第12讲 二次函数图像与性质 4考点+16题型 2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章函数第12讲二次函数图像与性质（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一二次函数的相关概念考点二二次函数的图象与性质考点三二次函数与各项系数之间的关系考点四二次函数与方程、不等式04题型精研·考向洞悉命题点一二次函数的相关概念►题型01判断二次函数►题型02已知二次函数的概念求参数值命题点二二次函数的图象与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质►题型02将二次函数的一般式化为顶点式►题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质►题型04二次函数的对称性►题型05根据二次函数的性质求最值►题型06二次函数的平移变换问题命题点三二次函数与各项系数之间的关系►题型01根据二次函数图象判断式子符号►题型02二次函数图象与各项系数符号►题型03二次函数、一次函数、反比例函数图象综合命题点四二次函数与方程、不等式►题型01求二次函数与坐标轴交点坐标►题型02抛物线与x轴交点问题►题型03根据二次函数图象确定相应方程根的情况►题型04图象法解一元二次不等式►题型05根据交点确定不等式的解集05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升0考点要求新课标要求考查频次命题预测二次函数的相关概念通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.10年6考二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.二次函数的图象与性质能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.近10年连续考查二次函数与各项系数的关系理解二次函数与各项系数的关系.10年8考二次函数与方程、不等式知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.10年考考点一二次函数的相关概念二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数a≠0，而QUOTEb，c可以为零.根据实际问题列二次函数关系式的方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式.二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件一般式y=ax²+bx+c(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.考点二二次函数的图象与性质一、二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(，)最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）.增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.二、二次函数的图象变换1）二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号三、二次函数的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=.解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.四、二次函数的最值问题自变量取值范围图象最大值最小值全体实数a>0当x=时，二次函数取得最小值a<0当x=时，二次函数取得最大值x1≤x≤x2a>0当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=时，二次函数取得最小值当x=x1时，二次函数取得最大值y1当x=时，二次函数取得最小值当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=x1时，二次函数取得最小值y1备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.考点三二次函数与各项系数之间的关系一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c>0x轴上4a-2b+c=0x轴的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx轴的上方a-b+c>0x轴上a-b+c=0x轴的下方a-b+c<01a+b+cx轴的上方a+b+c>0x轴上a+b+c=0x轴的下方a+b+c<024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c>0x轴上4a+2b+c=0x轴的下方4a+2b+c<0考点四二次函数与方程、不等式一、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根判别式Δ=b2-4ac2个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>01个交点有一个不相等的实数根b2-4ac=00个交点没有实数根b2-4ac<0二次函数与不等式的关系:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2x≠取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解命题点一二次函数的相关概念►题型01判断二次函数1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意；B、，不是二次函数，不符合题意；C、，是二次函数，符合题意；D、，不是二次函数，不符合题意；故选C．2．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：不是的二次函数，故A错误；不是的二次函数，故B错误；，即是的二次函数，故C正确；，当时，不是的二次函数，故D错误；故选：C．3．（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（

）A．（其中是常数） B．（其中、、是常数）C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；B、当时，不是二次函数，不符合题意；C、，是二次函数，符合题意；D、，不含二次项，不是二次函数，不符合题意．故选C．4．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可．【详解】A.是反比例函数，不符合题意；

B.，是一次函数，不符合题意；C.，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；D.是二次函数，符合题意故选：D．►题型02已知二次函数的概念求参数值5．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（

