专题1.7二次函数的应用及综合问题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（解析版）【苏科版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.7二次函数的应用及综合问题精讲精练【目标导航】【知识梳理】二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题． 应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题．（一）简单应用对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式．（二）建模应用利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．（三）销售问题二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．（四）运用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值．1．二次函数在没有限制条件下的最值：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．2．二次函数在给定范围条件下的最值：如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则需要计算当，，时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当，时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）．（五）二次函数综合问题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．【典例剖析】【考点1】二次函数的应用：面积问题【例1】（2022秋•兴化市期中）某农场要建一个长方形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙（墙长27m），另外三边用木栏围成，木栏长40m．（1）若鸡场的面积为150m2，求AB的值；（2）AB为何值时，鸡场的面积有最大值？最大值是多少？【分析】（1）设AB长为xm，则BC＝（40﹣2x）m，由x（40﹣2x）＝150求解．（2）设鸡场面积为S，通过配方法求解．【解答】解：（1）设AB＝x米，BC＝（40﹣2x）米，根据题意得：x（40﹣2x）＝150，整理得﹣2x2+40x﹣150＝0，解得：x1＝15，x2＝5，∵40﹣2×5＝30＞27，∴x＝15．答：AB为15m．（2）设鸡场面积为S，则S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∴当x＝10时，鸡场面积最大为200m2．答：AB为10m时，鸡场的面积有最大值，最大面积是200m2．【变式1.1】（2022秋•徐州期中）如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边，即AB的长为xm．（1）若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）根据矩形的面积＝36列出方程，解方程去符合条件的x的取值即可；（2）根据矩形的面积公式列出函数解析式，并根据函数的性质和x的取值范围求最值．【解答】解：（1）由题意得：x（18﹣2x）＝36，整理得：x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6，∵18﹣2x≤10，∴x≥4，∴x＝6；（2）设矩形养殖场的面积为y平方米，由题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣2（x﹣）+，∵﹣2＜0，4≤x＜18，∴当x＝时，y最大，最大值为，答：当x为4.5米时，矩形养殖场的面积最大，最大值是平方米．【变式1.2】（2022秋•鼓楼区校级月考）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为13m，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝4时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞13，不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为13m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝4时，y取最大值，最大值为48，答：当x＝4时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为48m2．【变式1.3】（2022秋•连云区校级月考）已知一个包装盒的表面展开图如图．（1）若此包装盒的容积为1125cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值；（2）是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的x的值和最大容积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用其容积等于1125cm3，列出有关x的一元二次方程求解即可；（2）设此包装盒的容积是ycm3，可得y＝15x（20﹣x）＝﹣15x2+300x＝﹣15（x﹣10）2+1500，由二次函数性质得x的值是10时，此包装盒的容积最大为1500cm3．【解答】解：（1）根据题意得：15x（﹣x）＝1125，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x＝15或x＝5，答：关于x的方程为15x（﹣x）＝1125，x的值为15或5；（2）存在x的值，使得此包装盒的容积最大，理由如下：设此包装盒的容积是ycm3，根据题意得：y＝15x（20﹣x）＝﹣15x2+300x＝﹣15（x﹣10）2+1500，∵﹣15＜0，∴x＝10时，y取最大值，最大值为1500，∴x的值是10时，此包装盒的容积最大为1500cm3．【考点2】二次函数的应用：表格问题【例2】（2022春•江阴市校级月考）据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【分析】①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化简得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．【解答】解：①由题意得：100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．答：景区六月份的门票总收入为798万元；②设丙种门票价格降低x元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化简，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴当x＝24时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．【变式2.1】（2022秋•海安市校级月考）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x＞50）元/件的关系如表：销售单价x（元/件）…55607075…一周的销售量y（件）…450400300250…（1）试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？