混凝土二维扩散分析的离散网格法

混凝土二维扩散分析的离散网格法

由于海洋等富有财产的氯离子环境，氯离子逐渐渗入混凝土中，最终到达钢筋表面，导致钢筋腐蚀，影响钢筋混凝土结构的使用性和耐久性。由于钢筋锈蚀的过程并不持续消耗氯离子，因此分析评估氯离子环境下钢筋混凝土结构耐久性和使用寿命的关键是确定氯离子在混凝土中的分布和扩散规律。氯离子在混凝土中的扩散表现为一种复杂的非线性动力现象和复杂的物理化学过程，人们经常通过合理的简化达到用Fick第二定律来描述这一过程的目标。Tang等在考虑混凝土浆体孔隙率、渗透深度、暴露时间、扩散过程活化能以及温度等基础上建立了扩散系数的多因素计算模型；Liang等考虑了水泥水化物对氯离子扩散的影响，并对氯离子扩散系数进行了修正；余红发等提出考虑多因素扩散模型的一维解析解。由于解析解的扩散系数通常是结合混凝土的氯离子扩散试验确定的，因此解析解具有很好的计算精度，与试验值基本吻合，可以作为理论分析以及检验数值方法正确性的有效工具。但是解析解的缺陷是不太适合于边界条件有变化或者扩散场中混凝土材料性能有变化的复杂氯离子扩散情况，因而针对氯离子扩散分析的数值方法得到了发展。Funanshi应用有限差分法、Sergi等应用最小平方法对氯离子在混凝土中的扩散规律进行了一维数值模拟。Han采用有限元法分析氯离子扩散问题。上述研究都局限于氯离子一维扩散计算模型。但是在混凝土结构的角点等几何形状复杂处，氯离子通常呈二维扩散状态，并且该扩散状态是一维扩散解析理论和数值计算方法无法正确反映的。另外，由于混凝土结构的角点附近往往是应力集中区，受力较为复杂，钢筋分布更密集。再加上角点处的氯离子浓度较高，因此，从混凝土结构的耐久性要求出发，更需要重点分析结构角点处的氯离子分布及其二维扩散特性。近年来人们逐渐关注氯离子二维扩散问题。Suryavanshi等提出了二维常扩散系数下Fick第二定律的解析解，田冠飞等应用二维有限元法分析了钢筋对氯离子扩散的影响。Bitaraf等应用无网格法对氯离子扩散进行了二维数值模拟。李冉等应用二维有限元数值模型研究了混凝土结构拐角处的氯离子分布规律。尽管有限元法适应性很强，但在氯离子扩散研究中通常需要在时间域和空间域中同时离散，并且需要在两个域中都采用细密离散网格，从而形成复杂的迭代计算格式，使得计算量较大，运算速度慢，效率不高。因此，氯离子扩散的数值分析方法还需进一步丰富和完善。研究建立了氯离子二维扩散分析的边界元法。利用线性插值函数，沿着混凝土试件的边界进行离散，在Fick第二定理的基础上建立了混凝土中氯离子浓度计算的边界元法计算格式，提出了扩散场计算长度的概念和表达式，并确定了扩散长度系数。计算时，在时间域仅需要很少的几个离散单元就可以取得极高精度的计算结果，同时可以将二维结构降低为一维离散问题。1混凝土结构参数图1所示的混凝土试件，其2个相邻面(图1中x=0和y=0的2个面)暴露于海水中，其余表面都用环氧树脂封闭，避免和海水发生氯离子交换。因而氯离子在该试件中将发生二维扩散现象。尽管混凝土为非匀质体，但通过适当变换可以得到等效均值且各向同性体。此时可以用Fick第二定律来描述图1所示的氯离子在混凝土中二维扩散过程所形成的有势场：其中：∇2表示Laplace算子；t为混凝土持续暴露于氯离子环境中的时间，t0表示混凝土暴露于氯离子环境时的初始龄期；C表示混凝土内某点P(x,y)在暴露时刻t的氯离子浓度；C0为混凝土内初始氯离子浓度，取C0=0;q表示混凝土构件内部氯离子浓度梯度，在边界处n表示混凝土构件边界的外法线方向；Γ1和Γ2分别表示第一、二类边界条件，在Γ1边界上，即图1中混凝土构件x=0和y=0的边界上，表面氯离子浓度为Cs；在Γ2边界上氯离子浓度梯度为已知量qs，图1中的BC,CD二个边属于该类边界，这里由于在边界两边不发生氯离子交换，因此qs=0ㄢ根据式(1)，由加权余量法得：其中：C*，q*是氯离子扩散场问题的基本解，它表示点i(xi,yi)在时刻t的单位氯离子浓度，经过一段时间(τ–t)的扩散，对点j(x,y)处氯离子浓度和梯度的影响。