人教A版高一暑假作业7立体几何初步

人教A版高一暑假作业7：立体几何初步学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.(2023·江苏省无锡市·期中考试)下列判断正确的是(

)A.圆锥的侧面展开图可以是一个圆面

B.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C.一个西瓜切3刀最多可切成8块

D.过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个2.(2023·湖南省·期末考试)如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中AB的长度为(

)A. B.2 C. D.33.(2023·山西省·期末考试)已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(2023·湖南省长沙市·期中考试)灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为(

)

A. B. C. D.5.(2022·湖北省武汉市·期末考试)已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则.(

)A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则6.(2023·浙江省·期末考试)化学中，将构成粒子原子、离子或分子在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点则图中原子连线BF与所成角的余弦值为(

)A. B. C. D.7.(2023·广东省·期中考试)若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为(

)A. B. C. D.8.(2023·云南省·单元测试)已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为(

)A.3 B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共分。在每小题有多项符合题目要求）9.(2023·浙江省·单元测试)已知两条不重合的直线a和b，两个不重合的平面和，则下列说法不正确的为(

)A.若，，则

B.若，，则a，b为异面直线

C.若，，则或

D.若，，，，则10.(2023·浙江省期中考试)如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，其中正确的结论为(

)A.直线AM与是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线

C.直线BN与是异面直线 D.直线MN与AC所成的角为11.(2023·浙江省·期末考试)如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，Q为棱上一动点，过直线AQ的平面分别与棱，交于点P，R，则下列结论正确的是(

)A.对于任意的点Q，都有

B.对于任意的点Q，四边APQR不可能为平行四边形

C.存在点Q，使得为等腰直角三角形

D.存在点Q，使得直线平面APQR

12.(2022·福建省福州市·期末考试)已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是(

)A.动点M轨迹的长度是

B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是

C.直线与BC所成的角为，则的最小值是

D.存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.(2023·云南省·期中考试)已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为__________.14.(2022·广东省·单元测试)如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是__________结果保留根式

15.(2023·安徽省·期中考试)已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①②③④请你根据上面四个论断写出一个正确的命题：_______________________________________________.16.(2023·江苏省·期末考试)如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为__________；几何体的外接球表面积为__________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(2021·河北省·期中考试)本小题10分

如图，已知平面，，且，设梯形ABCD中，，且，，求证：AB，CD，l共点相交于一点

18.(2023·河南省·期末考试)本小题12分某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环实线部分，已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和

（1）求扇环的圆心角的大小;

（2）求圆台的体积.

19.(2022·安徽省淮南市·单元测试)本小题12分如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若点G，F分别是线段EC，BD的中点.求证：平面ABC；在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.20.(2021·山东省日照市·期末考试)本小题12分已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，求三棱锥的体积；已知D为棱上的点，证明：21.(2023·陕西省渭南市·月考试卷)本小题12分

如图，在直三棱柱中，E为的中点，，，求证：；若平面ABE，且，求点A到平面BCE的距离．22.(2023·湖南省·期末考试)本小题12分如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面BCD，，求证：；当AD与平面BCD所成角为时，求二面角的余弦值．1.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查的是命题真假的判断，属于基础题.

可结合平面的性质、圆锥侧面展开图的形状、正三棱锥的定义、球面上大圆的定义分别进行判断.【解答】解：A：圆锥的侧面展开图为扇形，不可以是一个圆面，所以错误；B：底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥，其顶点在底面的射影不一定为底面的中心，所以不一定是正三棱锥，所以错误；

一个西瓜切3刀等价于一个正方体被3个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确；

当两点为球的直径端点时，过两不同点的大圆有无数个，所以错误．

故选2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查直观图和原图形之间的关系，斜二测画法的规则，属于基础题.

由直观图作出原图形，得出原图形中线段长、图形结构，然后计算可得.【解答】解：在已知直观图中，，如图，

在原图形中，，，，

故选：3.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定，属于基础题.

根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：，，

当时，成立，即充分性成立，

当时，不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，

则“”是“”的充分不必要条件.

故选4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查球的性质，球冠的表面积，球的表面积，圆柱的侧面积，属基础题．

由勾股定理求出R，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积．【解答】解：由题意得，得，，

所以两个球冠的表面积之和为，

灯笼中间球面的表面积为

因为上下两个圆柱的侧面积之和为，

所以围成该灯笼所需布料的面积为

故选：5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析能力及空间想象能力，属于基础题．

根据空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识逐一判断即可．【解答】解：对于若，，则n与

相交，或或，故A错误；

对于若，，则或m与相交，或，故B错误；

对于若，，则在内一定存在直线，于是，得，故C正确；

对于若，，则或与相交，故D错误.

故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题．

由，得到即是连线BF与所成的角，在中可得【解答】解：连接，

由题意知是立方体，面，

设立方体的棱长为2，则，

面，

在中，可得

又，

是连线BF与所成的角，

在中，可得

故选7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，属于中档题.

先证出平面，过A点作，证得平面，可知即为直线AD与平面所成角，求其正弦即可．【解答】解：连接，

是的中点，是正三角形，

，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

过A点作，交CD于点G，由平面，得，

由，，，CD、平面，得平面，

于是即为直线AD与平面所成的角，

由已知，不妨设令棱长为2，则，

由等面积法得，

所以，

故选8.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，考查了空间想象能力与计算能力，属于难题.

根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，

故该四面体内接于圆锥的内切球，

设球心为P，球的半径为r，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：

则，，

则，

则为等边三角形，

故P是的中心，

连接BP，则BP平分，

，

所以，即，

即四面体的外接球的半径为，

另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，

而正四面体的四个顶点都在正方体上，

故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以，

，

又，

所以

故选9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查空间直线、平面间的垂直平行关系的性质与判定，属于基础题.