（3）在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？【分析】（1）设y＝kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为8000，进而得出销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意得，，解得：，则函数关系式为：y＝﹣10x+1000（x≥50）；（2）由题意得，S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，当S＝8000时，8000＝﹣10（x﹣70）2+9000，解得：x1＝60，x2＝80，∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当60＜x＜80时，销售利润一周的销售利润不低于8000元；（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000解得：x≥75，又由于最大进货量为：y＝10000÷40＝250，由题意可知，当x＝75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．S＝250×（75﹣40）＝8750（元），∴该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．【变式2.2】（2022秋•如东县期中）某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：每辆进价（万元）每辆售价（万元）每季度销量（辆）A60x﹣x+100B50y﹣2y+150（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）根据以上信息解答下列问题：（1）用含x的代数式表示y；（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．【分析】（1）根据4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可；（2）根据该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0；（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润＝销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：﹣2y+150＝2（﹣x+100），整理得：y＝x﹣25；（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（y﹣50）（﹣2y+150），由（1）知，y＝x﹣25，∴（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣75）（﹣2x+200），整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得x1＝90，x2＝100，∵x＝100时利润为0，∴x的值为90；（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，则w＝（x﹣60）（﹣x+100）+（y﹣50）（﹣2y+150）＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣75）（﹣2x+200）＝﹣3x2+510x﹣21000＝﹣3（x﹣85）2+675，∵﹣3＜0，∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．【变式2.3】（2020秋•东台市月考）近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．销售单价x（元/件）……20253040……每月销售量y（万件）……60504020……（1）若y是x的一次函数，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+100；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？【分析】（1）设y＝kx+b，用待定系数法可得y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+100，（2）根据题意得：（x﹣18）（﹣2x+100）＝440，即可解得当销售单价为40元或28元时，厂商每月获得的利润为440万元；（3）根据厂商每月的制造成本不超过540万元，得﹣2x+100≤30，解得x≥35，设厂商每月获得的利润是w万元，w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，由二次函数性质可得当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（20，60），（30，40）代入得：，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+100，故答案为：y＝﹣2x+100；（2）根据题意得：（x﹣18）（﹣2x+100）＝440，解得x＝40或x＝28，答：当销售单价为40元或28元时，厂商每月获得的利润为440万元；（3）∵厂商每月的制造成本不超过540万元，∴y≤，即﹣2x+100≤30，解得x≥35，设厂商每月获得的利润是w万元，w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，∵﹣2＜0，对称轴为直线x＝34，∴x＝35时，w取最大值，最大值为﹣2×（35﹣34）2+512＝510（万元），答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．【考点3】二次函数的应用：销售图象问题【例3】（2021秋•涟水县期末）某超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）将点（25，130）、（35，110）代入一次函数表达式，用待定系数法即可求解；（2）根据利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝kx+b，由图象得：，解得：，∴每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝﹣2x+180；（2）W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+180）＝﹣2x2+220x﹣3600，∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝55，∵﹣2＜0，20≤x≤40，∴当x≤55时，W随x的增大而增大，∴当x＝40时，W有最大值，最大值为2000，∴销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元．