数模培训课件

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021数学建模培训优秀论文精讲2021年优秀论文2021年优秀论文2021年优秀论文2021年优秀论文2005年优秀论文城市表层土壤重金属的污染分析随着城市经济的快速开展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土〔0~10厘米深度〕进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021优秀论文讲解A题附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题问题分析：第一问：尽量详细地描述8种重金属的位置关系，分布情况，包括与坐标、海拔的关系，8种金属的相关性，与5个区域的关系等。该城区内不同区域重金属的污染程度要分别针对每一种重金属评判其污染的等级从而确定其污染程度。污染的等级是个客观的常数，但可用不同方法确定，每种方法得到的结果不尽相同。〔如内梅罗指数污染模型〕2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2021年优秀论文讲解A题第二问：分析污染的原因，首先要弄清楚每个区域污染物的情况，因此应该按照5个区域里的8种重金属的污染排序，然后再分析每个区域里排序的原因。〔模糊综合评判的方法很多，如TOPSIS法〕第三问：该问题是本论文的重心及难点所在。分析污染的方向性，不仅仅只是利用附件的数据进行污染源的“搜索〞，而应当结合现有的污染扩散模型，因为各金属污染是有相互作用的。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题第四问：本问题作为模型的推广，主要是针对第三问所建模型的缺点进行发散性推广，只需建模，不需求解。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有假设干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统〞，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表〔即罐内油位高度与储油量的对应关系〕进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化〔以下称为变位〕，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。〔1〕为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐〔两端平头的椭圆柱体〕，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。〔2〕对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数〔纵向倾斜角度和横向偏转角度〕之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据〔附件2〕，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题命题过程2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题问题分析：2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题优秀论文1储油罐的变位识别与罐容表标定湖南农业大学〔张晨成李亮李吉仙〕

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题本文点评：本文特色通用模型功能强大采用近似计算降低难度本卷须知分析根本功要加强行文逻辑结构要清晰2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训优秀论文2储油罐的变位识别与罐容表标定湖南农业大学〔王志勇雷达万志鸿〕2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题本文点评：本文特色分析、计算功底强模型简单实用行文流畅，逻辑清晰本卷须知模型检验须丰富时间分配要合理2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题竞赛中存在的问题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种效劳。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2021年7月13日至2021年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术〔急症除外〕不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS〔Firstcome,Firstserve〕规那么安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题问题四：假设该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新答复以下问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间〔含等待入院及住院时间〕最短的病床比例分配模型。附录2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题问题分析：第一问：此问主要考核对问题的考虑是否全面、周到，对问题实质的理解是否到位。需要优化的指标可能较多，但本问题中病床非常繁忙，因此主要指标是病床有效利用率和公平度，这两个指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题第二问：本问主要考核能否给出一个相对合理的病床安排模型，主要目标为：提高病床有效利用率以及提高公平度。由于问题的复杂性，很难利用现成的排队论结论来处理，采用仿真方法是一种选择。仿真步骤应清晰交代；通过建立模型的随机仿真比仅用给定样本仿真要好。就提高病床有效利用率而言，病人术后住院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前等待时间上作文章。经对问题的分析可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为提高效率的必然选择。需要制定一种对白内障病人的“可入院日〞加以一定限制的方案，并与FCFS(先来先效劳)方案进行比较。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题第三问：此问要给出一个满足一定置信度的预约住院时间区间，并且区间长度越短越好。这里介绍一种方法——自适应区间方法：根据当前系统内〔含住院及等待〕人数，利用该类病人每日出院人数的统计平均值，计算得到当前病人预计住院时间，然后再通过统计数据得到置信度为95%的置信区间，并通过仿真方法检验其效果，该方法对当前排队人数有一定的自适应功能。

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题第四问：

与问题二的分析类似，仍采用“入院限制方案〞，但简单沿用第二问方法进行仿真的结果将不理想，主要原因是对视网膜与青光眼病人而言，会造成病床使用效率降低，需改进手术时间安排。例如采取“二四方案〞，即周二、周四为白内障病人手术时间，病床使用效率会有所提高。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题第五问：可以考虑建立以床位数分配为决策变量的排队论优化模型。但由于效劳时间不严格服从负指数分布，建立和求解这类模型较为复杂。亦可通过模拟计算得到结论。对于其他直观或者简化的处理方法，应考虑模型是否合理、能否得到适当的结论。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题优秀论文

