一元二次方程知识点及典例分析

姓名陈老师学生姓名填写时间2014.7.3学科数学年级初三教材版本人教版阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时课题名称初中数学——九年级上数学课时计划第（）课时共（）课时上课时间2014.7.4教学目标教学知识内容一元二次方程知识点、考点个性化学习问题解决通过典例讲解分析，加强对知识点的理解，有利于更好掌握相关内容教学重点经典题型分析及习题强化教学过程教师活动一元二次方程一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） AB C D变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★1、方程的一次项系数是，常数项是。★2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★4、若方程xm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程的一个根，则代数式。★★4、已知是的根，则。★★5、方程的一个根为（） AB1CD★★★6、若。考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：=0;例2、若，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.B.C.D.类型二、因式分解法:※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如，，典型例题：例1、的根为（） ABCD例2、若，则4x+y的值为。变式1：。变式2：若，则x+y的值为。变式3：若，，则x+y的值为。例3、方程的解为（）A.B.C.D.例4、解方程：例5、已知,则的值为。变式：已知,且,则的值为。针对练习：★1、下列说法中：①方程的二根为，，则②.③④⑤方程可变形为正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以与为根的一元二次方程是（）A．B．C． D．★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：的解是。★★★6、已知，且，，求的值。★★★7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：试用配方法说明的值恒大于0。已知x、y为实数，求代数式的最小值。已知为实数，求的值。分解因式：针对练习：★1、试用配方法说明的值恒小于0。★★2、已知，则.★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。★★★4、如果,那么的值为。类型四、公式法⑴条件：⑵公式：,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴⑵⑶⑷⑸例2、在实数范围内分解因式：（1）；（2）.⑶说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题：已知，求代数式的值。如果，那么代数式的值。已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是()A.B.C.D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：★1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（） A.B.3C.6D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知，，，求变式：若，，则的值为。例5、已知是方程的两个根，那么.针对练习：1、解方程组2．已知，，求的值。3、已知是方程的两实数根，求的值。课后记本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□________________________________学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□________________________________学生上次作业完成情况：数量____%