电场能的性质（教师版）

第二讲电场能的性质[人教版必修第三册]1.阅读第十章第1节“电势能”“电势”两部分内容，电势能和电势的物理量意义是什么？提示：电势能是电荷在电场中与位置有关的能量，大小是相对的，与零势面的选取有关；电势表示电场中某点能的性质的物理量，由场源本身决定。2.第十章第1节P27页图，如何求解试探电荷沿任意曲线从A点移动到B点静电力做多少功？提示：用微元法把曲线分成很多小段，小到分割后的每一段曲线都可以看作直线，把每一小段直线运动的静电力做功代数相加，便得整个过程中静电力做的功。3.阅读第十章第2节P23页“等势面”相关内容，为什么电场线与等势面一定垂直？提示：利用反证法，假如不垂直，电场强度就有一个沿着等势面的分量，在等势面上移动电荷时静电力就要做功，这与这个面是等势面矛盾。所以电场线与等势面一定垂直。4.第十章p51页【复习与提高】B组T3，如何确定过B点的电场线方向？提示：A、B两点间的电势差为UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－2.4×10－5,－6×10－6)V＝4V。B、C两点间的电势差为UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(1.2×10－5,－6×10－6)V＝－2V。因为UAB＝φA－φB＝4V，UBC＝φB－φC＝－2V，而φB＝0，所以φA＝4V，φC＝2V。由于匀强电场中沿任一直线方向电势均匀变化，所以A、B连线中点的电势为2V，连接该中点与C点即为等势线。电场线与等势线垂直且指向电势低的等势线，因此过B点的电场线方向如图所示：考点一电场力做功、电势、电势能1.静电力做功(1)特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。(2)计算方法①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离。②WAB＝qUAB，适用于任何电场。2.电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力所做的功。(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。(3)电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。3.电势(1)定义：电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q)。电势是标量，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。(3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。4.判断电势高低的四种方法判断方法具体应用依据电场线方向沿电场线的方向电势逐渐降低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面依据静电力做功根据UAB＝eq\f(WAB,q)＝φA－φB，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低依据电势能大小正电荷在电势较高处电势能较大，负电荷在电势较低处电势能较大依据场源电荷的正、负取无限远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷越近电势越高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷越近电势越低5.多个场源点电荷形成的电场中电势高低的比较(1)如图所示，为了比较A、B点的电势，引入试探电荷q，将q从A移到B，则Q1和Q2对q的静电力所做的总功：WAB＝WAB1＋WAB2；然后由WAB的正负根据WAB＝－ΔEp判断q的电势能是变大还是变小；再由φ＝eq\f(Ep,q)比较φA和φB的大小。(2)根据电势的叠加判断电势的叠加遵从代数运算法则。证明：WAB＝WAB1＋WAB2WAB1＝q(φA1－φB1)WAB2＝q(φA2－φB2)而WAB＝q(φA－φB)联立可得：φA＝φA1＋φA2，φB＝φB1＋φB2，即某点的电势等于各场源电荷在该点电势的代数和。6.判断电势能大小的四种方法判断方法具体应用根据电场线的方向判断(1)正电荷顺着电场线运动电势能减小；(2)负电荷顺着电场线运动电势能增加根据静电力做功判断(1)静电力做正功，电势能必减小；(2)静电力做负功，电势能必增加根据电势判断由Ep＝qφ知，电势越高，正电荷的电势能越大，负电荷的电势能越小根据能量守恒判断在电场中，若只有静电力做功，带电粒子的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加题型一电场力做功与电势能的变化(2023高考·全国卷乙)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM=ON，则小球()A.在运动过程中，电势能先增加后减少B.在P点的电势能大于在N点的电势能C.在M点的机械能等于在N点的机械能D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功BC由题知，OP>OM，OM=ON，则根据点电荷的电势分布情况可知φM=φN>φP,则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且EpP>EpM=EpN,则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，A错误、BC正确；从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功后做负功，D错误。选BC。题型二点电荷电场中场强、电势和电势能综合问题(2023高考·海南卷)如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是()A.M、N两点电场强度相同 B.M、N两点电势相同C.