眼科病床的优先级调度模型问题分析:问题一是要建立一个评价指标体系，以评价各种安排住院的规那么。医院住院排队问题是一个排队论问题，因此拟借鉴排队论中的评价指标。如病人的平均等待时间、平均排队长度等。并拟用一种方法将几个评价指标建立成一个评价体系。问题二的建模目的是建立一个模型，以安排第二天的病床安排模型。这可以看作是一个规划问题或者调度问题。由于规划问题的约束条件难于确定，准备用采用一些先进的调度算法。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题问题三可以看作问题二的递推。由当前住院病人的情况推出住院病人的出院时间，估计这个病人的排队顺序，即这个病人前面有多少人在排队，然后估计一个大致的时间。问题四，显然当住院部周六、周日不安排手术时对于问题二的模型就必须作出调整。因为周六、周日不安排手术但是可以安排住院，而这会使得医院更加繁忙。将试图通过调整白内障的手术时间为周二、周四或周三、周五来改善医院的病床安排。问题五，这个优化问题的目标是使所有病人在系统内的平均逗留时间最短，要作的决策是病床的分配方案，即将一定的病床数分别按照多少比例分配给各类病人。问题的关键在于求平均逗留时间。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题问题一：加权TOPSIS模型TOPSIS法(Techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution)是一种逼近于理想的排序方法，比较科学且能综合评价的方法。该方法只要求各效用函数具有单调递增〔或递减〕性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。其根本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，假设评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，那么为最好；否那么为最差。其中最优解的各指标值都到达各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都到达各评价指标的最差值。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题A题数码相机定位数码相机定位在交通监管〔电子警察〕等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体外表某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题标定的一种做法是：在一块平板上画假设干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点〞。实际的做法是在物平面上画假设干个圆〔称为靶标〕，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。图1靶标上圆的像2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点〔对应为A、C、D、E〕为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图3靶标的像图2靶标示意图2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题请你们：建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距〔即焦点到像平面的距离〕是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786；设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题优秀论文数码相机定位湖南农业大学〔杨阳，成星，成小龙〕模型假设题中所给图像能真实反映数码相机标定结果假设数码相机不存在光学系统的加工误差和装配等误差，即不考虑畸变。分别表示图像坐标系方向上相邻两像素间的距离，这里我们设2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2.问题分析数码相机模型是对真实数码相机的几何抽象，其成像过程是对空间点的射影变换，而数码相机参数那么决定了变换的具体映射方式，只要知道了这些参数和空间点的坐标就能够计算出相应的像点坐标。标定是双目立体视觉研究的重要组成局部，标定结果的好坏直接影响了测量的精度。这是由于数码相机成像的几何模型决定了空间物体外表某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的关系。而这些几何模型参数就是数码相机参数，必须由实验与计算来确定，这个实验与计算的过程称数码相机标定。它主要是确定摄像机内外参数的过程。其图像拍摄实际上是一个光学成像过程。可以将此过程分为三个步骤、建立四个坐标系。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2.1四种坐标系的建立〔1〕世界坐标系由于数码相机和物体可以安放在环境中的任何位置，因此还需要在环境中选择一个基准坐标系来描述数码相机的位置，并用它来描述环境中任何物体的位置，这个坐标系就是世界坐标系。这是一个假定的坐标系，用作对实物一般参考，根据实际情况确定。〔2〕像平面物理坐标系坐标原点在CCD图像平面的中心，X轴、Y轴分别平行于图像平面两条垂直边，坐标以表示。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔3〕像素坐标系在像平面上定义直角坐标系，原点在图像平面的左上角，每一像素的坐标分别是该像素在数组中的列像素数和行像素数。〔4〕光心坐标系光心坐标系是固定在数码相机透镜上的直角坐标系，其原点定义在相机的光心，X轴、Y轴分别平行于图像坐标系的X轴、Y轴、Z轴与光轴重合，坐标以表示。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题2.2数码相机光学成像三步骤