【变式3.1】（2022秋•姑苏区校级月考）云南某星级酒店共有50个房间供给受疫情影响需要隔离的人员居住，每间房价不低于200元且不超过350元，酒店还需对隔离人员居住的每个房间每天支出各种费用共计120元已知需要隔离的人员居住的房间数y（单位：间）和每个房间定价x（单位：元）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当房价定为多少元时，酒店利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据酒店利润数＝单个房间的利润×隔离人员居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40），（290，38）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+96（200≤x≤350）；（2）设酒店的利润为w元，则w＝（x﹣120）y＝（x﹣120）（﹣x+96）＝﹣x2+120x﹣11520＝﹣（x﹣300）2+6480，∵﹣＜0，230≤x≤350∴当x＝300时，w取得最大值，最大值为6480元，答：当每间房价定价为300元时，酒店每天所获利润最大，最大利润是6480元．【变式3.2】（2022•淮阴区校级一模）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．（1）直接写出点B的坐标（80，100），并求线段BC对应的函数表达式；（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解．【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，故线段BC对应的函数表达式为：y＝5x﹣300；故答案为：（80，100）；（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤15250．故当x＝110时，w的值最大；综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．【变式3.3】（2022春•丰县月考）某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；（3）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率＝利润÷成本×100%）（4）疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a元（10≤a≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a的取值范围．【分析】（1）设与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；（2）根据利润﹣（售价﹣单价）x销售量，即可得出答案；（3）根据题意可求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（4）根据题意可求出x的取值范围和W与xa的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，即可得出关于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：．∴y＝﹣x+180，令y＝0，则﹣x+180＝0，解得：x＝180．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180（100＜x≤180）；（2）∵y＝﹣x+180，∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180），＝﹣x2+280x﹣18000，即每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W＝﹣x2+280x﹣18000（100＜x≤180）；（3）根据题意可得：≤30%，解得：x≤130，∴100＜x≤130，∵W＝﹣x2+280x﹣18000＝﹣（x﹣140）2+1600，∴当x＝130时，W有最大值，且Wmax＝﹣（130﹣140）2+1600＝1500（元）．故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元．（4）根据题意可知≤50%，解得：x≤150，W＝﹣x2+280x﹣18000﹣a（﹣x+180）＝﹣[x﹣（140+）]2+﹣40a+1600，∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，∴140+≥150，解得：a≥20，∵10≤a≤25，∴20≤a≤25．【考点4】二次函数的应用：最大利润【例4】（2022春•崇川区校级月考）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍．若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其它成本）；（2）若每盒产品涨价x元（x≤12，且x为整数），每天的利润是w元，①求w与x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；②若要使该产品销售过程中的日利润不低于15750元，不超过15990元，请直接写出x的取值范围．【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；（2）①根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；②根据①中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得﹣＝100，解得m＝3，经检验，m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）①根据题意，得w＝（30+x）（500﹣10x）＝﹣10x2+200x+15000，∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+200x+15000；②由①知w＝﹣10x2+200x+15000＝﹣10（x﹣10）2+16000，当﹣10x2+200x+15000＝15750时，x＝5或15，当﹣10x2+200x+15000＝15990时，x＝11或9，所以当年日利润不低于15750元，不超过15990元，5≤x≤9或11≤x≤15．【变式4.1】（2022•射阳县一模）新冠疫情爆发后，某超市发现使用湿巾纸量变大，其中A种湿巾纸售价为每包18元；B种湿巾纸售价为每包12元．该超市决定购进一批这两种湿巾纸，经市场调查得知，购进2包A种湿巾纸与购进3包B种湿巾纸的费用相同，购进10包A种湿巾纸和购进6包B种湿巾纸共需168元．（1）求A、B两种湿巾纸的进价．（2）该超市平均每天可售出40包A种湿巾纸，后来经过市场调查发现，A种湿巾纸单价每降低1元，则平均每天的销量可增加8包．为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将A种湿巾纸调整售价后，当天销售A种湿巾纸获利224元，那么A种湿巾纸的单价降了多少元？（3）该超市准备购进A、B两种湿巾纸共600包，其中B种湿巾纸的数量不少于A种湿巾纸数量的两倍．请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．【分析】（1）设A种湿巾纸的进价为x元，B种湿巾纸的进为y元．根据“购进2包A种湿巾纸与购进3包B种湿巾纸的费用相同．购进10包A种湿巾纸和购进6包B种湿巾纸共需168元建立方程组，解方程组即可得；（2）设种湿巾纸的单价降了a元，根据当天销售A种湿巾纸获利224元建立方程，解方程即可得．