）A． B．4 C．或4 D．无法确定【答案】B【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值．【详解】解：二次函数的解析式为：，∴，，二次函数的图象经过原点，，或，∵，．故选：B．6．（2023·广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．7．（2024·四川凉山·模拟预测）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解．【详解】解：依题意，，解得：，故选：C．8．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数．【详解】解：是二次函数，则且由可得或，由可得，，综上故答案为：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．命题点二二次函数的图象与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质9．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可．【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴，∴时，y随x的增大而增大，∵点都在抛物线上，且，∴故选：A．10．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出、、的值，比较即可得解．【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上，∴，，，∵，∴，故选：A．11．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答．【详解】解：∵抛物线，∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，∵、和都在抛物线上，且，∴，故选：A．12．（2024·云南曲靖·一模）设，，是抛物线图象上的三点，则的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，∴关于称轴是直线的对称点是，∵，∴，故选：A．►题型02将二次函数的一般式化为顶点式13．（2022·广东湛江·一模）将二次函数化为的形式，正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，即得答案．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的一般式转化为顶点式，需注意的是：第一，提取二次项系数而不是两边同时除以二次项系数，第二，当二次项系数是负数时，括号内需注意符号的变化．14．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可，熟练掌握将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键．【详解】解：∴二次函数的顶点坐标为．故选：B．15．（2024·山西·模拟预测）用配方法将二次函数化成的形式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了运用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据题意，将化为顶点式进行比较即可求解．【详解】解：根据题意，，故选：A．16．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（

）A．对称轴在轴的右侧B．与轴的交点坐标为C．顶点坐标为D．是由抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数，，∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，∴对称轴在轴的右侧，故选项A说法正确，不符合题意；当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B说法正确，不符合题意；∴顶点坐标为，故选项C说法正确，不符合题意；抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移1个单位得到，与原函数解析式不同，故选项D说法错误，符合题意；故选：D．►题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质17．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键．根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解．【详解】解：抛物线中，，∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，∴离对称轴直线越远，函数值越大，∵，∴，故选：C．18．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．二次函数图象关于直线对称B．和3是方程的两个根C．当时，随的增大而增大D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是【答案】C【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可．【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意；观察图象得：二次函数图象与x轴交于点，∵二次函数的图象的对称轴为直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为，∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意；观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意；∵抛物线经过点∴，解得，，∴，当时，，∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意；故选：C．19．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．与轴的交点C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．【详解】A．

二次项系数为负数，因此抛物线开口向下，不符题意；B．与轴的交点为，不符题意；C．顶点坐标为，不符题意．D．在左边，又因为开口向下，所以时，随的增大而增大，符合题意．故选D20．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数（为常数，），当时，，则的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出a的范围即可求解．【详解】解：当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，当时，，故抛物线与轴交于，当时，随增大而增大，对于任意的取值均成立；当时，此时抛物线开口向下，对称轴在轴右侧，由于抛物线经过，故必经过，要满足当时，，则，此时，综上所述，或，故选：A．►题型04二次函数的对称性21．（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（

）A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，据此即可求出答案．【详解】解：∵抛物线经过点和点，∴抛物线对称轴为直线，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键．22．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线∵抛物线经过两点∴，即，∴，∵抛物线与轴有交点，∴，即，即，即，∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（2023·广东深圳·二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（

