“科学思维”专练（二） 圆周运动规律的应用

“科学思维”专练（二）圆周运动规律的应用一、选择题1．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为()A．v＝keq\r(Rg)B．v≤eq\r(kRg)C．v≤eq\r(2kRg)D．v≤eq\r(\f(Rg,k))解析：选B水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥meq\f(v2,R)，解得v≤eq\r(kRg)，故B正确。2.如图所示，在高速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随桶一起转动，在保证衣服不滑动的情况下()A．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力不变B．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力减小C．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动D．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做向心运动解析：选C衣服随桶一起转动，所需向心力由桶壁的支持力提供，转速越大，支持力越大，压力也越大，故A、B错误；当水滴的附着力不足以提供向心力时，水滴做离心运动，项C正确，D错误。3.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1m，A的质量为5kg，B的质量为10kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2)()A．1rad/s B.eq\r(2)rad/sC.eq\r(3)rad/s D．3rad/s解析：选B对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤eq\r(2)rad/s，故B正确。4.(2022·江苏盐城检测)飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为()A.eq\f(v2,9g) B.eq\f(v2,8g)C.eq\f(v2,7g) D.eq\f(v2,g)解析：选B当飞机飞到最低点时，由牛顿第二定律得F－mg＝meq\f(v2,R)；由题意得F≤9mg；解得R≥eq\f(v2,8g)，故B正确。5．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L(L＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过(两物体均可看作质点，重力加速度为g)()A.eq\r(\f(μMg－mg,mL)) B.eq\r(\f(μg,L))C.eq\r(\f(μMg＋mg,ML)) D.eq\r(\f(μMg＋mg,mL))解析：选D当轻绳中的拉力FT＝μMg时，圆盘转动的角速度达到最大。此时，对乙物体：FT＋μmg＝mω2L。可解得：ω＝eq\r(\f(μM＋mg,mL))，D正确。6．一质量为2．0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时(如图)，下列判断正确的是()A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B．汽车转弯的速度为20m/s时，所需的向心力为1.4×104NC．汽车转弯的速度为20m/s时，汽车会发生侧滑D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2解析：选D汽车转弯时受到重力、弹力、摩擦力的作用，A错误；汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为F＝meq\f(v2,r)＝1.0×104N＜1.4×104N，汽车不会侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的最大向心加速度为a＝eq\f(Fm,m)＝eq\f(Ffm,m)＝7.0m/s2，D正确。7．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示，则()A．小球的质量为eq\f(aR,b)B．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a解析：选A由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝eq\f(mv2,R)，得v2＝gR＝b，故g＝eq\f(b,R)，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球的弹力大小等于小球的重力，即a＝mg，代入g＝eq\f(b,R)得小球的质量m＝eq\f(aR,b)，A正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律得F＋mg＝eq\f(mv2,R)，得杆的拉力大小F＝mg，即F＝a，D错误。8．(多选)如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则()A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等解析：选BC在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－FN＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝mg－eq\f(mv2,r)；若小球对外壁为压力，则mg＋FN′＝eq\f(mv′2,r)，解得FN′＝eq\f(mv′2,r)－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝eq\f(mv2,r)＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。9.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝eq\r(gR)，则物体将()A．沿球面下滑至M点B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动解析：选D设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝meq\f(v02,R)，把v0＝eq\r(gR)代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。10．如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个小球A、B在圆锥内壁做匀速圆周运动，距离地面高度分别为hA和hB。两小球运动的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，下列结论正确的是()A.eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hA,hB)) B.eq\f(ωA,ωB)＝eq\r(\f(hA,hB))C.eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(hB,hA) D.eq\f(vA,vB)＝eq\f(hB,hA)解析：选A设倒立圆锥面母线与水平方向间夹角为θ，小球做圆周运动时支持力在水平方向的分力提供向心力，可得mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝mω2r。又r＝eq\f(h,tanθ)，可解得v＝eq\r(gh)，ω＝eq\r(\f(gtan2θ,h))。由此可得eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hA,hB))，eq\f(ωA,ωB)＝eq\r(\f(hB,hA))，故A正确。二、非选择题11．如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示)(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω02lsinθ解得ω02＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s。(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案：(1)eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s12．(2022·济南高一检测)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。(g取10m/s2)(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？解析：(1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg＝meq\f(v2,r)，由速度v＝30m/s，解得弯道的最小半径r＝150m。(2)汽车过拱桥