浅谈“一题多解和多题一解”在初中数学教学中的作用 论文

教学中的运用摘 趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.一题多解率，中的运用.关键词：一题多解，多题一解，课堂教学，数学能力引 言指出其中一个原因，那就是近些年在基础教育中颇为流行的“变式教学”.“一题多解和多题一解”更加具体的诠释了我们在日常数学教学中应该怎么样去变，怎么样把这种教学模式的优势转化成学生学习数学的优势.一．一题多解的教学运用系去解决同一个数学问题，是为“一题多解”.一题多解能快速整合所学知识，能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.1.一题多解之通法与特法性格，知识架构，思维方式的不同，导致学生解决问题的方法也千差万别.题的时候其实可以从特法中寻求通法的思路.例题1，方程组的解满足x+y=0，求a的值.a看成常数用a表示x和y,其后把x,y代入x+y=0解关于a的方程.解法二：直接把两个方程相加得4(x+y)=2+2a,得2+2a=0.x或y的系数可能解法二就不适用了，但解法一仍然可以使用.前者是通法，后者是特法.但二者并不孤立存在，而是相辅相成.这就是由一般到特殊，再从特殊到一般的学习方法.例题2（17年合肥瑶海区三模第23题第3线的交点叫做三角形的内心.过I作直线交AB于M，交AC于N.AI交BC于D.11 若∠BAC=60°,AI=4,求AMA

AN的值. A30303030NMI3030NICB解法一：

B图1图2 的取值与如图11 的取值与AM ANAI垂直MN,构造出含有30°角的直角三角形，此时AI亦平分MN.所以AMAN 81所以AMAN , , .虽然这种“特值3AM AN

8 AM AN 4有30°角的直角角形.解法二：如图3，作IE,IF⊥AB,AC于点E,F.NG⊥AB于点G.设AM=x,AN=y,IE=IF=2,NG3y,S2

AMI

x,S

ANI

y,S

AMI

SANI

xy,同时S

AMN

＝1AM21x

3y3xy.xy3xy,所以113.2 2 4

4 x y 4解法三：如 图 4， 作 ME,NF⊥ AD于 点 E,ME1x,NF1y,IEIAAE43x,2 2 21x

43xIFAFAI3yMEIE

2 ,整理可得113.2 NF IF

1y 3y423023030EMINFB

x y 4A303030FEMINCB图3图4例题1和例题2的多种解法之间蕴含着特殊和一般的深刻哲理关系，和学生一道去感悟，体会一题多解的美妙之处.2.一题多解之思维发散要求学生有求简意识，敢于质疑.这样才能达到优化学生思维品质，培养学生的发散性思维及联想能力的目的.例题3（2013分别是锐角△ABC中边上的高线，垂足为DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的EDBEDBOCADEB DE图5 图6证法一：证法二：如图6，以BC中点O为圆心OD为半径作圆，则点D,E,C,B均在⊙O上，由圆内接四边形性质可得∠AED＝∠ABC又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC证法一证明了两次相似，能从较多的相似三角形中分离出我们所需要的信图中共有几对相似三角形从而加深对“双高图”的认识.证法二是建立在学生掌解法，感受了知识点的联系，同时也复习了圆的相关知识.例题4（2017武汉）已知一个三角形的三边长为5,7,8,求其内切圆的半径.解法一：如图7，设内切圆半径为r,作AD⊥BC于点D,设BD=x,CD=5-x则82x272(5x)2，解得 x=4所以 AD＝1

43，

SABC

10

3又∵SABC

SAOCSBOCSAOB∴10

3= (abc)r10r，r=3.2解法二：海伦－秦九韶公式S

ABC

p(pa)(pb)(pc),(其中pabc)2∴SABC

10

3，从而r=38，设OD=OC=OF=r,直接利用经验，7所对的角是60°，即∠3ABC=60°由切线长定理可知∠DBO=∠EBO=30°∴BD=BE=

3r，AE＝AF=8

3r,CD=CF=5

3r,又∵AF+CF＝7∴8A

3r+5

3r＝7，解得r=3.A87EF87EFB C5 D图7图8解法一和解法二都用到了三角形的内切圆面积与三角形三边的关系，即1SABC

(abc)r2九韶公式的强大.解法三则基于三个“明星三角形”当中的一个.（它们的边长分别是3,5,7;5,7,8;和3,7,8.第一个三角形7所对的角是120°,后面两个三角形7所对的角都是60°.它们的特殊之处就在于边长为整数，角又是特殊角，所以自然而然也就成为了老师们出题的首选）显而易见，一题多解的教学极大地开阔的魅力所在.二．多题一解的教学运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”.经过间内在的联系。1.多题一解之模型教学新课程标准明确提出要注重学生的模型建立和使用意识.模型教学的使用能够有效避免数学课堂的枯燥乏味,让课堂变得高效，生动.例题5.平面内互不重合的n条直线最多有几个交点？