负电荷在M点电势能比在O点时要小 D.负电荷在N点电势能比在O点时要大BC据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，A错误；因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电势相等，B正确；因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小。C正确，D错误。故选BC。题型三电势高低、电势能大小的比较如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有一个边长为L的正三角形abc，三个顶点处分别固定一个电荷量为q(q>0)的点电荷，D点为正三角形外接圆的圆心，E点为ab的中点，F点为E点关于顶点c的对称点，下列说法中正确的是()A.D点的电场强度一定不为零，电势可能为零B.E、F两点的电场强度等大反向，电势不相等C.c点电荷受到a、b点电荷的库仑力的合力F库＝eq\f(\r(3)kq2,L2)D.若将一负点电荷从c沿直线移动到F，其电势能将不断减小C三个点电荷在D点的场强大小相等，方向沿三角形各角的角平分线，由矢量的合成可知，D点的场强一定为零，故A错误。由于a、b点电荷在E点的场强大小相等，方向相反，故E点的场强仅由c点电荷决定，故场强方向由D指向E，因c点电荷在E、F位置的场强大小相同，方向相反，而a、b点电荷在F点的合场强方向由D指向F，大小不为0，故E、F两点的电场强度大小不同，方向相反；在c点电荷的电场中，E、F两点关于c点对称，则电势相等，而在a、b两点电荷的合电场中，E点的电势高于F点的电势，所以E点的电势高于F点的电势，故B错误。由场强的叠加原理可知，a、b处电荷在c点产生的合场强Ec＝2eq\f(kq,L2)cos30°＝eq\f(\r(3)kq,L2)，故c点电荷受到a、b点电荷的库仑力的合力F库＝eq\f(\r(3)kq2,L2)，故C正确。若将一负点电荷从c沿直线移动到F，负电荷所受3个正电荷的库仑力都一直做负功，则其电势能将不断增大，故D错误。故选C。1.求静电力做功的四种方法2.电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。(5)电场场强的叠加遵从矢量合成法则，电势的叠加遵从代数运算法则。1.(2021·全国乙卷)如图a，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图b中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则()A.FM＜FN，EpM＞EpNB.FM＞FN，EpM>EpNC.FM＜FN，EpM＜EpND.FM＞FN，EpM<EPnA由图中等差等势面的疏密程度可知EM＜EN，根据F＝qE可知FM＜FN；分析可知图中电场线由金属板指向负电荷，设将该试探电荷从M点移到N点，则静电力做正功，电势能减小，即EpM>EpN。故选A。2.(2022·江苏高考)如图所示，正方形ABCD的四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O点为正方形的中心，现将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动，则()A.在移动过程中，O点电场强度变小B.在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大C.在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功D.当其移动到无穷远处，O点的电势高于A点D由题意知，O点的电场强度是四个带正电的点电荷在O点产生的电场的电场强度的矢量和，当将A点的点电荷沿OA的延长线向无穷远处移动时，B处和D处两个点电荷在O点产生的电场的电场强度相互抵消，C处点电荷在O点产生的电场的电场强度大小不变，方向为O→A，移动电荷在O点产生的电场的电场强度不断减小，且小于C处点电荷在O点产生的电场的电场强度，方向为A→O，则在移动过程中，O点电场强度变大，A错误；在移动过程中，B处和D处两个点电荷对C处点电荷的静电斥力不变，合力方向为O→C，移动的电荷对C处点电荷的静电斥力不断减小，方向为O→C，则C点的电荷所受静电力变小，B错误；由B项分析同理可知，在移动过程中，移动的电荷所受静电力方向为O→A，则移动的电荷所受静电力做正功，C错误；当A处点电荷移动到无穷远处时，在B处和D处两个点电荷的电场中，AO段电场方向为O→A，在C处点电荷的电场中，AO段电场方向为O→A，所以OA段合电场方向为O→A，而沿电场方向电势降低，则O点的电势高于A点，D正确。故选：D。3.(2022·湖南高考)如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是()A.电场强度方向垂直指向a，电势减小B.电场强度方向垂直指向c，电势减小C.电场强度方向垂直指向a，电势增大D.电场强度方向垂直指向c，电势增大A四根绝缘棒均匀带有等量正电荷，将其等分为极多个电荷量相等的点电荷，根据电场强度的叠加原理及对称性可知，移去a处的绝缘棒后，b、d处绝缘棒产生的电场在O点处的合场强为零，而c处绝缘棒产生的电场在O点处的场强垂直指向a，则O点处电场强度方向垂直指向a；由于电势是标量，叠加遵循代数加减法则，每根绝缘棒产生的电场在O点处的电势均大于零(取无穷远处电势为零)，可知移去a处的绝缘棒后，O点处的电势减小。故A正确。4.(2020·全国卷Ⅱ)(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则()A.a、b两点的场强相等B.a、b两点的电势相等C.c、d两点的场强相等D.c、d两点的电势相等ABC如图甲所示，为等量异种点电荷周围空间的电场线分布图。本题的带电圆环，可分割成如图乙所示无数对沿竖直方向的等量异种点电荷。