第8章单方程回归模型

第8章单方程回归模型预测§8.0有关预测的基本知识§8.1无条件预测§8.2误差项序列相关情形下的预测§8.3有条件预测第8章单方程回归模型预测§8.0有关预测的基本知识一、什么是预测1、预测的概念预测是关于未知事件可能性的数值估计。它既可以在时间序列模型中讨论，也可以在截面数据模型中应用。2、预测的类型预测按数值的估计类型可以分为两种：点预测和区间预测。点预测是对每一个时点(段)给出一个预测值，区间预测是给出实际值所在的一个区间。下面的讨论，将首先给出点预测，然后再用区间预测表示点预测的误差幅度。第8章单方程回归模型预测3、事后模拟与事前预测对未知事件的预测，依赖于过去和当前的信息。对于时间序列模型，事后模拟与事前预测都是在模型估计区间以外对因变量的值进行预测，但有差异(参见图8.1)。图8.1事后模拟与事前预测的时间差异T1T2T3目前模型估计区间事后模拟区间事前预测区间第8章单方程回归模型预测事后模拟是指用已知数据检验和评价预测模型，事前预测是在数据不完全已知的情况下对因变量进行预测。4、条件预测和无条件预测条件预测是指有些解释变量的值是未知的，因而如果要对因变量进行预测，就必须先处理这些解释变量的值；无条件预测是指模型中所有解释变量都是已知的。事后模拟都是无条件预测，条件预测的对象全都是事前预测。但事前预测也有属于无条件预测的(所有解释变量已知)。无条件预测条件预测事后模拟事前预测第8章单方程回归模型预测如5、关于最优预测具有最小方差的预测称为最优预测。在单方程回归模型中，参数的LS估计是线性无偏估计量中的最优预测。在有偏的参数估计中，将考虑最小平均误差平方的预测作为最优预测。6、预测误差的性质预测误差主要有以下四种来源：一是参数已知，因误差项的随机性使预测偏离真值；二是参数未知，其估计量(也是随机变量)偏离真值；三是在有条件预测情况下，解释变量的处理偏离真值；四是存在模型确认失误。第8章单方程回归模型预测§8.1无条件预测如果解释变量在整个预测区间上全部已知，就可以用回归模型进行无条件预测。一、预测误差㈠参数已知的情形下面从最简单的一元线性回归模型入手。设模型为α，β，σ已知，对于给定的XT+1，求Y在第T+1时点(段)的最优预测。取YT+1的点预测(记)为第8章单方程回归模型预测1、预测误差下面讨论该点预测的预测误差其具有以下性质：⑴点预测是无偏；因为⑵预测误差的方差最小(最优预测)：第8章单方程回归模型预测2、预测误差标准化为了对Y的预测值进行显著性检验，可以对预测误差标准化：显然λ~N(0,1)，如果预测误差不超过相应显著性水平(如5%)的临界值(1.96)，那么就说明点预测与真值无显著差异。否则就认为该点预测有问题，模型可能需要修正。我们还可以由第8章单方程回归模型预测得到一个95%的置信区间(参见图8.2)：注意，预测作为评价模型可靠性的方法，与前面所讲的古典线性模型中的t,F和R2值作用是不一样的：一个单方程回归模型可以有很显著的t，F值和很高的R2值，但仍可能无法进行很好的预测。这是因为两者的时间区域不同，模型在预测区间可能发生了结构性的变化。相反，如果因变量的方差很小，有些R2值较小、回归参数不显著的模型，虽然对因变量的解释不是太好，但对因变量的预测却比较容易。第8章单方程回归模型预测XtXT+1Yt点预测预测区间图8.2参数已知时的点预测与预测区间第8章单方程回归模型预测㈡参数未知的情形通常回归模型的参数都是未知的，需要进行估计。由于参数估计量都是样本的函数，因而也是随机变量。仍考虑一元回归模型：α，β都是未知的，对于给定的XT+1，下面考虑Y在第T+1时点(段)的最优预测。取YT+1的点预测(记)为其中和是对应参数的LS估计。由于和分别是α，β的最小方差无偏估计，故是YT+1最优预测。第8章单方程回归模型预测1、预测误差下面讨论该点预测的预测误差显然预测误差也服从正态分布，具有以下性质：⑴点预测是无偏的；因为所以⑵预测误差的方差满足：再把式中参数估计的方差、协方差第8章单方程回归模型预测代入，可以得到由此可见预测误差的方差受模型估计区间样本容量、X的样本方差和XT+1与之间距离的影响。第8章单方程回归模型预测从(8.1)式发现，由LS估计构造的点预测⑴样本容量、样本方差越大，则预测误差的方差越小；⑵当XT+1恰好等于样本均值时，预测误差的方差最小。这说明Y的最优预测是在最具样本信息的那些X的值附近取得，出了模型的估计区间，由此得到的点预测就不那么可靠了。一般说来，将模型在估计范围以外扩展得过远是十分危险的，因为这时预测误差的方差会很大。下面再讨论预测区间。如果σ已知，就可以计算σf。于是通过预测误差标准化第8章单方程回归模型预测就可以构造的95%置信区间：如果σ不是已知的，我们用s2作为σ2的无偏和一致估计量：这样预测误差的方差估计为第8章单方程回归模型预测就有

的95%置信区间为二、预测的评价前面通过事前预测的误差分析，对点预测进行统计检验，并得到相应的预测区间，它们提供了对预测进行评价的一种方式。另一种评价方法是进行事后模拟(可以是随着时间进展的动态模拟)，下面给出这一评价方法的若干指标。第8章单方程回归模型预测事后模拟是将预测数列与实际数列直接进行比较，根据两者的接近程度进行预测评价。一种度量是平均预测误差平方的算术根(RMSE)：其中为Yt的模拟(simulate)预测值，为Yt的实际值(actual)，T为时点(段)数。该指标是对模拟值与实际值离差的度量。另一种度量是Theil不相等系数(记为U)：第8章单方程回归模型预测其中U的分子就是RMSE，分母是因变量模拟值与实际值的样本二阶原点矩的算术平方根。这样的定义，使得U总是介于0，1之间。如果U=0，则对所有的t，说明完全拟合。如果U=1，则模型的预测能力最差。即U值越小越好。第8章单方程回归模型预测利用代数运算可以把模拟值与实际值的平均离差平方分解为其中样本的均值、方差和相关系数采用常规符号。我们可以定义以下不相等比例指标：第8章单方程回归模型预测均值偏误比例UM表明了模拟数列与实际数列的系统误差。如果UM的值过大(超过0.1或0.2)意味着存在系统误差，需要对模型进行修正。方差偏误比例US表明了模拟值拟合实际变化程度的能力。如果US的值过大意味着两者的波动程度存在较大差异(即相对而言，两者一大一小)，说明需要对模型进行修正。协方差比例UC度量非系统误差，反映了两者的相关性。第8章单方程回归模型预测例8.1在例1.1中曾用8个学生的截面数据估计了学生平均成绩(Y)与家庭收入(X)之间的线性关系。现在要在给定家庭收入的条件下，对不在样本中的学生预测出他们的平均成绩，并计算95%的预测区间。解：估计的回归直线为估计的误差项方差s2=0.652778/6=0.109,T=8家庭收入成绩预测预测误差方差预测区间下限预测区间上限6.52.1550.15531.190673.11933102.5750.130621.690613.4593913.52.9950.12242.138913.85109173.4150.13062