《二次函数的教材分析》

二次函数

教材分析

一、本章教学内容及课时安排二、本章知识结构实际问题二次函数二次函数的图象二次函数的性质二次函数的应用目标教学内容参考课时（约13）27．1二次函数1课时27．2

二次函数的图象与性质

5课时27．3实践与探索5课时章小结2课时三、本章的地位和作用

“二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。

四、本章编写特点（一）注重结论的探索在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。（二）注重知识之间的联系学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本章专设一个专题，探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。（三）注重联系实际二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、最优化、拱桥、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。

课程学习目标：1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。六、本章教学目标五、本章重要的数学思想方法

(1)数形结合思想(2)

建模思想

(3)函数思想(4)

化归思想

(5)配方法《中考考试说明》对本章教学内容的要求知识基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境并理解二次函数的意义,会用描点法画二次函数的图象通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会用配方法或公式法确定图像的开口方向、顶点和对称轴；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决与其他函数结合的实际问题七、本章重点、难点

1．重点:☆了解二次函数的含义☆理解二次函数的图象及其性质,☆抛物线图象的平移问题.☆体会一元二次方程与二次函数的关系☆能用二次函数解决实际问题2．难点:☆二次函数图象特征及其性质．☆对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用.☆应用二次函数解决实际问题．能解决与其他函数结合的问题1．在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善．要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质.2．加强数形结合的思想，达到数形互补，从而提高学生的分析能力．3．在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解．4．注意规律的理解与总结,强调解决实际问题的注意事项.（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）八、教学建议(一)本章教学建议5.注意与学生已有知识的联系，减少对新概念、新知识接受的困难。

(一次函数知识、待定系数法和整式配方、方程和不等式的知识等）6.创设丰富的现实情境，重视解决实际问题的教学，引导学生感受数学的价值.

（重视学生对基本概念的理解和接受，防止形式化的罗列概念，再举例说明的做法,注意让学生叙述和交流，在应用和问题解决中加深理解，正确使用）7.充分利用教材的空间，积极组织和实施对不同学生、不同班级的多样化教学.

概念的学习尽量结合本地的具体情境,突出学生的直观感知,引导学生通过探求不同实例中两个变量之间的关系,总结概括得出二次函数的定义,并对二次函数的定义进行辨析,加深认识。（二）各小节具体教学建议22.1

二次函数§22.2二次函数的图象与性质2.用描点法作图,过程要明确规范,注重全体学生的动手参与,注意加强新旧知识的联系。3.每学完一种类型的函数,要引导学生不断总结,使其掌握方法。多描多画、交流或教师主动呈现辨析，数形结合。1.重视由简到繁,从特殊到一般的探索过程；通过喷泉的水流、标枪的投掷，最优化，抛物线形状拱桥等问题的探究，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要注意解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等。22.3实践与探索(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。运用二次函数解实际问题的一般步骤：2、函数有四种表示形式：语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的形式。九、本章知识点归纳1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)称为y是x的二次函数，它的图象是抛物线.

3、“五点一线法”作二次函数的图象步骤：

（1）找出开口方向，求出顶点坐标、对称轴方程

（2）根据图象的对称性，从顶点开始，

左右各取四个对称的点（通常取(0,c)，(x1,0)，

(x2,0)

，

四点）（列表、描点）

（3）用平滑的曲线连接（连线）

解析式y=ax2

y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

不顶点坐标同点对称轴（0，0）（0，k）（h，0）（h，k）y轴y轴直线x=h直线x=h

a＞0相开口方向向上同最值点在对称轴的左侧,y随着x的增大而增减性减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大

a＜0向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小4、类比归纳二次函数五种类型的图象性质向右（ｈ＞0）、左（ｈ＜0）平移ｈ个单位︳︳向右（ｈ＞0）、左（ｈ＜0）平移ｈ个单位︳︳向右（ｈ＞0）、左（ｈ＞0）平移ｈ个单位︳︳向上（ｋ＞0）、下（ｋ＞0）平移ｋ个单位︳︳5、二次函数五种类型的图象平移规律（一般式）y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+k（顶点式）配方展开y=ax2平移平移6.常用的二次函数解析式的求法：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(回避三元一次方程组)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)说明:已知任意三点坐标选用一般式；(若已知与y轴的交点,可先将c值直接代入函数解析式,使三元方程组变为二元,从而简化运算)已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.一看二次项系数a.(a决定抛物线的开口方向)开口向上a＞0