（3）设购进种湿巾纸m包，该超市获得利润为W元，则购进B种湿巾纸（600﹣m）包，先求出W与m之间的函数关系式，再求出m的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可得．【解答】解：（1）设种湿巾纸的进价为x元，B种湿巾纸的进价为y元，由题意得：，解得，答：A种湿巾纸的进价为12元，B种湿巾纸的进价为8元．（2）设A种湿巾纸的单价降了a元，由题意得：（40+8a）（18﹣a﹣12）＝224，解得a＝2或a＝﹣1（不符题意，舍去）．答：A种湿巾纸的单价降了2元．（3）设购进种湿巾纸m包，该超市获得利润为W元，则购进B种湿巾纸（600﹣m）包，由题意得：W＝（18﹣12）m+（12﹣8）（600﹣m）＝2m+2400，∵B种湿巾纸的数量不少于A种湿巾纸数量的两倍，∴，解得0＜m≤200，由一次函数的性质可知，当0＜m≤200时，w随m的增大而增大，则当m＝200时，W取得最大值，最大值为2×200+2400＝2800，答：该超市获利最大的进货方案是购进A种湿巾纸200包，购进B种湿巾纸400包，最大利润为2800元．【变式4.2】（2022•南京二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：方式一：若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．方式二：每亩土地的年租金是600元．（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是500元；（2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？并求出最大值；（3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元（a＞0）给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构．当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．（注：年收入＝年总租金﹣捐款数）【分析】（1）根据年租金＝400+5（100﹣租出去的亩数）即可求解；（2）设出租的土地为x亩，根据题意分别求出方式一和方式二的租金，然后做差，用二次函数的性质求解即可；（3）先求出方式一和方式二的年收入，再做差，然后根据函数的性质求出最小值，再根据当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入求出a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：400+5（100﹣80）＝400+100＝500（元），故答案为：500元；（2）设出租的土地为x亩，方式一年总租金为y1元，根据题意，得y1＝[400+5（100﹣x）]•x＝﹣5x2+900x，方式二年总租金为y2元，根据题意，得y2＝600x，∴y1﹣y2＝﹣5x2+900x﹣600x＝﹣5（x﹣30）2+4500，∴当x＝30时，y1﹣y2有最大值4500，∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，最大值为4500元；（3）设出租x亩土地，方式一的年收入为：﹣5x2+900x﹣ax，方式二的年收入为：600x﹣1800，设方式一与方式二的年总收入差为w元，由题意可得：w＝﹣5x2十900x﹣ax﹣600x+1800＝﹣5x2+（300﹣a）x+1800∴对称轴为直线x＝﹣＝30﹣a，∵a＞0，∴对称轴直线x＝30﹣a＜30，∵0＜x≤60，∴当x＝60时，w取得最小值w60＝﹣5×602+（300﹣a）×60+1800＝﹣60a+1800，租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，则w60＝﹣60a+1800≥0，即60a≤1800，解得：a≤30，∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤30．【变式4.3】（2022春•锡山区期中）某商店出售一款电动玩具，进价为每件30元，销售一段时间后发现，该玩具的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：销售单价x（元/件）505570日销售量y（件）706550（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）求该商店销售这款玩具获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于原材料成本上涨，该款玩具的进价每件增加了10元，但物价部门为了规范市场经营秩序，规定销售单价不能超过a元/件，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，该玩具的日销售最大利润是1500元，求a的值．【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法得关系式．（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．（3）将1500元代入新函数，先求解的值，再根据最大利润为1500元进行检验即可得到的a．【解答】解：∵该玩具的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，∴设解析式为y＝kx+b，由表中数据得，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+120；（2）设获得的日利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，∵，∴30≤x≤120，∵﹣1＜0，∴当x＝75时，w有最大值，最大值为2025，∴该商店销售这款玩具获得的最大日利润为2025元；（3）∵玩具的进价每件增加了10元，∴进价为：40元，设此时的利润为M元，∴M＝y（x﹣40）＝（﹣x+120）（x﹣40）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，∵，∴40≤x≤120，∵该玩具的日销售最大利润是1500元，∴﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得：x＝90或x＝70，∵当x＝90时，最大利润可以达到1600元，不合题意，∴a＝70．【考点5】二次函数的应用：抛物型问题【例5】（2022春•崇川区期末）5月19日，崇川区进行了一次全民核酸检测，某小区上午6点开始检测，居民陆续到采集点排队，7点20后排队不再新增人数，秀秀就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间x（分钟）020406080859095100人数y（人）80150200230240180120600秀秀把数据在平面直角坐标系里描点连线，得到如图所示函数图象：当0≤x≤80，y是x的二次函数；当80＜x≤100，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；（2）若排队人数在200人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态持续的时间多长？【分析】（1）将A，B点的坐标代入二次函数解析式中即可；（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝200分别代入两个函数求出x，相减即可得出答案．