第09讲二元一次方程组中的新定义题型(原卷版+解析)-2021-2022学年下学期七年级数学下册期末复习高频考点专题(人教版)

第09讲二元一次方程组中的新定义题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一“新运算”型专题典例1（2021春•万山区期中）定义新运算：，其中，是常数，已知，；求的值？针对训练11．（2021•兰山区二模）对于实数，我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，．若，，则．2．（2021春•蒙阴县期末）对于实数，，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是二元一次方程组的解，则．3．（2022春•龙游县月考）定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则．4．（2021春•宁波期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是．5．（2022春•卫辉市期中）对于、我们定义一种新运算“※”：※，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知：5※、3※，求4※3的值．

类型二“新方程”型典例2（2022春•越秀区校级期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．针对训练26．（2021春•福州期中）把（其中、是常数，是未知数）这样的方程称为“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值称为“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”为．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，为常数）存在“卓越值”吗？若存在，请求出其“卓越值”，若不存在，请说明理由；（3）若关于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是关于的方程的解，求此时符合要求的正整数，的值．

类型三“新概念”型典例3（海淀区校级期末）新定义，若关于x，y的二元一次方程组①的解是，关于x，y的二元一次方程组②的解是，且满足||≤0.1，||≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则m的取值范围是．针对训练37．（2021秋•海淀区校级期末）对于数轴上的点A和正数r，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若点A表示2，则点A的4对称数D（A，4）＝{x，y}，则x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求点A表示的数及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B速度的2倍，当2（y﹣n）＝3（x﹣m）时，请直接写出点A表示的数．8．（赣县区期末）我们定义：若整式M与N满足：M+N＝k（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我们称2x与3y为关于4的平衡整式．（1）若2a﹣5与4a+9为关于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10与y为关于2的平衡整式，2x与5y+10为关于5的平衡整式，求x+y的值．

类型四定义新的解题思想或方法典例4（2019春•朝阳区期中）定义：在解方程组时，我们可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．（1）用轮换对称解法解方程组，得；（2）如图，小强和小丽一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小丽所搭的“小树”高度为31cm，设每块A型积木的高为xcm每块B型积木的高为ycm，求x与y的值．针对训练49．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请同学们运用这样的思想解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则，；（2）对于实数，，定义新运算：※，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3※，4※，那么求1※1的值．

类型五阅读材料题型中的新定义典例5（2019•南岸区校级三模）阅读下列材料，回答问题：线性方程组是指各个方程未知数的次数均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，最早的记载见公元初《九章算术》方程章中我们初中学习的二元一次方程组：是其中一种．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关线性方程组”，其中，称为该方程组的“相关系数”．（1）若关于，的方程组可化为“相关线性方程组”，则该方程组的解为（2）若某“相关线性方程组”有无数多组解，求该方程组的两个相关系数之和；（3）已知关于，的“相关线性方程组”的未知数的值为整数，试写出符合题意的的几个值．针对训练510．（2019秋•九龙坡区校级月考）阅读下列材料并解决问题定义：对于任意一个实数R，R的干数m是与R最接近的两个整数中较小的一个整数，R的支数n是R减去R的干数m之差，即n＝R﹣m例如：实数2.07，因为与2.07最接近的两个整数是2和3，且2小于3，所以2.07的干数m＝2，2.07的支数n＝2.07﹣2＝0.07；实数﹣1.72，因为与﹣1.72最接近的两个整数是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干数m＝﹣2，﹣1.72的支数n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相关结论：m是一个整数，n的取值范围是0≤n＜1．（1）实数10.8的干数m＝，实数的支数n＝．（2）某实数的干数是x，支数是y，且x+3y＝0.5，求这个实数．

11．（2019秋•锦江区校级期末）【阅读】将九个数分别填在行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”，下面的三个图（图都是满足条件的“和幻方”【探究】（1）若图2为“和幻方”，则，，．（2）若图3为“和幻方”，请通过观察上图的三个幻方，试着用含，的代数式表示，并说明理由．（3）若图4为“和幻方”，且为整数，试求出所有满足条件的整数的值．

专题提提优训练1．（2021春•丹江口市期中）对于、定义一种新运算“※”：※，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2※，1※，求5※3的值．2．（2021•唐山一模）对于实数、，定义关于“※”的一种运算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．3．（2021春•广饶县期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．4．（2020春•沙坪坝区校级月考）请阅读下列材料，并解决相关的问题：对于任意一个三位数，如果个位上的数字与十位上的数字之和等于百位上数字的两倍．则称这个三位数为“均衡数”．（1）请直接写出200以内的“均衡数”；（2）如果一个三位数，，，，为自然数），规定为这个三位数的“匀称值”，求出“匀称值”为整数的“均衡数”的个数．