）A．当时，二次函数与轴总有两个交点B．若，且，则C．若，则D．当时，的取值范围为【答案】D【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解：由，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；A.当时，，所以，二次函数与轴总有两个交点，说法正确，故选项A不符合题意；B.当时，对应点为，关于对称轴对称的点为，即；当时，图象在和之间，所以，，故选项B说法正确，不符合题意；C.若，则，当时，则两点连线的中点在对称轴右侧，所以，，故选项C说法正确，不符合题意；D.当时，，当时，最高点为，所以，，故选项D说法错误，符合题意，故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题．24．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线与x轴交于点和点，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；∴，∴，∴，故①错误；由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴当时，，故③正确；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，抛物线有最大值，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有②③⑤，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．►题型05根据二次函数的性质求最值25．（2024·广东东莞·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，二次函数的最值，先将代入一元二次方程，可得，则，根据二次函数的最值，求出结果即可．【详解】解：将代入一元二次方程，得：，∴，则，设，则：，变形，得：．∴当时，可以取得最小值，∴的最小值为．故选：D．26．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴右侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：由题意可得：，解得：，．二次函数，对称轴在轴右侧，∴．∴．．∵，抛物线开口向上，二次函数有最小值为：．故选：B．27．（2023·广东茂名·二模）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得出抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，与轴的交点为，可画出大致图象，由函数在闭区间上有最大值3，最小值2，结合图象即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：∵二次函数，∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，，与轴的交点为，其大致图象如图所示：，由对称性可知，当时，或，∵二次函数在闭区间上有最大值3，最小值2，，故选：C．28．（2023·广东·模拟预测）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；⑥；其中正确的结论有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点等知识点，根据对称轴在轴的右侧，与轴相交在正半轴，可判定①；由顶点坐标即可判断②；由即可判断③；由抛物线与轴有两个交点即可判断④；有抛物线与轴交点的横坐标即可判断⑤；由对称轴方程得到，由时，时函数值为即可判断⑥．【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，∴，，．∴故①不正确；∵二次函数图象的对称轴为直线，∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为，故②正确；∵抛物线过，∴时，，即，故③不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故④不正确；∵对称轴为直线，，∴，由图象可知，时，，故⑤正确；∵，即，而时，，即，∴，∴．故⑥正确．故选：A．►题型06二次函数的平移变换问题29．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为，∴平移后的抛物线解析式为．故选：A．30．（2024·广东河源·一模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：，即．故选：D．31．（2024·广东惠州·二模）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，左加右减，进行求解即可．【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是：．故选：D．32．（2024·广东汕头·一模）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，则抛物线：，于是可推出点在哪段“波浪线”上，从而求得的值．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【详解】解：，图象与轴交点坐标为：，，将绕点旋转得，交轴于点；，抛物线：，将绕点旋转得，交轴于点；在抛物线，上，当时，．故选：C．命题点三二次函数与各项系数之间的关系►题型01根据二次函数图象判断式子符号33．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．【详解】解：观察图象，可知，∴，故①符合题意；∵该抛物线的对称轴为直线，，∴，，∴点，点，∴当时，，即，故②符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，即，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，若m为任意实数，则，故④不符合题意，综上，符合题意的有3个，故选：C．34．（2024·广东东莞·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数开口向下，与y轴交于坐标轴得到，再根据对称轴的位置得到，则，据此可判断①③；根据二次函数与x轴有两个不相同的交点即可判断③；根据当时，，时，，得到，据此可判断④；根据当时，可判断⑤．【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵对称轴在直线和y轴之间，∴，∴，故③错误；∴，故①正确；∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，∴，故②错误；∵当时，，时，，∴，∴，∴，故④正确；∵当时，，∴，∴，故⑤正确；∴正确的有3个，故选：B．35．（2024·广东珠海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的为（）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，，、异号，，，，①结论正确；抛物线对称轴是直线，，，由图象可知，当时，，，②结论错误；由图象可知，当时，，，又，，③结论错误；当时，为最小值，，，④结论正确，故选：A．36．（2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④．【详解】解：抛物线开口向下，，故①正确，对称轴为直线，抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减小，关于直线对称的点为，又，，故②正确，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位，由图象可知抛物线与轴有两个交点，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，关于直线对称的点为，的取值范围为，故④正确．故正确的有①②④；故选：C．►题型02二次函数图象与各项系数符号37．（2024·广东东莞·一模）如图，是二次函数的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次判断即可．【详解】解：由所给函数图象可知，，，所以．故①正确．因为抛物线的对称轴为直线，所以，则．故②正确．因为抛物线与轴有两个不同的交点，所以，则．故③正确．因为时，函数值小于零，且抛物线的对称轴为直线，所以时，函数值小于零，则，又因为，所以．故④正确．故选：D．38．（2024·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象开口方向、对称轴、与x轴交点个数和交点坐标分析即可得到答案.【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，故选项A正确，不符合题意；∵对称轴为直线，∴，故选项B正确，不符合题意；∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴有两个不相等的实数根，∴，故选项C正确，不符合题意；∵二次函数的图象对称轴为直线，经过点，∴二次函数的图象经过点，∴，故选项D错误，符合题意，故选：D39．（2024·广东梅州·模拟预测）已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（