3个步骤分别将世界坐标系中的信息转换到光心坐标系，再由光心坐标系转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系。坐标之间转换的特性有：(1)刚性的，(2)仿射的，(3)投影的，(4)弹性的。不考虑坐标轴尺度缩放时，如果仅存在坐标轴的平移和旋转，图像的坐标变换是刚性变换，这时直线的平行性和垂直性在映射后保持不变。数码相机坐标系图像坐标系像素坐标系刚性变换针孔模型刚性变换世界坐标系2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔1〕世界坐标系到光心坐标系的转换

(1)其中：是光心坐标系中空间一点p的坐标，是对应世界坐标系中点p的坐标。R为世界坐标系相对于光心坐标系的旋转矩阵，T为平移向量。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔2〕光心坐标系到图像坐标系的转换光学成像的理论模型是针孔模型。根据这个模型由光心坐标系向图像坐标系转换过程符合中心影射或透视投影。该转换关系可用齐次坐标与矩阵表示(2)

其中：f是拍摄相机的焦距，是对应图像坐标系中点p的坐标。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔3〕图像坐标系与像素坐标系的转换

(3)其中：是图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标，分别是像素坐标系在X方向和Y方向相邻像素间的距离。将(1)式，(2)式代入(3)式并化简得：(4)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题可将(4)式化简成

(5)(4)式右边第1项为相机的内部参数矩阵，(4)式右边第2项为相机的外部参数矩阵，为投影矩阵。(5)式即为数码相机的三步成像几何模型。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题3.问题原理3.1问题1原理：〔1〕在靶标示意图中取n个点〔主要考虑特殊点，如5个圆的圆心〕得到其世界坐标〔2〕在像平面上找到上述n个点的像素坐标。〔3〕由问题分析中的数码相机的标定一节所介绍的原理求解出旋转矩阵R和平移向量T。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题3.2问题2原理利用问题1中所建立的模型，将靶标示意图中的几个特殊点的世界坐标分别带入(3)式，可以分别得到它们在像坐标系下的像素坐标。3.3问题3原理：为了检验所建模型的精度，将问题1中的6个点的世界坐标分别利用(3)式模拟得到它们在像坐标系下的像素坐标。再与它们的真实像素坐标进行比照，计算得到模拟值与真实值的误差。为了检验所建模型的稳定性，在靶标示意图中另取6个点，将其世界坐标利用(3)式得到其对应的6个像素坐标，再与它们的真实像素坐标进行比照，计算得到模拟值与真实值的误差。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题3.4问题4原理：假设双目立体视觉系统中左右照相机的外部参数分别为与，表示左相机与世界坐标系的相对位置，表示右相机与世界坐标系的相对位置。那么两个相机之间的几何关系表示如下：其中，，可有上述模型来确定。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题4建立模型由第2节中针孔模型下的成像系统的坐标变换过程，不需事先测定相机的焦距f，只需测定相邻像素点的距离，文献[6]和[11]分别给出了考虑相机非线性畸变和无畸变的情况下的相邻像素点距离的求解方法。本文采取文献[11]的方法。利用数码相机采集图像信息及原物点的世界坐标信息，再根据逆向投影的方法来求解投影矩阵M从而得到旋转矩阵R和平移向量T。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题4.1图像信息的采集标定的一种做法是：在物平面上画假设干个圆〔称为靶标〕，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，可视为椭圆，如图1所示。为得到靶标点的对应像图点的像素坐标，由仿射变换直线不变形原理，利用MATLAB程序将像图图形信息转化为0-1矩阵，可求出所有两两椭圆切线上的切点像素坐标，利用这些切点像素坐标及对应的世界坐标作为训练数据建立模型。图1靶标上圆的像2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题4.2相机外部参数矩阵确实定见?数码相机定位方法分析及仿真研究?3.2

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题

5.模型求解表1实验初始参数

设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点〔对应为A、C、D、E〕为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。设两两圆相切的13个切点世界坐标为，对应的像素坐标为。像素1/3.781/3.781024