5．（2022春•江阴市期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：．（1）填空：（用含，的代数式表示）；（2）若，．①求与的值；②若，，，求出此时的值．6．（2020秋•海淀区校级期末）定义数对经过一种运算可以得到数对，并把该运算记作，，，其中，为常数）．例如，当，且时，，，．（1）当且时，；（2）若，，，则，；（3）如果组成数对的两个数，满足二元一次方程，并且对任意数对经过运算又得到数对，求和的值．7．（2020春•萧山区期中）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察未知数系数之间的关系，如由①②可得，由①②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则，；（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．第09讲二元一次方程组中的新定义题型（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一“新运算”型专题典例1（2021春•万山区期中）定义新运算：，其中，是常数，已知，；求的值？思路引领：根据题意得到关于、的方程组，解出、，再根据定义求值即可．解：根据题意得，，解得：．则．解题秘籍：本题考查解二元一次方程组，解题关键是读懂题意准确列出方程组，准确求解方程组．针对训练11．（2021•兰山区二模）对于实数，我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，．若，，则．思路引领：已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，代入，再把，代入计算即可求出值．解：，，根据题中的新定义化简得：，解得：，即，则．故答案为：11．解题秘籍：此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．2．（2021春•蒙阴县期末）对于实数，，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是二元一次方程组的解，则．思路引领：利用加减消元法解出方程组的解，根据，用第二个表达式计算即可．解：，①②得：，，代入①得：，，原式．故答案为：．解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，体现了分类讨论的数学思想，通过比较，的大小，选择正确的表达式进行计算是解题的关键．3．（2022春•龙游县月考）定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则．思路引领：根据，，列方程组可求出、的值，即可计算得到答案．解：，，，，解得，，，故答案为：13．方法，，，，，，①②得：；．故答案为：13．解题秘籍：本题考查新定义运算，涉及解二元一次方程组，实数混合运算等知识，解题的关键是由已知列出关于、的方程组，从而求出、的值．4．（2021春•宁波期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是．思路引领：（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，，．（2）由，，，得，故．由当时，，，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，．解：（1），，，．，．，．，．（2），，，，，．，．若当时，，，对任意有理数，都成立，当时，对任意有理数，都成立．当时，对任意有理数，都成立．．故答案为：，．解题秘籍：本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算是解题的关键．5．（2022春•卫辉市期中）对于、我们定义一种新运算“※”：※，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知：5※、3※，求4※3的值．思路引领：根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出4※，再求出答案即可．解：※、3※，，①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以4※．解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．类型二“新方程”型典例2（2022春•越秀区校级期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）由题意可得，即可求解；（2）由题意可得，求出即可；（3）由题意可得，得，，得，再由，即可求的值．解：（1）是“雅系二元一次方程”，，解得，“雅系二元一次方程”的“完美值”为；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，，解得；（3）存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数）的“完美值”相同，理由如下：由，得，由，得，，解得，，“完美值”为．解题秘籍：本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．针对训练26．（2021春•福州期中）把（其中、是常数，是未知数）这样的方程称为“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值称为“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”为．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，为常数）存在“卓越值”吗？若存在，请求出其“卓越值”，若不存在，请说明理由；（3）若关于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是关于的方程的解，求此时符合要求的正整数，的值．思路引领：（1）把代入即可求得；（2）解方程得，根据分式有意义得条件，当时存在“卓越值”，当时分式无意义不存在“卓越值”；（3）因为方程与方程的解相同，可得，因为、都为正数，所以，即可得出、得值．