【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+240，将A（0，80）代入得a＝﹣，∴二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣80）2+240＝﹣x2+4x+80；（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，将C（80，240），D（100，0）代入，得：，解得：，∴CD的解析式为：y＝﹣12x+1200，将y＝200代入y＝﹣x2+4x+80中，得：x2﹣160x+4800，解得：x＝40或x＝120（舍去），将y＝200代入y＝﹣12x+1200中，得：﹣12x+1200＝200，解得：x＝，∵﹣40＝，∴满负荷状态的时间为分．【变式5.1】（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；（3）落点P与坡顶C之间的距离为50m．【分析】（1）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，把（0，70）（4，75）（8，78）代入可得关系式；（2）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案；（3）计算抛物线和线段BC的交点P的坐标，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OA为70m，∴A（0，70），设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，把（0，70）（4，75）（8，78）代入得，解得，所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；（2）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，∵坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4，∴OB＝80m，即B（80，0），设线段BC的关系式为y＝kx+b，则，解得：，所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），则MN＝﹣a2+a+70+﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是30.25米；（3）如图，由题意得﹣x2+x+70＝﹣x+60，解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），∴PD＝40米，OD＝30米，∴CD＝60﹣30＝30（米），∴PC＝＝50（米），答：落点P与坡顶C之间的距离为50米，故答案为：50．【变式5.2】（2022秋•如皋市校级月考）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求水流运行轨迹的函数解析式；（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，用待定系数法求得解析式；（2）将x＝12代入（1）中所求代数式，再跟3.5进行比较．【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，将点（0，1）代入可得a＝﹣，∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）能，理由如下：当x＝12时，y＝﹣（12﹣8）2+5＝4＞3.5，∴水流不能碰到这棵果树．【变式5.3】（2022秋•如东县期中）嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如图，B是该函数图象上的一点．（1）画出该函数的大致图象；（2）若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．【分析】（1）根据题意画出图象即可；（2）根据题意解方程即可得到结论．【解答】解：（1）函数图象如图所示；（2）解：令y＝0，得﹣（x﹣4）2+3＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），∴抛物线与x轴的坐标为（10，0）．∴铅球推出的距离为10m，∵若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀，∴嘉嘉此次试投的成绩达到优秀．【考点6】二次函数的应用：分段函数问题【例6】（2022春•睢宁县月考）因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如表：时间x（分钟）01234567899＜x≤15人数y（人）0170320450560650720770800810810（1）研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y与x之间的函数关系式．（2）如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x＝7时，w的最大值＝490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．【解答】解：（1）有表格中数据可知，当x＝0时，y＝0，∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，由题意可得：解得：180，∴9分钟内y与x之间的函数关系式y＝﹣10x2+180x；（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x＝，①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴当x＝7时，w的最大值＝490，②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，∴210≤w＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，解得：x＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，解得m≥，∵m是整数，∴m≥的最小整数是2，∴一开始就应该至少增加2个检测点．【变式6.1】（2022•南京模拟）某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？【分析】（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，根据待定系数法求解即可，当40＜t＜80时，p＝40，即可求解；（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数中w的最大值，即可求解．【解答】解：（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，∴，∴，∴p＝t+30，当40＜t＜80时，p＝40，综上所述：p＝；（2）设日销售利润为w元，当0≤t≤40时，w＝（p﹣20）•y＝（t+30﹣20）（﹣2t+160）＝＝﹣（t﹣20）2+1800，∵﹣＜0，∴当t＝20时，w有最大值为1800元，当40＜t＜80时，w＝（p﹣20）•y＝20（﹣2t+160）＝﹣40t+3200，∵﹣40＜0，∴w＜﹣40×40+3200，即w＜1600，∴综上可得，第20天的销售利润最大，最大日销售利润为1800元．