必修1课件312用二分法求方程的近似解

§3.1.2用二分法求方程的近似解abε:艾普西隆2023/11/142重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint)

。1.函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数；零点是一个点吗?

函数y=f(x)的零点就是就是方程f(x)=0的实数根。从图像上看，函数y=f(x)的零点，就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。一.函数零点的概念：2023/11/143重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com3.怎样求函数y＝f(x)的零点的个数？2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

函数y＝f(x)有零点数形结合代数法图像法（2）将y＝f(x)变形，判断两图象交点个数（1）求相应方程f(x)=0的根（3）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求2023/11/144重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com定理二.零点存在性定理思考1：零点唯一吗？思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？思考2；若只给条件f(a)·

f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2023/11/145重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com求证：函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且在区间(2,3)内。f(2)=_____,f(3)=_____如何求出这个零点？缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。思考单调2023/11/146重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个在区间(2,3)内，那么进一步的问题是如何找出这个零点（精确到0.01）？

2023/11/147重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com问题1：那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢？

取区间中点问题2：区间分成两段后，又怎样确定在哪一个小的区间内呢？

2023/11/148重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零点。2023/11/149重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com同理再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

内

再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

内

再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

内

（2.5，3）2.75(2.5,2.75)(2.5,2.75)2.625(2.5,2.625)(2.5,2.625)2.5625(2.5,2.5625)(2.5,2.5625)2.53125(2.53125,2.5625)2023/11/1410重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

内

(2.53125,2.546875)2.5390625(2.53125,2.5390625)再取

的中点

因为

故函数的零点落在区间

内

(2.5312,2.5625)2.546875(2.53125,2.546875)2023/11/1411重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com零点所在区间区间端点的绝对值中点值中点函数近似值（2,3）12.5-0.084（2.5,3）0.52.750.512(2.5,2.75)0.252.6250.215（2.5,2.625）0.1252.56250.066（2.5,2.5625）0.06252.53125-0.009（2.53125,2.5625）0.031252.5468750.029（2.53125,2.546875）0.015622.53906250.010(2.53125,2.5390625)0.00781252.535156250.0012023/11/1412重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com区间确实是缩小了。而且，当精确度为0.01时，由于所以我们将＝2.53125作为函数的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。2023/11/1413重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com二分法（bisectionmethod）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。定义如下：对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）2023/11/1414重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com关键点1.零点的初始区间的确定2.缩小区间的方法3.零点的精确化2023/11/1415重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；3.计算f(c)；2.求区间(a,b)的中点c；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));（3）若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．一般步骤：编写程序2023/11/1416重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com用流程图表示如下：否是否是2023/11/1417重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com例题1借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。解：用计算器或计算机作出函数的对应值表与图象：01234567-6-23102140751422023/11/1418重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com观察右图和表格，可知，说明在区间（1，2）内有零点取区间（1，2）的中点，用计算器可的得x

。y因为，所以，再取的中点，用计算器求得，因此，所以。2023/11/1419重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com同理可得，由，此时区间的两个端点，精确到0.1的近似值是1.375（或1.4375）2023/11/1420重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com思考：下列函数中能用二分法求零点的是____.(1)(4)2023/11/1421重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；3.计算f(c)；2.求区间(a,b)的中点c；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f