）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④【答案】D【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，从而可得，再根据二次函数的性质与图象即可判断；把抛物线表达式转化成，求得、，可得，即可判断；利用作差法可得，即可判断；根据二次函数与二元一次方程组的关系进行判断即可．【详解】解：∵对称轴为，∴，∵抛物线开口向上，∴，∴，故①正确；若，则，∴抛物线与x轴交于点、，∴，解得，故②错误；∵，∵，，∴，即，故③正确；∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，∴抛物线与直线有两个交点，∴关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x的交点问题、二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、函数与方程的关系是解题的关键．40．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系．根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④．【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y左侧，与y轴相交于负半轴，∴，∴，故①正确，符合题意；∵其对称轴为直线∴，则，由图可知，当时，函数值大于0，∴，故②正确，符合题意；∵抛物线开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，，∴；故③不正确，不符合题意；∵对称轴为直线，交y轴于点，∴抛物线经过，∴当或时，，即当或时，，故④正确，符合题意；综上：正确的有①②④，共3个，故选：C．►题型03二次函数、一次函数、反比例函数图象综合41．（2023·广东云浮·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合，分别判断出每个选项中二次函数中a的符号，一次函数中a的符号，看是否一致即可得到答案．【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，则，由直线可知，图象过二、三、四象限，则，即，故此选项错误；B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，则，由直线可知，图象过一、二、三象限，则，即，故此选项错误；C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，则，由直线可知，图象过一、二，四象限则，即，故此选项错误；D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，则，即，故此选项正确；故选：D．42．（2023·广东河源·二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意；B、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意；C、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意；D、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意；故选：C．43．（2023·广东深圳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可．【详解】A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误．B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．44．（2023·广西南宁·三模）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限，∴，由图知当时，，∴，∴抛物线开口向下，对称轴为，，∴对称轴在与0之间，故选：D．命题点四二次函数与方程、不等式►题型01求二次函数与坐标轴交点坐标45．（2022·广东江门·模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为C．图象与x轴的交点坐标为和D．y的最小值为【答案】D【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线，在y轴的左侧，故选项A错误；当时，，即该函数与y轴交于点，故选项B错误；当时，或，即图象与x轴的交点坐标为和，故选项C错误；当时，该函数取得最小值，故选项D正确．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．46．（2023·广东·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围．【详解】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点为，由图象可知，当时，x的取值范围是或．故选：D．47．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x-2-101y0466下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为【答案】C【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得，解得，∴抛物线解析式为，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；令，则，解得或，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．48．（2022·广东河源·二模）已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】将代入抛物线中求出a的值，然后令求出点B的坐标，即可求出AB的值．【详解】抛物线与x轴的一个交点是，，即，抛物线为：，令，求出，，．故选：D．【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x轴交点坐标之间的联系是解题的关键．►题型02抛物线与x轴交点问题49．（2023·广东深圳·三模）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．且 B．C．且 D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，分与两种情况，当时，该函数为一次函数，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，由此可解．【详解】解：当时，函数为，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，即，∴，∴且，综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．故选D．50．（2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先确定抛物线的顶点坐标，于是有，再确定物线与轴的交点坐标为，，再代入解析式求解即可．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，将代入中，得，∴抛物线顶点坐标为．∵抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6，∴，即，∴．又∵抛物线与x轴两个交点之间的距离为4a，∴抛物线经过点，，将点代入中，得，整理得，解得，∴，∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选：D．51．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可．【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点，当时，函数的图象与直线有交点，即时，，综上所述：实数的取值范围是，故选：B．52．（2024·广东汕头·一模）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在抛物线上，则，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数图象的性质，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①②；根据函数图象可得抛物线与直线有两个不相同的交点，据此可判断③；点关于抛物线对称轴对称，据此可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵对称轴为直线，∴，∴，即，∴，故①②正确；∵抛物线的顶点的纵坐标大于3，∴抛物线与直线有两个不相同的交点，∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；∵点在抛物线上，对称轴是直线∴关于抛物线对称轴对称，∴，故④正确；故选：D．►题型03根据二次函数图象确定相应方程根的情况53．（2024·广东梅州·一模）抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（