称点i为激励点或源点，点j为响应点或场点。且有：其中：r表示激励点i(xi,yi)到响应点j(x,y)的距离，即：n表示响应点所处边界元的外法线方向，如图2所示。则有：容易证明，基本解满足如下关系式：根据第二Green公式及式(7)，对式(3)左边两项加以整理可得：将式(9)和(10)代入到式(3)中，并利用式(8)约简，可得：令：其中：Ei(b)为指数积分，且同时,当将激励点i(x,y)移动到边界上时,式(11)就成为边界积分方程:其中：其中：β表示点i处于边界上非光滑连续点时两侧切线的夹角。2确定边界元法第5位的思想沿着混凝土构件四周将连续边界离散为n个线性单元。对于图3所示的典型单元e，长度为2l，单元上的浓度及浓度梯度可用线性函数近似表示为：其中：{a}e,{b}e为边界元结点参数列阵；[N]为形函数矩阵，且其中：下标1,2分别对应线性单元的左、右节点。以边界上的离散节点j为激励点，按照式(15)可以形成n个边界单元积分方程：由于每个节点上都有一个未知量，因此，式(19)中共有n个未知量、n个方程形成一个线性代数方程组，并且可集成表示为：其中：Ci和qi分别为边界节点i上的浓度值和浓度梯度值，{a}和{b}中各有部分为已知量，其余部分属未知量。把矩阵[G]和[H]中与未知量相关的元素连同未知量一起移到等号左边，同时将已知量移到右边，可以得到待解方程组对于图1所示的氯离子二维扩散问题，在利用解析理论求解时，通常假定为半无限大问题进行求解。而利用边界元法计算时，仍按照有限长的求解域计算，但需要重新设定扩散场长度L:其中：L表示氯离子扩散场的计算长度，如图4所示，它表示氯离子在混凝土中发生二维扩散时，利用边界元法计算混凝土内部氯离子分布浓度所需的有限大扩散场在x和y两个坐标轴方向的最小长度；∇t是时间域的离散长度，通常取∇t=(t-t0)4;k为扩散场长度系数，可以根据数值试验确定该系数可以保证混凝土结构暴露时间不超过70a时边界元法的最大计算误差不超过2%。如果混凝土试件或结构在氯离子扩散方向的实际长度l不小于式(25)所确定的计算长度L，则应该按照构件或结构的实际尺寸建立边界元法计算模型(如图4中实线所示的区域)。反之，如果混凝土试件或结构在氯离子扩散方向的实际长度l小于式(25)所确定的计算长度L，则应该按照扩散场的计算长度建立边界元法计算模型，如图4中按照虚线建立新的扩散场ABCD，扩散系数及边界条件等同于原来的混凝土构件(类似图1所示)。由于建立边界元计算模型时，时间域只需要均匀划分为4份，空间域只需沿新的扩散场边界(如图4所示)进行一维离散，因此大大简化了计算模型，提高了计算效率和精度。对于区域积分项可采用在域内离散的方法，取四边形四节点等参单元并利用Gauss积分计算。3维边界元法算例1：边长为1m的钢筋混凝土方板，厚度为100mm，将其中的4个面用环氧树脂封闭，沿厚度方向留下两个相邻面AB和AD暴露在含氯离子的溶液中，如图1所示。混凝土的两个暴露面上氯离子浓度Cs=1%，混凝土扩散系数D为10–12m2/sㄢ采用二维边界元法计算钢筋混凝土板的氯离子扩散和分布规律。由于计算过程中根据式(25)所得到的扩散场计算长度始终没有超出方板的实际边长，因此，可以按照混凝土板的实际边长建立边界元法计算模型，并将每个边界离散为100个线性单元，并将计算结果与解析解和二维扩散有限元解相比较，其中，解析公式为：其中：Ferf为误差函数。为利用边界元法、有限元法和解析解分别计算了该试件暴露于氯盐环境下5,10,20a时混凝土中氯离子浓度分布情况，见图5ㄢ由图5可以看出，3种方法的计算结果吻合相当好，证明了边界元法具有很高的计算精度。所采用的二维扩散有限元法计算模型中，在空间域上采用四边形双线性单元，离散网格50×50；在时间域上离散步长为∆t=0.5a，相对于扩散时间为5,10,20a的扩散问题，需要把时间域分别离散为10,20,40个子域进行迭代计算。