开口向下a＜0三看常数项c.(c决定抛物线与y轴交点位置)6.二次函数的图象“六看”:（依形判数，由数思形）

二看a与b的符号:(a与b决定对称轴位置)

五看图象的走向定函数的增减性：（以对称轴为界）

左低右高y

随x增大而增大,

左高右低y

随x

增大而减小六看部分图象对应的取值范围：

图象端点向x轴引垂线，由垂足对应的数看x的取值范围;

图象端点向y轴引垂线，由垂足对应的数看y的取值范围.四看b2-4ac的符号(b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数)

抛物线与x

轴有两个交点，b2-4ac

＞0；抛物线与x

轴有一个交点，b2-4ac

＝0；抛物线与x

轴无交点，b2-4ac

＜0.学生画图象中容易出现的问题1.“三角”型——原因：只取了3个点，取点太少2.“对勾”型——原因：因为顶点坐标不明确，左右取点不对称3.“怪异”型——原因：（1）坐标计算错误（2）描点时,位置不对（3）连线时顺序不对-2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：

1、当x=1时，

2、当x=-1时，

3、当x=2时，

4、当x=-2时，y=a+b+c

y=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+c……………

……………xyo1-12练习：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号）

.①abc>0,②b2-4ac<0,③2a+b>0,④a+b+c<0,⑤a-b+c>0,⑥4a+2b+c<0,⑦4a-2b+c<0.①③⑦四.归纳小结，构成体系y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=ax2配方转化平移转化2.系数与图象间的关系1.研究方法a决定图象的形状b影响对称轴的位置c确定图象与y轴的交点∆决定图象与x轴的交点情况从二次函数的图象看什么?从开口方向确定a的符号从开口方向及对称轴确定b的符号从图象与y轴的交点确定c的符号或具体数值从图象与x轴的交点个数判断b2—4ac的符号看顶点坐标、对称轴注意提高学生的识图能力二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0二次函数对一元二次方程、一元二次不等式起到了统领作用,可以使学生从更高的视角来认识一元二次方程、一元二次不等式,根据图象学生可得一元二次方程的近似解，虽然学生还没有学习一元二次不等式的解法,但通过图象可以看出结果,突出地体现了数形结合的思想.1.类比归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象性质a>oa<0开口方向向上向下顶点对称轴增减性最值当时当时当时y随x的增大而减少y随x的增大而增大当时y随x的增大而减少当时y随x的增大而增大当时二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)解析式一般式

y=ax²+bx+c顶点式

y=a(x-h)²+k交点式

y=a(x-x1)(x-x2)

图象y=ax2+bx+c=a(x+─)²+─2ab4a4ac-b²顶点坐标:(־─,──)2ab4a4ac-b²对称轴:x=־──2ab形状:开口向上或向下的抛物线

性质

开口a>0抛物线开口向上a<0抛物线开口向下|a|越大抛物线开口越小

对称轴

当a,b异号时对称轴x=־─在y轴的右侧2ab当a,b同号时对称轴x=־

─

在y轴的左侧2ab二次函数y=ax²+bx+c（a≠0)

与轴的交点随的变化YXX当二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量X的值,即一元二次方程ax²+bx+c=0的根.a>0时a<0时当Ｘ<-─，Ｙ随Ｘ的增大而减小当Ｘ>-─，Ｙ随Ｘ的增大而增大当Ｘ﹦־─，Ｙ最小＝───当Ｘ<-─，Ｙ随Ｘ的增大而减小当Ｘ>-─，Ｙ随Ｘ的增大而增大当Ｘ﹦־─，Ｙ最大＝──2ab2ab2ab4a4ac-b²2ab2ab2ab4a4ac-b²达标测试1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x