）．x…01…y…33…①当时，y随x的增大而减小；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；

④方程的一个正数解满足．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质和二次函数图像上点的特征，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质逐项判断即可．【详解】解：①由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线且当时，y随x的增大而增大，根据二次函数图像的对称性可得当时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线，故②的说法正确；③当时的函数值与时的函数值相同为，即，故③的说法错误；④当时，，当时，，根据二次函数的对称性可得当时，，当时，，故方程的正数解满足，故④的说法正确．故选：D．54．（2024·广东广州·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，），经过点，其对称轴是直线．则下列结论：①；②关于x的方程无实数根；③当时，y随x增大而减小；④.其中正确的结论有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数解析式中的系数与图象的有关系是解题的关键．利用对称轴判定④，根据，结合抛物线的解析式判定①，根据，结合对称轴判定③，根据二次函数与一元二次方程的关系判定②．【详解】∵对称轴是直线，∴，整理，得，④正确；即：，把点代入解析式，得，即，∴，∵，∴，解得：，，∴，①正确；∵，∴抛物线的开中向下，当时，y随x增大而减小，③错误；∵，∴直线与抛物线有两个交点，∴关于x的方程有两个不相等的实数根，②错误；综合分析可得，正确的有：①④，故选：B.►题型04图象法解一元二次不等式55．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④方程有一个实根大于；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的个数是(

)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴、以及与轴交点为，，分别判断出的符号，即可判断①；由对称轴为直线得，当时，，即可判断②；当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，，即可判断③；根据二次函数的性质以及已知条件结合对称轴可得，即可判断④，根据函数图象即可判断⑤．【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴为直线，、异号，，与轴交点为，，，，故结论①是正确的；由对称轴为直线得，当时，，，即，又，，故结论②不正确；当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，，方程的有两个根是；故③正确；抛物线与轴的一个交点，且，由对称轴为直线，另一个交点，，因此④是正确的；根据图象可得当时，随增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有个，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．56．（2023·广东深圳·二模）二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：①；②；③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是（）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据抛物线的开口向下、对称轴、时，，结合二次函数图象性质确定待定参数取值范围．【详解】由图知抛物线开口向下，故，对称轴∴∴，故①正确；点A，B关于对称，故点B的横坐标∴∴，故②错误；由得由图知，抛物线与直线恒有两个交点，所以有两个不相等实数根，故③正确；时，∴∴∴，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查抛物线图象性质，对称轴，方程组解与图象的关系；观察图形，灵活运用关键点及数形结合的思想是解题的关键．57．（2022·广东汕头·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由函数图象可得：对称轴为直线，∴b=-2a，∴b+2a=0，①正确；②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称，∴与x轴的另一个交点为（3,0），∴的解集为：，②错误；③当x=2时，y=4a+2b+c，由②可得当时，y<0，∴4a+2b+c<0，③正确；④当x=-1时，a-b+c=0，∵b=-2a，∴c=-3a，∴8a+c=8a-3a=5a，∵开口向上，∴a>0，∴8a+c>0，④错误；综上可得：①③正确，故选B．【点睛】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键．58．（2019·广东广州·二模）如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是(