解：（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，，解得；（2）由，①当，时，中雅一元一次方程”，为常数）有无数个“卓越值”，②当，时，中雅一元一次方程”，为常数）不存在“卓越值”；（3）由，得，由，得，由题意可得，，解得：，，，，，；，；，；，．解题秘籍：本题主要考查二元一次方程的解，理解题目中所给的条件时解决本题的关键．类型三“新概念”型典例3（海淀区校级期末）新定义，若关于x，y的二元一次方程组①的解是，关于x，y的二元一次方程组②的解是，且满足||≤0.1，||≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则m的取值范围是．思路引领：先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m的取值范围便可．解：解方程组得，，解方程组得，，∵二元一次方程组的解是方程组的模糊解，∴||≤0.1，||≤0.1，解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案为4.5≤m≤5．解题秘籍：本题考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．针对训练37．（2021秋•海淀区校级期末）对于数轴上的点A和正数r，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若点A表示2，则点A的4对称数D（A，4）＝{x，y}，则x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求点A表示的数及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B速度的2倍，当2（y﹣n）＝3（x﹣m）时，请直接写出点A表示的数．思路引领：（1）根据新定义概念列式计算；（2）根据新定义概念列方程组求解；（3）设点A所表示的数为a，则B点所表示的数为，然后根据新定义概念用含a的式子表示出x，y，m，n，从而代入求解．解：（1）当点A表示2时，x＝2﹣4＝﹣2，y＝2+4＝6，故答案为：﹣2；6；（2）设点A所表示的数为a，由题意可得：，解得，∴点A所表示的数为4，r的值为7；（3）设点A所表示的数为a，∵点A、点B从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B速度的2倍，∴点B所表示的数为﹣，又∵D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，∴a﹣5＝x，a+5＝y，﹣﹣3＝m，﹣+3＝n，当2（y﹣n）＝3（x﹣m）时，2[a+5﹣（﹣+3）]＝3[a﹣5﹣（﹣﹣3）]，解得：a＝，∴点A所表示的数为．解题秘籍：本题属于新定义题目，考查解二元一次方程组，一元一次方程组的应用，理解新定义概念，掌握解二元一次方程组和解一元一次方程的步骤是解题关键．8．（赣县区期末）我们定义：若整式M与N满足：M+N＝k（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我们称2x与3y为关于4的平衡整式．（1）若2a﹣5与4a+9为关于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10与y为关于2的平衡整式，2x与5y+10为关于5的平衡整式，求x+y的值．思路引领：（1）根据平衡整式列出方程，解一元一次方程得到答案；（2）根据平衡整式的概念列出二元一次方程组，解方程组即可．解：（1）由题意得，2a﹣5+4a+9＝1，解得a＝﹣；（2）由题意得，，解得，，则x+y＝2．解题秘籍：本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次方程的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关．类型四定义新的解题思想或方法典例4（2019春•朝阳区期中）定义：在解方程组时，我们可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．（1）用轮换对称解法解方程组，得；（2）如图，小强和小丽一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小丽所搭的“小树”高度为31cm，设每块A型积木的高为xcm每块B型积木的高为ycm，求x与y的值．思路引领：（1）根据轮换对称解法解方程组即可；（2）根据题意列出方程组，然后根据轮换对称解法解方程组即可．解：（1），①+②得，x+y＝2，②﹣①得，x﹣y＝12，解得，，故答案为：；（2）根据题意得，，解得：．解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．针对训练49．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请同学们运用这样的思想解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则，；（2）对于实数，，定义新运算：※，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3※，4※，那么求1※1的值．思路引领：（1）整体代换求值．（2）先将新定义转化为常规运算，再解方程．解：（1），①②得：，．①②得：．故答案为：，6．（2）由题意得：①②得：．※．解题秘籍：本题考查整体代换解方程，确定将哪部分当作一个整体是求解本题的关键．类型五阅读材料题型中的新定义典例5（2019•南岸区校级三模）阅读下列材料，回答问题：线性方程组是指各个方程未知数的次数均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，最早的记载见公元初《九章算术》方程章中我们初中学习的二元一次方程组：是其中一种．定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关线性方程组”，其中，称为该方程组的“相关系数”．（1）若关于，的方程组可化为“相关线性方程组”，则该方程组的解为（2）若某“相关线性方程组”有无数多组解，求该方程组的两个相关系数之和；（3）已知关于，的“相关线性方程组”的未知数的值为整数，试写出符合题意的的几个值．思路引领：（1）将方程化为，根据“相关线性方程组”的定义，可得，，即可求解（2）由条件可知，，求出与即可；（3）解方程组后可得，由是整数，故有或或，分别求解即可（答案不唯一，符合条件即可）．