【变式6.2】（2022春•锡山区校级期中）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）405060y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣50x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，30≤x≤120，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+13500x﹣360000＝﹣50（x﹣135）2+551250，∵﹣50＜0，∴当x＜135时，w随x的增大而增大，∵30≤x≤120，且x为正整数，∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；（3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m，∴对称轴为直线x＝135+0.5m，∵﹣50＜0，∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数，实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大，只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了，∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29，∵29＜m≤60，∴29＜m≤60．【变式6.3】（2021秋•沭阳县校级期末）某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；（2）设每天的销售利润为w元，分别列出当2＜x≤5时和当5＜x≤10时的函数关系式并求得相应的最大值，然后取其中较大者即可．【解答】解：（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入得：，解得，∴y＝﹣40x+800，∴y与x之间的函数关系式为：y＝；（2）设每天的销售利润为w元，当2＜x≤5时，w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200，当x＝5时，w最大＝600×5﹣1200＝1800（元）；当5＜x≤10时，w＝（﹣40x+800）（x﹣2）＝﹣40（x﹣11）2+3240，当x＝10时，w最大＝﹣40×1+3240＝3200（元）．综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元．【考点7】二次函数的综合：面积问题【例7】（2021秋•钦北区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中列方程组解出即可；（2）利用配方法计算抛物线顶点C的坐标，计算PC的长，根据三角形面积公式可得结论；（3）设P（m，m＝2），表示点C的坐标，计算PC的长，同理根据（2）中△BCE的面积公式可得结论．【解答】解：（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6；（2）如图1，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点C（2，﹣2），当x＝2时，y＝2+2＝4，∴PC＝4﹣（﹣2）＝6，当y＝0时，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∴△BCE的面积＝△PCE的面积+△PBC的面积＝PC•ED+PC•（xB﹣xD）＝PC•（xB﹣xE）＝×6×（4+2）＝18；（3）存在，设点P的坐标为（m，m+2），则C（m，2m2﹣8m+6），∴PC＝m+2﹣（2m2﹣8m+6）＝﹣2m2+9m﹣4，∴△BCE的面积＝PC•（xB﹣xE）＝×（﹣2m2+9m﹣4）×（4+2）＝﹣6（m﹣）2+；∵﹣6＜0，∴当m＝时，△BCE的面积最大，这个最大值是．【变式7.1】（2022•茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（﹣8，0），C（2，0），交y轴点A．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标．（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（m，0）（﹣8＜m＜2），则PB＝m+8，PC＝2﹣m，利用三角形面积公式可得S△PAB＝2m+16，由PD∥AC，可得，进而得出＝＝，即S△PAD＝﹣（m+3）2+5，利用二次函数的性质即可得出答案；（3）当P（﹣3，0）时，P为BC边的中点，进而推出D为AB边的中点，得出，即可求得答案．【解答】解：（1）∵点B（﹣8，0），C（2，0）在二次函数的图象上，∴，解得：，∴二次函数的表达式是y＝x2+x﹣4．（2）猜想：△PAD的面积有最大值．设P（m，0）（﹣8＜m＜2），则PB＝m+8，PC＝2﹣m，∵B（﹣8，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣8）＝10，在y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，∴A（0，﹣4），∴OA＝4，∴S△PAB＝PB•OA＝（m+8）×4＝2m+16，∵PD∥AC，∴，∴＝＝，∴S△PAD＝S△PAB＝×（2m+16）＝﹣（m+3）2+5，∵，∴当m＝﹣3时，△PAD的面积存在最大值，此时P（﹣3，0）．（3）当P（﹣3，0）时，P为BC边的中点，∴，∴D为AB边的中点，∴，在Rt△AOB中，，∴，∴．【变式7.2】（2022•官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．（1）如图1，若点C坐标为（0，2），则b＝﹣，c＝2；（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD分别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c的值．【分析】（1）由点C坐标为（0，2）得c＝2，根据对称轴为直线x＝﹣可得b的值；（2）设点P（x，），根据S四边形ABCP＝S△APC+S△ABC，列出四边形面积关于m的二次函数即可得出点P的坐标和四边形ABCP面积的最大值；（3）求出，C（0，c），求出直线CD的解析式为：，进而求出直线MN的解析式为，联立y＝﹣x2﹣x+2，得，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，证明△MHN∽△DGC，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴正半轴于点C，点C坐标为（0，2），对称轴为直线x＝﹣．