)A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论．【详解】解：由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式组的解是解答此题的关键．►题型05根据交点确定不等式的解集59．（2024·湖北武汉·一模）已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数形结合，逐项判断即可．【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为，抛物线与直线经过点，，∴抛物线开口向上，直线经过一、二、四象限，当时，或，当时，或，故A、B错误，不符合题意；当时，图像位于轴的左侧，可知；故C正确，符合题意；当时，图像位于轴的左侧，可知或；故D错误，不符合题意．故选：C．60．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（

）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．【详解】解：由图象得：，，对称轴是，∴，∴，故A正确，不符合题意；∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是，∴另一个交点，∴不等式的解集是，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，故C正确，不符合题意；∵函数图象与x轴的两个交点为和，∴方程的解是，，故D正确，不符合题意；故选：B．61．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（

）A．抛物线的对称轴是直线B．当时，随的增大而减小C．一元二次方程的两个根分别是1和3D．当时，【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可．【详解】解：∵抛物线交轴于，，∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确；一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确；由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确；当时，或，故D选项错误；故选D．62．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确．【详解】解：①当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意；②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意；④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意；综上所述，①②④结论正确，符合题意．故选：B．►题型05根据交点确定不等式的解集63．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得点坐标，代入即可得到，然后由变形为，观察图象即可得到答案．【详解】解：与轴交于点，即时，，又点在直线：上，将代入，得直线的解析式为观察图象可知，当时，直线在抛物线的上面，当时，直线在抛物线的下面，当时，直线在抛物线的上面，，即观察图象可知，该不等式的解集为：或．故选：D．64．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，即，∴不等式的解集为：．故选：B．65．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（

）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】A【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键．令，根据题意画出的图象草图，再据此求解即可．【详解】令，一元三次方程的解为，，，的图象与x轴的交点为，，．当时，，，函数的图象与x轴的交点不含，的图象草图如下：从图象上可以看出时，即时，x的取值范围是或．关于x的不等式的解集是或．故选：A．66．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围．【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点，∴抛物线开口向下，∴，∴，故选：D基础巩固单选题1．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数，以下说法错误的是（

）A．开口向上 B．对称轴为直线C．有最小值 D．与y轴交点为【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可．【详解】解：，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，，∴抛物线与y轴交点为；故只有选项B错误；故选B．2．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题；由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为．【详解】解：和两点关于抛物线对称轴对称，抛物线对称轴为直线，，解得，，二次函数与y轴的交点坐标为．故选：B．3．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选：C．4．（2024·广东东莞·一模）把抛物线先向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，掌握平移的规律是解题的关键；根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．【详解】将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为，将向左平移2个单位，则函数解析式变，故选：A．5．（2024·广东阳江·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查抛物线与轴交点、二次函数几何变换等知识．依据题意，根据即可计算．【详解】解：如图连接、．与轴交于，两点，与轴交于点，∴顶点的坐标为，平移后顶点的坐标为，∴抛物线向上平移了1个单位．．故选：B．6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数值的大小，由函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越小，进行比较即可得出答案．【详解】解：，抛物线的开口向下，对称轴为直线，，，故选：D．7．（2024·广东中山·一模）如图，一段抛物线记为，它与轴交于点，两点；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点，，如此下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则的值为（）A． B．8 C． D．7【答案】D【分析】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．从图象看，可以把当成一个周期，则余7，即可求解．【详解】解：一段抛物线，图象与轴交点坐标为：，，将绕点旋转得，交轴于点，抛物线，从图象看，可以把当成一个周期，则余7，当时，，即，故选：D．二、填空题8．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：．【答案】（答案不唯一）【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为．本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可．【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，∵抛物线经过点，∴，∴，∴解析式为．故答案为：．9．（2024·广东湛江·模拟预测）若点，在抛物线上，则．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，且，利用二次函数的性质可求解．【详解】解：，对称轴为y轴，∴当时函数值随自变量的增大而增大；∵，，故答案为：．10．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．【详解】解：函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为，故答案为：．11．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为（用“”连接）．【答案】【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且，，故答案为：．能力提升一、单选题1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误；抛物线对称轴在y