第1章 有限元基本理论

第一章有限元基本理论平衡方程几何方程物理方程边界条件物理系统有限元离散单元的位移场(假定单元内位移函数)单元节点关系求解区域的位移场、应力场简单化1.1有限元分析(FEA)有限元分析

是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。定义1.2有限单元法的基本思想将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。1.3物理系统举例几何体

载荷

物理系统结构热电磁1.3.1平衡方程1.3.2几何方程1.3.3物理方程(本构方程)拉梅系数体积应变剪切模量1.3.4边界条件应力边界条件位移边界条件1.4有限元模型真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义1.5自由度(DOFs)自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构位移

热

温度电电位流体压力

磁磁位

问题

自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ定义1.6节点和单元节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷定义1.6节点和单元(续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递

...AB........AB...1node2nodes1.6节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点

单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元UX,UY,UZ1.7单元形函数FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似

(不理想结果).21.7单元形函数(续)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)

(最理想结果)..41.7单元形函数(续)DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如：结构应力、热梯度）。nodalsolutionelementsolutionUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZσ、ε、E1.7单元形函数(续)如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。1.8直杆受自重作用的拉伸问题1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布，即：1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：

1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)外载荷与结点的平衡方程为第i个结点上承受的外载荷1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)1.8直杆受自重作用的拉伸问题(续)联立求解线性代数方程组得：1.9有限单元法解题的一般步骤结构的离散化选择位移模式建立平衡方程求解节点位移计算单元中的应力和应变1.9.1结构的离散化将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替原来的结构。1.9.2选择位移模式(形函数)首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式1.9.3三角形单元的形函数基本假定：假定单元内的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下是合理可行的。1.9.3三角形单元的形函数(续)将三角形单元的3个顶点的2个方向位移代入位移函数可求出6个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：1.9.4建立平衡方程可