解：（1）可化为，根据“相关线性方程组”的定义，可得，，，；方程组为，方程组的解为，故答案为；（2）有无数多组解，，，，，或．（3）的解为，，的值为整数，是整数，或，或（答案不唯一，符合条件即可）．解题秘籍：本题考查一元二次方程组的解，新定义；能够理解定义内容，将所求转化为一元二次方程组的解是解题的关键．针对训练510．（2019秋•九龙坡区校级月考）阅读下列材料并解决问题定义：对于任意一个实数R，R的干数m是与R最接近的两个整数中较小的一个整数，R的支数n是R减去R的干数m之差，即n＝R﹣m例如：实数2.07，因为与2.07最接近的两个整数是2和3，且2小于3，所以2.07的干数m＝2，2.07的支数n＝2.07﹣2＝0.07；实数﹣1.72，因为与﹣1.72最接近的两个整数是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干数m＝﹣2，﹣1.72的支数n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相关结论：m是一个整数，n的取值范围是0≤n＜1．（1）实数10.8的干数m＝，实数的支数n＝．（2）某实数的干数是x，支数是y，且x+3y＝0.5，求这个实数．思路引领：（1）根据干数与支数的定义即可求解；（2）由题意可知，x为整数，0≤y＜1，则0≤3y＜3，分x＝0，﹣1，﹣2进行讨论即可求解．解：（1）实数10.8的干数m＝10，实数的支数n＝﹣﹣（﹣1）＝．（2）由题意可知，x为整数，∵0≤y＜1，∴0≤3y＜3，∴x＝0，﹣1，﹣2，①若x＝0，则3y＝0.5，解得y＝，则x+y＝；②若x＝﹣1，则﹣1+3y＝0.5，解得y＝，则x+y＝﹣；③若x＝﹣2，则﹣2+3y＝0.5，解得y＝，则x+y＝﹣．故这个实数是或﹣或﹣．解题秘籍：考查了解二元一次方程，关键是理解干数和支数的定义，注意分类思想的应用．11．（2019秋•锦江区校级期末）【阅读】将九个数分别填在行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”，下面的三个图（图都是满足条件的“和幻方”【探究】（1）若图2为“和幻方”，则，，．（2）若图3为“和幻方”，请通过观察上图的三个幻方，试着用含，的代数式表示，并说明理由．（3）若图4为“和幻方”，且为整数，试求出所有满足条件的整数的值．思路引领：（1）根据定义，由第1行与第1列三数和相等，便可求得，由第2列与撇线对角线三数和相等求得，再用的代数式表示捺线对角线上的三数，将此三数的和等于列出方程，便可求得的值；（2）通过观察上图的三个幻方，发现：，，，由此便可得出，设右上角数为，用、表示出第2行第2个数，第2行第2个数，第3行第3个数，最后根据第3列三个数和为，列出等式便可通过恒等变形证明结论；（3）根据（2）的思路可得，然后为整数，求得整数便可．解：（1）由题意知第1行第1列位置上的数为，由第1列三数和得为，得，，由撇形对角线三数和为，得第2行第2列上的数为：，，第3行第3列上的数为：，由捺形对角线三数和为，得，．故答案为：；9；3．（2）由上图的三个幻方，发现：，，，，理由如下：设右上角数为，则第1行第2个数为，第2行第2个数为，由捺形对角线上三数和得，第3行第3个数为，根据第3列三个数和为，得，．（3）根据（2）的思路可得，整理得，，，、都为整数，或或1或2，或或0或1．解题秘籍：本题是一个新定义题，主要考查数的特点，一元一次方程的应用，方程的解的应用，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．专题提提优训练1．（2021春•丹江口市期中）对于、定义一种新运算“※”：※，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2※，1※，求5※3的值．思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式并利用新定义计算即可得到结果．解：由※，2※，1※可得，，解得：，※，则5※．解题秘籍：此题考查了解二元一次方程组，以及新定义，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．（2021•唐山一模）对于实数、，定义关于“※”的一种运算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．思路引领：（1）根据新定义直接代入即可；（2）由已知可得方程组，解出方程组即可．解：（1）4※；（2）※，※，②，得③，解得，将代入①得，，．解题秘籍：本题考查二元一次方程组的解，理解定义，掌握代入消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．3．（2021春•广饶县期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．思路引领：（1）先根据新运算得出算式，再求出即可；（2）先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．解：（1）；（2），且，，解得：，．解题秘籍：本题考查了解二次一次方程组，能根据新运算得出算式和方程组是解此题的关键．4．（2020春•沙坪坝区校级月考）请阅读下列材料，并解决相关的问题：对于任意一个三位数，如果个位上的数字与十位上的数字之和等于百位上数字的两倍．则称这个三位数为“均衡数”．（1）请直接写出200以内的“均衡数”；（2）如果一个三位数，，，，为自然数），规定为这个三位数的“匀称值”，求出“匀称值”为整数的“均衡数”的个数．思路引领：（1）根据给出的定义，列出对应的关系式，可以找出200以内的“均衡数”；（2）根据“均衡数”的定义，列出这个三位数各个数位上的数字之间的关系，得出对应的方程组，一一列出符合题意的数字即可．解：（1）设这个三位数为，且，，，，为自然数），根据“均衡数”的定义可得，，又200以内的“均衡数”的百位只能是1，即，，当时，；当时，；当时，．故答案为：102，111，120．（2）由题意可知，，，，为自然数）是“均衡数”，，①又，②将①代入②中，可以得到，令，则，且为整数；，且为整数；当时，且，则时，，；当时，且，则时，，；当时，且，则时，，；当时，且，则时，，；当时，，；当时，且，则时，，；当时，且，则时，，；当时，且，则时，，（舍；时，，；当时，且，则时，，（舍；时，，；当时，且，则时，，（舍；时，，（舍；符合条件的三位数有：102，204，306，408，471，573，675，777，879；“匀称值”为整数的“均衡数”的个数是9个．解题秘籍：此题为新定义题型，根据题干中所