7685123842023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题图2靶标示意图图3靶标的像2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题如图4，以圆A的圆心为坐标原点，以圆A、D圆心连线方向为Y轴，以圆A、C圆心连线绕Y轴逆时针方向旋转45°为X轴，以左手规那么建立Z轴。选取图2中的点1--点6作为训练数据点建模。图4靶标世界坐标系2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题

采用第3节中所介绍的方法将上述6个点的世界坐标代入模型，得到实验焦距、投影矩阵、旋转矩阵及平移矩阵分别为：

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题因此模型可表示为：

(6)其中：

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题6.模型的检验本文采用两种检验方法：精确性判定和稳定性判定

6.1模型精确度的判定

把靶标示意图6个点的世界坐标系代入(6)式，分别模拟出其对应的像平面像素坐标

。如表2和图5所示：

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题训练参数123456021.213270.7107070.71078.48530001001000027.213276.7107076.710714.4853320416634287586364230236250465470192319.9781416.4969633.9830284.0209585.9234363.5968230.0010235.4127250.0434464.9990470.0683192.4765绝对误差方向0.02190.49690.01700.02090.07660.4032方向0.00100.58730.04340.00100.06830.4765相对误差方向-0.00010.0012-0.00010.0001-0.0001-0.0011方向0.0001-0.00250.0002-0.00010.00010.0025表2靶标的世界坐标、像素坐标和模拟像素坐标及误差(I)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题图56个靶标像点的真实值与模拟值(I)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题

可计算得到上述6个点的模拟坐标与真实坐标之间的误差平方和，如表3所示。

表3模拟值与真实值的误差平方和由图5和表3可以看出运用上述模型得到的模拟值与真实值相当接近，绝对误差控制在1个像素单位以内，相对误差控制在0.01%以内，说明模型具有相当高的精确度。U方向误差平方和V方向误差平方和总误差平方和绝对误差0.06940.09640.0829相对误差4.4694e-0072.0670e-0061.2570e-0062023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题6.2模型稳定性的判定本文选用两种方法检验模型的稳定性：方法①模型的可扩充性分析

为了检验上述模型的稳定性，选取图2中的点7--点12作为检验数据点，将这6个点的世界坐标带入(6)式，分别模拟得到其像素坐标，如表4及图6所示：2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题检验参数789101112X8.485362.225462.225479.196079.19600Y1211.58.491288100Z14.485368.225468.225485.196085.19600U316603548675614273V501210500217504536U’314.2890605.8499544.2968677.5947612.6809273.3766V’499.2428210.6616502.5065216.0474503.4768534.5640绝对误差U方向1.71102.84991.29682.59471.31910.3766V方向1.75720.66162.50650.95260.52321.4360相对误差U方向-0.00540.00470.00240.0038-0.00210.0014V方向-0.0035-0.0032-0.0050-0.0044-0.0010-0.0027表4靶标的世界坐标、图像像素坐标和模拟坐标及误差(II)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题图66个靶标点及其像点的真实值与模拟值(II)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题表5模拟值与真实值的误差平方和(II)U方向误差平方和V方向误差平方和总误差平方和绝对误差3.55752.17522.8664相对误差1.3109e-0051.2481e-0051.2795e-005

由图7和表4可以得到：6个检验点利用上述模型得到模拟坐标与真实坐标绝对误差在3个像素之内，其相对误差均小于0.01%。说明由上述方法建立的模型对非训练数据也具有较高的精度，因此该模型具有将强的稳定性。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题方法②对计算方法的灵敏性分析将原6个训练数据替换掉1个，将点5〔70.7107,0,76.7107〕，用点13〔70.7107,112,76.7107〕替换，其余5点不变，建立模型得到新的投影矩阵如下：比较矩阵，计算得到两矩阵元素的相对总误差平方和为0.0432，可以认为建立该模型的计算方法具有较好的稳定性。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题7.模型的评价与改进本文提出了在用数码相机采集图像时，系统标定可将其内部参数矩阵和外部参数矩阵分别进行处理。同一相机在取定焦距和像素大小后，内部参数是一定的，使用中仅需要求解外部参数矩阵。这样不仅充分利用了数码相机的些参数，而且减少了误差环节，为实际操作提供了方便。介绍了确定内部参数矩阵的实验方法和对应的计算方法，以及对应情况下求解外部参数矩阵的方法。实验不仅说明了这种方案的可行性，且具有相当高的标定精度。但是由于本文没有考虑镜头畸变，还存在一定的误差。由于摄像机还存在光学系统的加工误差和装配误差，使得实际成像与理想的针孔成像之间存在光学畸变误差。主要的畸变误差分为三类：径向畸变、偏心畸变和薄棱镜畸变。第一类只产生径向位置的偏差，后两类那么既产生径向偏差，又产生切向偏差。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔1〕径向变形(径向畸变)光学镜头径向曲率的变化是引起径向变形的主要原因。这种变形会引起图像点沿径向移动，离中心点越远，其变形量越大。正的径向变形量会引起点向远离图像中心的方向移动，其比例系数增大；负的径向变形量会引起点向靠近图像中心的方向移动，其比例系数减小。见以下图3，数学模型如下：(7)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题baa桶形畸变b枕形畸变2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔2〕偏心变形由于装配误差，组成光学系统的多个光学镜头的光轴不可能完全共线，从而引起偏心变形，这种变形是由径向变形分量和切向变形分量共同构成，其数学模型为：