∴c＝2，x＝﹣＝﹣，∴，故答案为：﹣，2；（2）∵c＝2，，∴y＝﹣x2﹣x+2，令y＝﹣x2﹣x+2＝0，整理得（x﹣1）（x+4）＝0解得x＝1或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（1，0）；∵C（0，2），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB×OC＝5，∵A（﹣4，0），C（0，2）；∴lAC：y＝x+2，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，设点P（x，）（x＜0），则点Q（x，x+2），PQ＝﹣（x+2）＝，∴S△APC＝S△APQ+S△PCQ＝PQ×（xC﹣xA）＝﹣x2﹣4x（x＜0），∴S四边形ABCP＝S△APC+S△ABC＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∵﹣1＜0，函数图象开口向下，又x＜0，∴当x＝﹣2时，S四边形ABCP最大＝9，此时点P（﹣2，3），∴当点P（﹣2，3）时，四边形ABCP的最大面积，最大面积为9；（3）∵，∴，∵，C（0，c）∴设直线CD的解析式为y＝kx+b1（k≠0），代入点D，C的坐标得，解得，∴直线CD的解析式为：，∵MN∥CD，∴直线MN的解析式为：，由题意，联立得：，解得：，由题意，，，∴，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，∴∠G＝∠H，∠DCG＝∠MOA＝∠MNH，∴△MHN∽△DGC，∴，∵MN＝3CD，∴，∵，C（0，c），∴，∴，又∵，∴．【变式7.3】（2022•老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点B．（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C．①求抛物线的解析式及点C的坐标；②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；（2）过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出①S关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值．【分析】（1）①利用抛物线的顶点可得y＝﹣（x﹣2）2+4，联立方程组求解即可得到点C的坐标；②先证得△OBC是等腰直角三角形，进而得出△BDM是等腰直角三角形，可得：EM＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，由EM＞BD，可得﹣t2+3t+1＞t﹣1，即t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，根据二次函数的图象和性质即可求得答案；（2）①如图2，过点A作AG∥y轴交直线l于点G，过点Q作QH⊥AG于点H，则AG＝m2﹣m+1，利用三角函数可得AP＝AG•sin45°＝（m2﹣m+1），根据AQ∥直线l，可得直线AG的解析式为y＝x+m2﹣m，进而求得点Q的横坐标为m﹣1，故QH＝m﹣（m﹣1）＝1，AQ＝，运用三角形面积公式可求得S＝m2﹣m+；②运用二次函数的性质即可求得答案．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A（2，4），∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，联立方程组，解得：，，∵点C在第一象限，∴C（，）；②设直线l：y＝x﹣1与y轴交于点F，则F（0，﹣1），∴OF＝1，∵B（1，0），∴OB＝1，∴OB＝OF，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴∠MBD＝∠OBF＝45°，∵∠BDM＝90°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴BD＝MD，∵M（t，t﹣1），D（t，0），E（t，﹣t2+4t），∴EM＝﹣t2+4t﹣（t﹣1）＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，∵EM＞BD，∴﹣t2+3t+1＞t﹣1，∴t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，当y＝0时，t2﹣2t﹣2＝0，解得：t＝1±，∴当y＜0，即t2﹣2t﹣2＜0时，1﹣＜t＜1+（i），∵点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，∴1＜t＜（ii），由（i）（ii）得：1＜t＜1+，故t的取值范围为：1＜t＜1+；（2）①如图2，过点A作AG∥y轴交直线l于点G，过点Q作QH⊥AG于点H，∵y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2，∴A（m，m2），∴G（m，m﹣1），∴AG＝m2﹣（m﹣1）＝m2﹣m+1，由（1）②知：∠OFB＝45°，∵AG∥y轴，∴∠AGP＝∠OFB＝45°，∵AP⊥直线l，∴∠APG＝90°，∴AP＝AG•sin45°＝（m2﹣m+1），∵AQ∥直线l，∴设直线AG的解析式为y＝x+n，把A（m，m2）代入得：m+n＝m2，∴n＝m2﹣m，∴直线AG的解析式为y＝x+m2﹣m，令﹣x2+2mx＝x+m2﹣m，解得：x1＝m，x2＝m﹣1，∴点Q的横坐标为m﹣1，∴QH＝m﹣（m﹣1）＝1，∵AQ∥l，∴∠QAH＝∠AGP＝45°，∠PAQ＝90°，∵∠AHQ＝90°，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴AQ＝QH＝，∴S＝AP•AQ＝×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+，故S关于m的函数关系式为S＝m2﹣m+；②∵S＝m2﹣m+＝（m﹣）2+，∴当m＝时，S的最小值为．【考点8】二次函数的综合：线段最值问题【例8】（2022•滨城区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求出抛物线的解析式，再将其变形成顶点式后，即可得出顶点M的坐标；（2）连接AN，则AN∥BC，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设直线AN的解析式为y＝﹣x+d，代入点A的坐标可求出d值，再联立直线AN与抛物线的解析式，即可求出点N的坐标；（3）过点M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，连接M′Q，则当点M′，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值，此时PM+PQ+QN最小，由点P，Q的坐标可得出PQ＝3，结合点M的坐标可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，再利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出M′N的长度，进而可得出PM+PQ+QN最小值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标为（1，4）.（2）连接AN，如图1所示．∵S△NBC＝S△ABC，且两三角形有相同的底BC，∴AN∥BC．当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设直线AN的解析式为y＝﹣x+d，将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+d得：1+d＝0，解得：d＝﹣1，∴直线AN的解析为y＝﹣x﹣1．联立两函数解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），，∴点N的坐标为（4，﹣5）．（3）过点M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，连接M′Q，如图2所示．∵MM′∥PQ，且MM′＝PQ，∴四边形MM′QP为平行四边形，∴M′Q＝MP，∴当点M′，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值．