图形的放大与缩小位似变换2

图形的放大与缩小，

位似变换本课内容本节内容3.5

如何把一个图形放大或缩小？通过下面的观察和探究，同学们将学会一种简单可行的方法．

电影胶片上的图像与银幕上的图像有什么关系？观察

我们常见的幻灯机的灯片上的图像与银幕上的图像是否也有这种关系？

你还能举出其他的例子吗？同学们互相交流看法.

图3-46是具有这种关系的，两个图形有什么关系？

图3-46相似.

分别在图3-46中左、右两个小狗的头顶上取一点A，A′；再分别在狗尾巴尖上取一点B，B′.图3-46点A，A′与点O在一条直线上吗？点B，B′与点O在一条直线上吗？AA′BB′O

分别量出线段OA，OA′，OB，OB′的长度，计算(精确到0.1)：

继续在左、右两个小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点O在一条直线上；图3-46

，

.

计算每一对对应点与点O的连线段的比，看它们是否与上述

，

相等.动脑筋

现在你能发现图3-46中右边的小狗是如何从左边的小狗画出来的吗？

如何画出右边小狗头顶上的点A′和尾巴尖上的点B′？对于左边小狗上每一个点，如何画出右边小狗上的对应点？

图3-46

从上述画右边小狗的方法以及类似问题，我们抽象出下述概念：

取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k(k>0)，点O对应到它自身，这种变换叫作位似变换；

点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形.从位似变换和位似的图形的定义立即得出：结论

两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．练习1.在图3-47中，以点O为位似中心，位似比为2.5，画出△ABC在这个位似变换下的像.

图3-47答：过OC，OA，OB作射线，分别在射线上取OA′=2.5OA，

OB′=2.5OB，OC′=2.5OC.

连结，，则△为△ABC在这个位似变换下的像.2.在图3-48中，以矩形ABCD的对角线交点O为位似中心，位似比为0.6，画出矩形ABCD在这个位似变换下的像.

图3-48

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.当位似比k＞1时，一个图形被放大成原图形的k倍；当位似比k＜1时，一个图形被缩小成原图形的k倍.举例例把图3-49中的五角星放大成原图形的2倍.

图3-49解:选取五角星的特征点：五个角尖点

以五角星的中心O为位似中心，分别作射线图3-49在这些射线上分别取一个点，使得连结则得到的五角星

是原五角星A1A2A3A4A5的2倍.做一做

在图3-49中，证明：图3-49证明:∴△OA1A3∽△

图3-50中，图形(1)经过什么变换得到图形(2)？观察图形(2)经过哪些变换得到图形(3)？由此得出：图3-50图形(2)与图形(1)是什么关系？图形(3)与图形(2)是什么关系？图形(3)与图形(1)是什么关系？答：图形(2)与图形(1)相似.答：图形(3)与图形(2)相似.答：图形(3)与图形(1)相似.图3-50结论

图3-50中图形(3)与图形(1)的关系表明：一个图形经过位似变换和平移、旋转，最后得到的图形与原图形相似．

举出生活中相似的图形的例子，它们中的一个能不能从另一个经过位似变换和平移、旋转或轴反射得到？

1.把图3-51中的正方形ABCD缩小为原图形的0.6.练习答：连结AC与BD，则AC与BD相交于O，在射线OA，OB，OC，OD上取OA′=0.6OA，

OB′=0.6OB，OC′=0.6OC，OD′=0.6OD.

连结，则正方形为正方形ABCD在这个位似变换下的像.图3-51ABDC2.把图3-52中的菱形ABCD放大为原图形的1.5倍．

图3-52答：连结AC与BD，则AC与BD相交于O，在射线OA，OB，OC，OD上取OA′=1.5OA，

OB′=1.5OB，OC′=1.5OC，OD′=1.5OD.

连结，则菱形为菱形ABCD在这个位似变换下的像.小结与复习

本章的中心内容是研究图形的放大与缩小，即图形的相似.它的基础概念是线段的比.

我们着重研究了相似三角形的判定方法和性质；相似多边形的判定方法和性质.

我们还研究了用位似变换把图形放大或缩小的方法.图形的相似在许多实际问题中有重要应用.

一、基本概念1.相似的图形．

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形是与原图形相似的．2.相似三角形．

三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.相似三角形的对应边的比叫作相似比．3.相似多边形．

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形.

相似多边形的对应边的比叫作相似比.4.线段的比，成比例线段，黄金分割．

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.

如果选用同一长度单位量得两条线段PQ，

的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比

叫作这两条线段的比，记作

，或

PQP′Q′

将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.ACCB5.位似变换，位似的图形．

取定一点O，把图形上每一个点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k(k＞0)，点O对应到它自身，这种变换叫作位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形.二、成比例线段的基本性质

如果四条线段a，b，c，d是成比例线段，即那么ad=bc.

三、相似三角形的性质性质1相似三角形的对应边成比例．性质2

相似三角形的对应角相等．性质3相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定

判定定理1

三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理2

两角对应相等的两个三角形相似．判定定理3

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．五、相似多边形的性质性质1相似多边形的对应边成比例．性质2

相似多边形的对应角相等．性质3

相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.六、相似多边形的判定

对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似．七、利用位似变换可以把一个图形放大或缩小中考试题例1

如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1）画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.（1）、（3）的解答如图2所示.（2）因为△ABC与△是位似图形，所以其位似比实际上就是这两个三角形的相似比.又由勾股定理可得：AC=

，，所以△ABC与△的位似比=

=1：2.解如图2如图1中考试题例2

检查视力时，规定人与视力表之间的距离为5m.现因房间两面墙的距离为3m，因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图所示，由平面镜成像原理，作出光路图，其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM′的上下边沿反射后射入人眼C处，