(8)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题〔3〕薄棱镜变形薄棱镜变形是指由光学镜头制造误差和成像敏感阵列制造误差引起的图像变形，这种变形是由径向变形分量和切向变形分量共同构成，其数学模型为：(9)

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题

图像平面理想图像点坐标与实际图像点坐标与畸变误差之和，即：

(10)

考虑畸变的成像模型

(11)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解A题本文点评：本文特色模型评价体系丰富模型新颖，有创新性本卷须知如何审查题意如何合理分配人员2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题B题高等教育学费标准的综合评价高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几局部组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题学费问题涉及每一个大学生及其家庭，是一个敏感复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力缺乏而无法保证质量。请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的根底和重要组成局部。论文要求必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题优秀论文：高等教育学费标准的综合评价四川理工学院(高亮、付世水、默子兴)问题的理解本文需要根据我国根本国情，综合考虑，收集必要数据，从政府、受教育者个人和社会各方面对现有高等教育学费是否合理进行定量的分析，做出合理且有说服力的评价。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题2.重要影响工程的理解高等教育本钱培养质量教育收益率：社会收益率和个人收益率教育本钱分担原那么：受益原那么、能力原那么学费家庭承受能力教育公平性2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题3.模型假设收集的各种数据真实可靠，所得数据可以反映教育学费相关情况；近5年人民币汇率和银行利率变动对学费等本文相关指标无显著影响；忽略突发性事件对高校造成的损失〔如地震等〕；假设家庭个人对教育的弹性需求为线性；假设高校学费不受招生人数的影响；注：上述假设是模型建立中的全局假设，在后面的模型建立中可能会引入局部性假设。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题模型的建立4.1建模思路我国的教育开展目标和实际国情要求进行高等教育本钱分担，基于教育本钱分担原那么，高等教育学费标准的评价要从家庭个人〔即受教育者〕、学校、社会三个层面进行分析。本文引入一综合评价指标，直接对数据进行分析，建立一个针对高等教育学费的综合评价体系。评价体系从个人、学校和社会三个方面整体考虑，完成对其合理性的评价分析。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题4.2模型建立

基于对高等教育学费标准问题的分析，结合我国实际国情，本文建立了高等教育学费标准的多属性综合评价体系，采用自定义的高等教育综合效益评价指标CSHE(CompositiveStandardofHigherEducation)来定量的衡量学费的标准的合理性及其优劣。教育综合效益评价指标CSHE衡量我国高等教育学费标准的合理性，其指标值越大，代表其合理性越高，反之亦然。被评价对象：我国具有普通高等本科教育资格的学校。具体评价指标：家庭个人认可合理性指标

、学校认可合理性指标

和社会教育公平认可合理性指标。

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题(1)家庭认可合理性指标的建立该指标又可分为家庭支付能力认可合理性指标和个人教育投资收益指标a.家庭支付能力指标