图乙等量异种点电荷有共同的对称轴PP′，由图甲电场线分布图可知，图乙中任一对等量异种点电荷在PP′上产生的电场都竖直向下，故PP′上的合电场也竖直向下，故PP′所在的水平直线为等势线，即φa＝φb，而沿电场线的方向电势降低，则φc>φd，故B正确，D错误。由圆环上电荷左右分布的对称性及图乙模型可知，a、b两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等；由圆环上电荷左右、上下分布的对称性及图乙模型可知，c、d两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等，故A、C正确。故选：ABC。考点二电势差与电场强度的关系1.电势差(1)定义式：UAB＝eq\f(WAB,q)。(2)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。(3)影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。2.等势面(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。(2)特点①等势面一定与电场线垂直。②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。3.几种典型电场的电场线、等势面电场等势面重要描述匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场连线的中垂线上电势处处为零等量同种(正)点电荷的电场两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高4.匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。(2)沿电场强度方向电势降落得最快。(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝eq\f(φA＋φB,2)。推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。5.E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的两点妙用(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。(2)题型一E＝eq\f(U,d)的定性分析(多选)如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN。尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是()A.a是直流高压电源的正极B.电场中P点的场强小于M点的场强C.电场中M点的电势低于N点的电势D.电场中P、M间的电势差UPM大于M、N间的电势差UMNCD带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，P、M间的平均场强大于M、N间的平均场强，根据U＝Ed可得，P、M间的电势差UPM大于M、N间的电势差UMN，选项D正确。故选CD。题型二E＝eq\f(U,d)的定量计算如图所示，a、b、c、d为一矩形的四个顶点，一匀强电场的电场强度方向与该矩形平行。已知a、b、c三点的电势分别为、、。ab的长为6cm，bc的长为8cm。下列说法正确的是()A.该匀强电场的电场强度大小为B.把一带电荷量为0.1C的正点电荷从d点移动到矩形中心处的过程中，电场力做的功为C.矩形abcd上电势最高的点的电势为1VD.矩形abcd上电势最低的点的电势为Aa、c连线的中点的电势为＝，由匀强电场的性质可知b、d连线上各点的电势均为，则E＝，其中tanθ＝，解得E＝，故A正确；把一带电荷量为的正点电荷从d点移动到矩形中心处的过程中，电势不变，电场力做的功为0，故B错误；根据电场线垂直于等势线，且由电势高处指向电势低处，可知矩形上电势最高的点的电势为，最低的点的电势为，故C、D错误。故选：A。(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是()A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行B.若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为eq\f(W1＋W2,2)C.若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为eq\f(W2,qL)D.若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差BD根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝eq\f(φc＋φa,2)，φN＝eq\f(φd＋φb,2)，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝qeq\f(φc＋φa,2)－qeq\f(φd＋φb,2)＝eq\f(qUcd＋qUab,2)＝eq\f(W1＋W2,2)，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是eq\f(W2,qL)，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝eq\f(φc＋φa,2)，φN＝eq\f(φd＋φb,2)，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。故选：BD。1.由匀强电场的电势分布确定电场强度的方法：等分法三等分法匀强电场中同一条直线上的线段两端点间电势差正比于线段长度。三步法确定电场强度：①确定等势线；②画等势线的垂线,确定电场强度方向；③根据定电场强度大小平行结论法匀强电场中若两线段（非等势线线段)平行，则这两线段各自的端点间电势差正比于线段长度。