2023-2024学年福建省南安市南安一中高二数学第一学期期末检测试题含解析

2023-2024学年福建省南安市南安一中高二数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知且，则的值为（）A.3 B.4C.5 D.62．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（）A. B.C. D.3．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．圆的圆心为（）A. B.C. D.5．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.6．数列满足，，，则数列的前8项和为（）A.25 B.26C.27 D.287．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. B.C. D.8．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）A.1 B.2C.3 D.49．若，则（）A.22 B.19C.－20 D.－1910．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1511．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为A. B.C. D.12．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______14．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________15．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.16．若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值18．（12分）平行六面体，（1）若，，，，，，求长；（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值19．（12分）设p：；q：关于x的方程无实根.（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若是假命题，且是真命题，求实数k的取值范围.20．（12分）已知直线，，分别求实数的值，使得：（1）；（2）；（3）与相交.21．（12分）如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.22．（10分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解【详解】由已知，解得故选：C2、C【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解【详解】由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.故选：C3、C【解析】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；【详解】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，，，，连线与所成角的余弦值为故选：C.4、D【解析】由圆的标准方程求解.【详解】圆的圆心为，故选：D5、A【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设双曲线的方程为，则，可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.第II卷6、C【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.故选：C7、B【解析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为，故选：B.8、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.④，若为空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在不全为零的，使得，故，因为为空间的一个基底，，故，矛盾，故不共面，所以构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是个.故选：B9、C【解析】将所求进行变形可得，根据二项式定理展开式，即可求得答案.【详解】由题意得所以.故选：C10、D【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.【详解】设该等差数列为，其公差为，由题意知，，由，解得，所以.故选：D11、D【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.故答案为D.【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.12、A【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.【详解】如图，不妨设点在第一象限，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，设点，由，得，因为四边形的面积为，所以，得，由，得，解得，所以，即点，代入椭圆方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：14、【解析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：15、【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.16、【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）（II）【解析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案解：（I）以，，x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角18、（1）；（2）.【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.【小问1详解】，，，，∴，；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.19、（1）；（2）.【解析】（1）根据命题的真假，结合一元二次方程无实根，列出的不等式，即可求得结果；（2）求得命题为真对应的的范围，结合命题一个为真命题一个为假命题，即可列出的不等式组，求解即可.【小问1详解】若q为真命题，则，解得，即实数k的取值范围为.【小问2详解】若p为真，，解得，由是假命题，且是真命题，得：p、q两命题一真一假，当p真q假时，或，得，当p假q真时，，此时无解.综上的取值范围为.20、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根据直线一般式平行的条件列式计算；（2）根据直线一般式垂直的条件列式计算；（3）根据相交和平行的关系可得答案.【小问1详解】，，解得或又时，直线，，两直线不重合；时，直线，，两直线不重合；故或；【小问2详解】，，解得或；【小问3详解】与相交故由（1）得且.21、（1）点为MC的中点，理由见解析；（2）【解析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点为MC的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.【小问1详解】点为MC的中点，理由如下：因为平面，平面，所以，，又，由三线合一得：点为MC的中点【小问2详解】取AB的中点H，连接P