)存在点SKIPIF1<0且为SKIPIF1<0的中点；SKIPIF1<0.【解析】(1)证明：如图所示：在图1中连接AC，交BE于O，因为四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在图2中，相交直线SKIPIF1<0均与BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)由（1）分别以SKIPIF1<0为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0.考点五面面距【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为a，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方体的性质，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则两平面间的距离可转化为点B到平面SKIPIF1<0的距离．以D为坐标原点，DA，DC，SKIPIF1<0所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则两平面间的距离SKIPIF1<0．故选：D【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0之间的距离为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，显然平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0．2．（2022山西）两平行平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别经过坐标原点SKIPIF