根据有关概念和性质进行逐项判断即可.【解答】解：根据题意a，b为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，

A.若且，a不一定平行b，可能异面，也可能相交，故A错误；

B.若，，则a与b平行，相交，异面，故B错误；

C..若，，则或，故C正确：

D.若，，，，则或相交.

故选10.【答案】CD

【解析】【分析】本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行．

利用两条直线是异面直线的判断方法来验证ABC的正误，利用平移法，判断D，得到结论．【解答】解：直线在平面内，

而平面，平面，

直线AM与直线异面，故A不正确；

直线AM与直线BN异面，故B不正确；

利用A的方法验证直线BN与直线异面，故C正确；

因为，三角形为等边三角形，则可得直线MN与AC所成的角为，故D正确；

故答案选：11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题．

根据面面平行的性质判断AB，使用假设法判断【解答】解：，，

平面平面，平面平面，平面平面，

，故A正确．

四边形ABCD是直角梯形，，平面与平面不平行，

平面平面，平面平面，

与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确．

，要使为等腰直角三角形，则，但根据题意，故C不正确．

延长CD至M，使得，则四边形ABCM是矩形，

当R，Q，M三点共线时，平面APQR，平面APQR，故D正确．

故选：

12.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理的应用，同时考查了线面角、异面直线所成的角及棱锥的体积公式等，考查了转化思想应用及空间想象力，属于较难题．

对于A，取AD、AB的中点E、F，可证明平面，得到动点M轨迹为线段，从而判断A；对于B，可知三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥，从而判断B；对于C，直线与BC所成的角即直线与所成的角，即，解三角形从而判断C；对于D，易知当点M与重合时，直线与平面所成的角最大，从而判断【解答】解：对于A，如图，取AD、AB的中点E、F，连接PD、、EF、、、、，

可得，

则，，又，PD，平面PCD，

可得平面PCD，又平面PCD，

则，同理可证，

因为，EF，平面，

则平面，

因为，则点平面，

又由点平面，可得点，

即动点M轨迹为线段，其长度为，故A正确；

对于B，三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥，

其体积为，故B正确；

对于C，，

直线与BC所成的角即直线与所成的角，即，

平面，为直角三角形，

故，

当时，最小，此时，

故的最小值是，故C正确；

对于D，当点M与重合时，直线与平面所成的角最大，

设直线与平面所成的角为，则，

故，故D错误.

故选：13.【答案】28

【解析】【分析】本题考查棱台的体积，考查计算能力，属于基础题．

直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．【解答】解：设棱台的上底面积，下底面积，高，

则体积

故答案为14.【答案】

【解析】【分析】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．

要求一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求．【解答】解：如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，

在中，，

，

cm，

故答案为15.【答案】若，，，则答案不唯一

【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.

，，，由面面垂直的性质定理得；，，，由面面垂直的判定定理得【解答】解：，，，由面面垂直的性质定理得正确；

，，，由面面垂直的判定定理得正确；

，，，这里m与相交、平行或，故不正确；

，，，这里n与相交、平行或，故不正确．

故答案为：若，，，则答案不唯一16.【答案】【解析】【分析】本题考查了二面角的求法，外接球的表面积，考查了空间想象能力与计算能力，属于较难题.

取DE的中点P，EF的中点Q，AB中点G，则二面角为，再根据几何关系分别计算即可得；

取外接球球心O，设中心为P，中心为Q，根据列式求解可得球半径，进而得到表面积即可.【解答】解：取DE的中点P，EF的中点Q，连接AP，BQ，

故，

根据面面垂直的性质可得平面DEF，平面DEF，故，且，故四边形APQB为矩形.

所以

根据图形的对称性，易得为正三角形，

取AB中点G，因为，，

则，，则二面角为，

且，

作，易得，且，，

故，

即二面角的余弦值为；

设几何体的外接球球心为O，设中心为P，中心为Q，易得共线，如图，设外接球半径，

根据正三角形中的关系，，

因为，则，即，即，故，解得，

故外接球表面积为，

故答案为；17.【答案】证明在梯形ABCD中，，，CD是梯形ABCD的两条腰，，CD必定相交于一点，设又，，，且，又，，即AB，CD，l共点．【解析】本题考查平面的基本性质，属于基础题.

由题意和平面的基本性质，证明AB与CD的公共点为两个平面的公共点即可.

18.【答案】解：由题意知扇环的面积，得

设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为

由，可得，由，得

又圆台的母线长为1，，

圆台的体积为

【解析】本题考查圆心角和圆台体积计算.

19.【答案】证明：连接AE，如图所示，四边形ABED是正方形，点F是BD的中点，是AE的中点，又是EC的中点，

，平面ABC，平面ABC，平面ABC.解：存在，且点P为CD的中点，理由如下.如图，取CD的中点P，连接GP，FP，点F，P分别为BD，CD的中点，

，又平面ABC，平面ABC，

平面ABC，又平面ABC，，FP，平面GFP，

平面平面ABC.【解析】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定，属于较易题．

由题意推导出，由此线面平行的判定定理能证明平面

取CD的中点P，连接GP，FP，可得，线面平行的判定定理可得平面ABC，再由平面ABC，根据面面平行的判定定理即可得到平面平面

20.【答案】解：在直三棱柱中，，

又，，，平面，

平面，

，

平面，又平面，

，

又，故，

，

而侧面为正方形，

，

，即三棱锥的体积为；

证明：如图，取BC中点G，连接EG，，设，

点E是AC的中点，点G时BC的中点，

，

，

、G、、D四点共面，

由可得平面，

平面，又平面，

，

，且这两个角都是锐角，

，

，

，