2 用.我们只要掌握它的实际含义，注意对比联想，会收到意想不到的效果.比如一个班级有n名同学，要求每两个同学之间都通一次电话，那么这个班级共通了2 次电话.在此基础之上，我们可以演变出握手问题，送贺卡问题，篮球小-"组赛问题等一系列的问题.可见

"2 这个模型的作用真的是非同一般.例题年安徽第10ABCD动点P满足S△PAB=S矩形P到两点距离之和PA+PB的最小值. 图9图10图11②如图10，Rt△OAB，∠BAO=90°，∠B=60°，OA=6，点C是OA边上一点，OC=1，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为③如图11，圆柱形容器高14cm，底面圆的周长为24cm，在杯子内壁最底端B2cm的A处，点A与点BA处到达内壁B处的最短距离．作为安徽17年选择题的压轴题，第①题当时确实难住了不少的学生.我15名同学做错了这题，而这15名同学中有14名同学不知道它就是我们的老朋友“将军饮马”模型，在告诉他们这是“将军饮马”模型之后几乎都能独立完成这道题.这说明模型的识别和应用对于解题的作用之大.紧接着我再抛出②③两道题目，相信学生一定感悟颇深.“一线三等角”等等.这里的“一解”指的是应该是思想方法上的统一，在这多转化问题的能力.2.多题一解之思维集中例题是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.记得参考答案是这样写的：∵∠PAB=∠PBC，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°所对边ABP在以AB为直径的圆上运动，如图13，∴当点P在CO连线段上时，CP最短

32425，∴CP最小值为5-3=2.图12 图13这种解法如果照搬交给学生是不太负责任的，因为这种解法并没有揭示这道题的本质，下次再碰到类似的题学生会的可能性不大.比如下面两道例题：例题8.（2017P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，求线段PB长度的最小值.例题9.（2017的半径为P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，求△ABC的最大面积.﹒OA图14 图15 图16把例题一起抛给学生，它们的本质终于浮出水面，我们的思维应该AB的同一侧的一点是一个定角，那么满足条件的点P的运动轨迹是什么？在点P的轨迹上的无数根本上解决此类型的问题.（例题7定边是AB=6,定角∠P=90°,如果教学时说以AB为直径作圆，会给学生以误导，应该更正为作△ABP的外接圆,点P的轨迹为半圆8的定边是AC=2,定角为∠P=120°，作△ACP的外接圆,点P的运动轨迹为劣弧AC；例题8定边是AB=2,定角为∠C=60°，作△ABC的外接圆,点C的轨迹为优弧AB）定边对定角问题的解题步骤大至如下：①找到定边和定角,并过线段的两个端点，以及定边所对定角的一个角的顶点做三角形的外接圆.②找到满足条件的动点的运动轨迹，并求出三角形外接圆的半径③根据需要找到符合条件的动点，并求出最值（最大值或最小值）.三．教学中一题多解和多题一解的关系及教学建议1.教学联系“一题多解”注重培养解题方法，“多题一解”讲究题目的设置.前者开阔养创造性思维的有效途径.数题目：例题10（2017BC上方的抛物线上是否存在一点P（不与重合），使得△BPC的面积最大？若存在，求出点P的坐标和△BPC的最大面积；若不存在，说明理由．y6yC35P42CPC3P1E2–3–2 –1AO–112B3H4x1BEA–3–2–1AO12B34x–2–1–2图17图18图19本题可以采用设点法，如图17，作PE平行于y轴交BC于点E即E（m，﹣m+3），P（m，﹣m2+2m+3），用m表示△BPC的面积;也可以采用平移法，如图18，即当直线BC向上平移并和抛物线有唯一交点P时即为所求;还可以直接利用“xP

=1(x2

B)Û

PE最大Û”的结论来解题.但如果我们作PH⊥BC交BC于点H,如图19，线段PE最大同样会导致在直线PE左最大.稍做思考不难发现，PE面积最x=1(x

)

P 2 B C.养成科学的数学思维．2.教学建议(1)选题原则过于简单。过于复杂会挫伤学生的积极性，太过简单学生就没有兴趣.保持学生的兴趣和积无意义。(2)一切从教学目标出发教师要以完成课堂教学目标为根本，根据学生和教材制定合适的“一题多教