高中数学人教A版（2019）必修第一册 4-5函数的应用综合提升（含解析）

4.5函数的应用综合提升一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋1002．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(缴税比例＝\f(纳税额,年收入)))为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元 B．420万元C．350万元 D．320万元4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝145．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A．3000元 B．3300元C．3500元 D．4000元二、填空题7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．8．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．9．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．三、解答题10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．11．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？12．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N*)．(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)(不要求计算过程)；(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．

参考答案1.答案：C解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．2.答案：C解析：设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.3.答案：D解析：设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则根据题意，可以得到：，依题意有eq\f(1,x)[280×p%＋(x－280)×(p＋2)%]＝(p＋0.25)%，解得x＝320.4.答案：A解析：由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．5.答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6.答案：B解析：由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B．7.答案：1024解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝，所以k＝2ln2，y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.8.答案：610000解析：由lg1000－lg0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．9.答案：(1)1900(2)100解析：(1)当l＝6.05时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)＝eq\f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝1900，当且仅当v＝eq\f(121,v)，即v＝11时，等号成立．所以最大车流量F为1900辆/小时．(2)当l＝5时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×5)＝eq\f(76000,v＋\f(100,v)＋18)，所以F≤eq\f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝2000，当且仅当v＝10时，等号成立.所以最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．10.解析：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]，S(x)单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．11.解析：(1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年销售额x∈[16,100](单位：万元)时，奖金y∈[4,10](单位：万元)．12.解析：(1)P＝f(t)＝Q＝g(t)＝－eq\f(t,3)＋eq\f(43,3)，t∈[1,40]，t∈N*.(2)当1≤t＜20时，S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)＋11))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t,3)＋\f(43,3)))＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(21,2)))2＋e