此指标可表达家庭对于学费的承受能力，本文延用恩格尔系数(Engel‘sCoefficient)来表示居民家庭富裕度的思想，用非教育花费与家庭可支配资金的比例来表示其家庭可支付能力。即：(1)其中表示学费，表示家庭可支配资金。假设学费越少，家庭可支配资金越大，家庭可支付能力指标就越大，即此高等教育学费标准对于家庭方面越合理。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题b.个人教育投资收益指标

此指标用来描述个人在教育上面的投资和收益情况，本文用接受高等教育后年收入的增量与高等教育学费和因接受高等教育而不能工作的年损失费用之和的比例表示个人收益率，即：(2)

其中，表示因接受高等教育导致的年收入的增量，表示大学生毕业后年平均工资，表示因接受高等教育而不能工作的损失费用，即高中毕业后年平均工资。如果增量越大，学费越小，个人教育投资收益指标越高，即此高等教育学费标准对于家庭方面越合理。

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题(2)家庭认可合理性指标的建立培养质量是高等教育的核心指标，因此我们用高等教育的培养质量来衡量高校方面的指标，而其质量又要有相应的经费保障，从而经费的多少就可以用来表示高等教学的培养质量上下，故本文用来表示学校认可合理性指标即(3)其中表示国家生均拨款，表示学校自筹款，表示社会捐赠，表示根本生均培养费用。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题生均培养费用的计算，本文采用了陈雄在?学费收取标准的计算公式?中提出的一个学费收费标准的计算公式：即：(4)其中表示人员经费，表示公用经费，表示固定资产折旧费，表示学生数。如果收支比越大，即值越大，那么高等教育的培养质量越高，此高等教育学费标准对于学校的合理性越高。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题(3)教育公平性指标的建立高昂的学费，可能会使一局部成绩好的学生因没钱上学而失去接受高等教育的时机，产生教育不公平性，从而影响到社会的公正公平性。而教育公平性的最大表达是具有最强学习能力的人能进入高校接受高等教育，因此教育公平性指标可以采用接受高等教育的人数中在最前名占用总人数的比例来衡量。即：(5)其中为在接受高等教育的人中学习能力最强的前名的人数，为所有接受高等教育的人数。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题其中是高校学费的函数，当高校学费不断增加，超过局部家庭的承受能力时，就会随之减少，简单的说，学费与成一次线性关系，建立学费与的函数关系。即：(6)如果高校学费越低，那么可以本应接受且能接受高等教育的人就越多，教育公平度越高，此高等教育学费标准的合理性越高。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题综合评价体系结构图

高等教育综合效益指标家庭合理性指标学校合理性指标教育公平性家庭支付能力教育投资收益培养质量收支比例教育公平度2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题因此，高等教育综合效益指标模型为

(7)其中

(8)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题4.3模型改进〔1〕在上述模型的根底上，考虑到由于学校类别的差异，使得国家在生均拨款及学校的根本生均培养费以及学费上有所不同。并且不同类别的学校，其知名度、社会认可度不同，进而导致学校的自筹款项和社会捐赠的差异，因此我们不能只是简单的用同一个常数来定义学费、生均拨款、培养费用以及社会捐助和自筹款，它们都应是学校的函数。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题〔2〕在上述模型的评判体系中，教育投资的收益率被较为简单的定义为接受高等教育所得增量与教育花费的比值，现在，本文引入美国经济学家汉森所定义的教育收益比值法，即：(9)

其中E为个人教育收益现值,Bt为第t年教育收益,Ct为受教育期间第t年个人教育本钱,i为主观利率,n为受教育者毕业后的终生工作年限,m为受教育年限。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题改进的高等教育学费标准综合评价体系ICSHE〔ImprovedCompositiveStandardofHigherEducation〕更为合理，更为准确。该评价体系最终解出的值将表示出当前高等教育学费标准的合理性程度，值越高，其合理性越大。(10)2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题5模型的求解由于学校的不同，可能导致学费，生均拨款，培养费用等指标的较大差异，故本文结合实际情况将我国的大学分为中央属高等学校和地方属高等学校进行分类讨论。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题5.1家庭认可合理性指标的求解通过对全国东南，东北，华北，华南，西北，西南六大地区的中央属高校及地方属高等院校分类，分别随机选取了16所高校的学费作为样本，在各大高校的官方网站上找到了相应学校的一般专业与艺术等专业的学费标准〔见表1〕。计算得到2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题