∵点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（m，0），∴PQ＝3，∴MM′＝3，∴点M′的坐标为（1，4﹣3），即（1，1）．设直线M′N的解析式为y＝px+q（p≠0），将M′（1，1），N（4，﹣5）代入y＝px+q，得：，解得：，∴直线M′N的解析式为y＝﹣2x+3．又∵点Q在直线M′N上，∴0＝﹣2m+3，∴m＝，此时M′N＝M′Q+QN＝MP+QN＝＝3，∴当m为时，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值为3+3．【变式8.1】（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．【分析】（1）先根据题意求出点A、B的坐标，代入y＝﹣x2+bx+c即可求得抛物线的表达式；（2）①证明△PMN∽△OBA，可得，设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0），则PM＝﹣m2﹣4m，又OA＝4，OB＝8，建立方程求解即可得出答案；②连接OP交AB于点C，先求出点N的坐标，利用中点公式可求得C（﹣，），再证明点C是AB的中点，可得C（﹣2，4），建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝﹣4，∴B（0，8），A（﹣4，0），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，∴，∴，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0），则M（m，2m+8），P（m，﹣m2﹣2m+8），∴PM＝﹣m2﹣2m+8﹣（2m+8）＝﹣m2﹣4m，∵B（0，8），A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝8，∵MN＝AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P（﹣2，8）；②如图，连接OP交AB于点C，∵PN∥x轴，P（m，﹣m2﹣2m+8），∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m+8，令y＝﹣m2﹣2m+8，则2x+8＝﹣m2﹣2m+8，解得：x＝，N（，﹣m2﹣2m+8），∵点C是MN的中点，M（m，2m+8），∴C（﹣，），由①知：∠MPN＝90°，又点C是MN的中点，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y轴、PN∥x轴，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴点C是AB的中点，∴C（﹣2，4），∴﹣＝﹣2，解得：m＝±2，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝8﹣8，∵PM∥y轴，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝＝﹣1，故的值为﹣1．【变式8.2】（2022•徐州二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．（1）求此二次函数的表达式；（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为2．【分析】（1）利用待定系数法即可得二次函数的解析式；（2）证明△BOC为等腰直角三角形，再分三种情况：①当点Q在半圆BOC相对的半圆上时，如图，连接QC，BQ，OQ，把△OBQ绕点O逆时针旋转90°，得到△OCQ′，可证得△OQQ′是等腰直角三角形，故QB+QC＝QO；②当点Q在劣弧上时，如图，连接QB、QC，在CQ上截取CQ′＝QB，连接OQ′，可证△OCQ′≌△OBQ（SAS），得出△OQQ′是等腰直角三角形，故QC﹣QB＝QO；③当点Q在劣弧上时，如图，连接QB、QC，在BQ上截取BQ′＝QC，连接OQ′，同理可得QB﹣QC＝QO；（3）先求出直线BC的解析式，设E的坐标E（n，﹣n2+n+2），设直线EF的解析式为y＝﹣x+b1，将E的坐标代入EF解析式中，联立两个解析式判定Δ，求出直线EF的解析式，计算出F的横坐标即可求出经过的路程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），（0，2）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）QB+QC＝QO或QC﹣QB＝QO或QB﹣QC＝QO，理由：∵Q在以BC为直径圆上，∴∠BOC＝∠BQC＝90°，∵B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，①当点Q在半圆BOC相对的半圆上时，如图，连接QC，BQ，OQ，把△OBQ绕点O逆时针旋转90°，得到△OCQ′，∵四边形OBQC是圆内接四边形，∴∠OBQ+∠OCQ＝180°，由旋转知：∠QOQ′＝90°，∠OCQ′＝∠OBQ，CQ′＝BQ，OQ′＝OQ，∴∠OCQ′+∠OCQ＝180°，∴Q、C、Q′三点在同一条直线上，CQ′+CQ＝QQ′，∴QB+QC＝QQ′，∵△OQQ′是等腰直角三角形，∴QQ′＝QO，∴QB+QC＝QO；②当点Q在劣弧上时，如图，连接QB、QC，在CQ上截取CQ′＝QB，连接OQ′，∵＝，∴∠OCQ＝∠OBQ，在△OCQ′和△OBQ中，，∴△OCQ′≌△OBQ（SAS），∴∠COQ′＝∠BOQ，OQ′＝OQ，∵∠COQ′+∠BOQ′＝90°，∴∠BOQ+∠BOQ′＝90°，即∠QOQ′＝90°，∴△OQQ′是等腰直角三角形，∴QQ′＝QO，∵QQ′＝QC﹣CQ′＝QC﹣QB，∴QC﹣QB＝QO；③当点Q在劣弧上时，如图，连接QB、QC，在BQ上截取BQ′＝QC，连接OQ′，同理可得：QB﹣QC＝QO，综上所述，QB+QC＝QO或QC﹣QB＝QO或QB﹣QC＝QO；（3）设直线BC：y＝kx+m把点B、点C代入得，解得：k＝﹣1，m＝2，∴y＝﹣x+2，又∵EF∥BC，点E在抛物线上，设E（n，﹣n2+n+2），设直线EF解析式为y＝﹣x+b1，把E代入得：﹣n2+n+2＝﹣n+b1，∴b1＝﹣n2+2n+2，∴y＝﹣x﹣n2+2n+2，联立，∴﹣x﹣n2+2n+2＝﹣x2+x+2，得x2﹣2x﹣n2+2n＝0∵Δ＝4﹣4（﹣n2+2n）＝4+4n2﹣8n＝4（n﹣1）2＝0，∴只有一个交点，∴n＝1，b1＝﹣1+2+2＝3，∴y＝﹣x+3，当y＝0时x＝3，∴F横坐标最大为3，∴F经过路程为：（3﹣2）×2＝2，故答案为：2．【变式8.3】（2022•槐荫区二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．【分析】（1）求出A、C两点，再将所求点代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中，取DG＝BG，构造∠CGD＝2∠CBD，利用勾股定理解得CG＝，则tan∠GCD＝tan∠HBA＝＝，由此求出H（0，），求出直线BH解析式，再求直线BH与抛物线的交点P即可；（3）过点M作MT⊥AC交于点T，过点F作FK⊥x轴交于点K，利用△OAC的面积求出OM的长，从而确定M点坐标，设直线EF的解析式为y＝kx+，可求E点坐标，通过联立方程组，求出F点坐标，利用tan∠OAC＝tan∠KAF＝＝，设KF＝a，则AK＝3a，AF＝a，由3a＝﹣，求出a＝，可求AF＝，即可