容易看出，有限元法不仅需要在空间域上采取二维离散，而且需要在时间域上采取非常细密的离散网格，其离散自由度和计算工作量都大大超出边界元法。而边界元法在空间域上只需沿计算边界进行一维离散，在时间域上只需离散出4个子域，可以取得较高的计算效率。另一方面还可以看出，随着扩散时间的增大，氯离子浓度梯度在空间上的分布逐渐均衡。图6、图7分别表示利用解析法和边界元法计算钢筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a时板的角点A附近的氯离子分布情况。可以看出，2种方法所得结果是吻合的；并且在2个暴露面的交点及对角线附近的氯离子浓度明显增加。算例2：底面为500mm×750mm，厚度为100mm的混凝土板，将其中的4个面用环氧树脂封闭，沿厚度方向留下2个相邻面AB和AD暴露在含氯离子的溶液中，如图8所示。混凝土的2个暴露面上氯离子浓度Cs=0.8%，扩散系数D为5×10–13m2/s。这里采用二维边界元法计算钢筋混凝土板的氯离子扩散和分布规律。计算模型中，由于混凝土板在X,Y坐标方向的实际边长都超过了式(25)所得到的扩散场计算长度，因此可以按照板的实际尺寸建立边界元法计算模型，AB边离散为75个线性单元，AD边离散为50个线性单元，并将计算结果和解析解相比较。计算得到该试件暴露于氯盐环境下10,20a和40a时混凝土中氯离子浓度分布情况，如图9所示。可以看出，边界元法的计算结果与解析解计算结果吻合相当好。图10、图11分别利用解析解和边界元法计算了该钢筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a时，板中角点A附件氯离子的分布。可以看出，在2个暴露面的交点及45°对角线附近，氯离子浓度明显增加，且边界元法和解析解所得结果是吻合的。算例3：一个混凝土标准试块，尺寸为150mm×150mm×150mm。将其中的4个面用环氧树脂封闭，沿厚度方向留下2个相邻面AB和AD暴露在含氯离子的溶液中，如图4所示(图4中边长l取为150mm)。混凝土的2个暴露面上氯离子浓度Cs=0.8%，扩散系数D为2×10–12m2/sㄢ这里采用二维边界元法计算钢筋混凝土板分别暴露于氯盐环境下20,40a和60a时混凝土中氯离子浓度分布情况，由于计算中混凝土试件的实际长度l小于式(25)所确定的计算长度，因此，应该按照图4中虚线所示将扩散场扩大至ABCD，同时每个边离散为50个线性单元，并将计算结果和解析解相比较，如图12所示。可以看出边界元法计算结果同解析解吻合较好。图13、图14分别利用边界元法和解析法计算了该钢筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a时，板中角点A附件的氯离子分布。可以看出，在2个暴露面的交点及45°对角线附近，氯离子浓度明显增加，边界元法和解析解法2种方法所得结果是吻合的。由图6、图7、图10、图11、图13、图14可以看出，在结构拐角处氯离子呈二维扩散状态，并且拐角处的氯离子分布浓度明显高于一维扩散理论的计算结果。由于混凝土结构的角点附近往往是应力集中区，钢筋分布更密集，因此，从结构耐久性要求出发，更需要利用二维扩散的数值方法重点研究结构角点处的氯离子分布。从上述3个算例可以看出，对于不同类型的混凝土试件或结构，不同的表面氯离子浓度、试件尺寸、混凝土扩散系数或扩散时间，在利用边界元法研究混凝土中氯离子二维扩散问题时，都需要按照式(25)、式(26)确定扩散场的计算长度及扩散长度系数，并根据“若混凝土试件或结构的实际长度小于式(25)所确定的计算长度时，应该按照扩散场的计算长度建立边界元法计算模型；反之，如果试件的实际尺寸已经超过扩散场的计算长度，则应该按照试件实际尺寸建立边界元法计算模型”的原则确定扩散场区域和边界元法计算模型，并取得较好的计算精度和计算效率。4氯离子二维扩散的边界元法算法的应用提出了混凝土试件中氯离子二维扩散分析的边界元法，提出了扩散场计算长度的概