在计算全国居民可支配资金时考虑到城乡比例不均衡，故通过中国统计年鉴查的了城乡比例，利用居民平均可支配资金(平均可支配资金=城镇居民克可支配资金×城镇人百分比+农村居民可支配收入×农村人口百分比)来表示全国居民家庭可支配收入，根据下表计算得到居民家庭可支配资金平均值元。因此，家庭支付能力指标值为：

通过结果可以看出地方属普通高校的指标值更高，所以单从家庭承受能力方面来看地方高校的收费更为合理。

2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题通过查阅?中国城镇住户调查?，获得了中央属高校以及地方属高校本科学历收入情况〔如表3〕所示，而后利用教育收益比值法计算得到个人教育投资收益指标。

在结果中，中央属重点院校的收益率明显高于地方属高校的收益率，即单从收益率方面来说，中央属高校的学费标准更为合理。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题权值系数表示了各评价指标对于评价目标的重要性，结合我国国情和家庭对高等教育的认知，以及我国高校助学体系的日趋完善，家庭支付能力的压力有所缓解，故教育的收益率占的权重将会比较大，故取，，。

在结果中，中央属重点高校的总的家庭合理度要高于地方属普通高校的家庭合理度，即就家庭方面总的来说中央属重点高校的学费标准比地方属普通高校的学费标准更合理。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题5.2学校认可合理性指标的求解通过在网上搜索查阅了?中国物价?中“教育主管部门经过审核各高校财务决算表〞，获得了培养费用，学校自筹款，社会捐赠等相关数据〔见表4〕。各学校生均本钱估计值的均值为：学校自筹款均值以及学校社会捐赠均值为：2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题对于生均拨款采用教育部直属高校2006年根本情况统计资料汇编及各学校网站的相关数据计算，利用〔生均拨款=教育部各校拨款/在校生人数〕求的生均拨款的平均值：因此：结果说明中央属重点高校的学费标准较地方属普通高校更合理。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题5.3教育公平性指标的求解通过查阅中国统计年鉴2007得到2006年高校录取总人数

社会方面学费T录取总人数(万人)认可合理性指标中央属高校4782546.10.7373地方属高校4081546.10.77582023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题系数k确实定我们引入了Brinkman定义的学生价格反响系数，同时结合我国农村人口平均收入仅为3000余元，甚至不能满足一年学费的现实情况，制定出系数。以反响出我国教育弹性需求较大的特点。因此：教育公平度指标为：2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题5.4改进的高等教育学费标准综合评价指数的计算由于权系数对于不同评判者的不确定性，本文将三个权系数的代表值下的综合指标值分别列出，以满足不同的需求。家庭合理性权值学校合理性权值教育公平性指标权值中央属综合指标地方属综合指标00.20.80.27610.243800.40.60.4380.353800.60.40.59990.463800.80.20.76180.57380.200.80.15330.159320.20.20.60.31520.269322023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题中央属综合指标地方属综合指标0.20.40.40.47710.379320.20.60.20.6390.489320.20.800.80090.599320.400.60.19240.184840.40.20.40.35430.294840.40.40.20.51620.404840.40.600.67810.514840.600.40.23150.210360.60.20.20.39340.320360.60.400.55530.430360.80.200.43250.345880.800.20.27060.235882023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题6结果分析7模型的评价与推广本文运用自定义的高等教育学费标准综合评价模型，从三个方面较为全面的分析了高等教育学费标准的合理性，得到了准确合理的结论，本模型不仅可用于评判几种学费标准的合理性，还可以将生均拨款，培养费用作为变量，同时讨论生均拨款以及培养费用的合理性，此外，本模型还可以进一步修改为优化模型，最终求得"最正确学费"，总之，本模型有极强的可推广性，适合大多是的评判问题。2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2021年优秀论文讲解B题本文点评：本文特色题意理解深刻，所用指标合理数学模型简单本卷须知如何合理安排时间如何合理分配人员如何书写报告返回2023/11/3湖南农业大学数学建模暑期培训2005年优秀论文讲解A题长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。〞长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国开展研究院联合组成“保护长江万里行〞考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，