题中出现平行线时可用此方法正交分解法匀强电场中，利用分别求出两垂直方向的电场强度,再求出各电场强度2.等分法确定电场线及电势高低的解题思路：1.(多选)如图所示，实线为电场线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，A、B及B、C间的电势差分别为UAB、UBC。下列关系中正确的有()A.EA＞EB＞EC B.φA＞φB＞φCC.UAB＞UBC D.UAB＝UBCABC电场线的疏密程度表示电场强度大小，电场线越密电场强度越大，故EA>EB>EC，A正确；沿电场线方向电势降低，故φA>φB>φC，B正确；因为U＝Ed，同一直线上距离相同时，电场强度越大，电势降落得越快，由题图可知，A、B间的平均电场强度大于B、C间的平均电场强度，故UAB>UBC，C正确，D错误。故选：ABC。2.如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行。已知AB＝25cm，BC＝20cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1V、26V、10V，则该匀强电场的场强大小为()A.60V/m B.75V/mC.80V/m D.100V/mD依题意，有sin∠A＝＝，＝cos∠A＝15cm，在AB之间找到电势为10V的D点，C、D位于同一等势面上，根据几何关系可知eq\f(UDA,UBA)＝eq\f(10－1,26－1)＝，在三角形ACD中，根据余弦定理，有＝＋－2××cos∠A，解得＝12cm。知,V/m＝100V/m。故选D。3.(2021·海南高考)如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20V。则()A.电场强度的大小E＝200V/mB.b点的电势比d点的低5VC.将电子从c点移到d点，电场力做正功D.电子在a点的电势能大于在c点的电势能AD根据Uab＝E·abcos60°，可得电场强度的大小E＝eq\f(Uab,ab·cos60°)＝eq\f(20,0.2×0.5)V/m＝200V/m，A正确；沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，B错误；将电子从c点移到d点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，C错误；因a点的电势低于c点的电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。故选：AD。考点三电场线、等势面及运动轨迹问题1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。2.(1)电场线为直线；(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行；(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。题型一电场线和运动轨迹问题(2023高考·全国卷甲)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（）A. B.C. D.A电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误；选A。(2023年高考·北京卷)如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO=OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后()A.做匀加速直线运动B.O点所受静电力最大C.由E到O的时间等于由O到F的时间D.由E到F的过程中电势能先增大后减小C带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做简谐运动，在O点所受电场力为零，故AB错误；根据运动的对称性可知，点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，C正确；点电荷由E到F的过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，D错误。故选C。题型二等势面和运动轨迹问题(2023高考·辽宁卷)（多选）图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则()A.P点电势比M点的低B.P点电场强度大小比M点的大C.M点电场强度方向沿z轴正方向D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变CDA.因P点所在的等势面高于M点所在的等势面，可知P点电势比M点的高，选项A错误；B.；C.；D.因x轴上个点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子，则电势能不变，选项D正确。故选CD。求解此类问题的思维流程图：1.(2022·全国乙卷)如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则()A.L和N两点处的电场方向相互垂直B.M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左C.将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功D.将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零AB两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向由N指向O，同理可知，L点的合场强方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直