ou-iang型非线性积分不等式

ou-iang型非线性积分不等式

1基本定理b,2.gronwall-beck-bihari序列在讨论微分方程解的稳定性、边界性和接近性方面发挥着重要作用。因此，关于这种差分等的研究很多，文献给出了一个新的等高，文献给出了一系列关于ou等高的分类，并给出了以下定义a的条件。定理A设Φ∈C(R+,R+)(这里的C(R+,R+)记所有R+上实值、非负连续函数)是严格递增的,Φ(∞)=∞;Ψ∈C(R+,R+)是递增的;且u,F∈C(R+,R+).若对常数C≥0及t∈R+,有Φ[u(t)]≤C+∫t0F(s)Ψ[u(s)]ds,(1)则不等式u(t)≤Φ-1≤{G-1[G(c)+∫t0F(s)ds]}(2)对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证G(C)+∫t0F(s)ds∈Dom(G[-1]),其中G(Ζ)=∫Ζ[Ζ0]dsΨ[Φ-1(s)],Ζ≥Ζ0>0.在本文中,我们将在这一方面作进一步研究,企图获得更具广泛性的Ou-Iang型非线性积分不等式,所得结果进一步推广和改进了文献中的结果.为此,我们先引述下面的定理B.定理B设(1)x∈C(R+,R+)(这里的C(R+,R+)记所有R+上实值、非负连续函数);(2)f,g∈C(R+,R+),且对固定的s,f(t,s),g(t,s)关于t单调非减;(3)Ω∈C(R+,R+)为单调非减的,且是次可乘的函数,若对常数C≥0及t∈R+,有x(t)≤C+∫t0f(t,s)x(s)ds+∫t0g(t,s)Ω(x(s))ds,(3)则不等式x(t)≤exp(∫t0f(t,s)ds)G-1(G(C)+∫t0g(t,s)exp(-∫s0f(t,ζ)dζ)⋅Ω(exp∫s0f(t,ζ)dζ)ds),(4)对一切t∈[0,T]成立,这样的T能保证G(C)+∫t0g(s,t)exp(-∫s0f(t,ζ)dζ)⋅Ω(exp∫s0f(t,ζ)dζ)ds∈Dom(G-1),(5)其中G(u)=∫u[u0]dsΩ(s),u≥u0>0.2tt,的音值定理1设(1)u∈C(R+,R+);(2)H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t单调非减;(3)Φ∈C(R+,R+)为严格递增的,Φ(∞)=∞;Ψ∈C(R+,R+)为递增的,Ψ(Φ-1)∈C(R+,R+)是严格递增的,且Ψ(Φ-1)是次可乘的.若对常数C≥0及t∈R+有Φ(u(t))≤C+∫t0Η(t,s)Φ(u(s))ds+∫t0F(t,s)Ψ(u(s))ds,(6)则不等式u(t)≤Φ-1{exp(∫t0Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t0F(t,s)exp(-∫s0Η(t,ζ)dζ)Ψ(Φ-1(exp∫s0Η(t,ζ)dζ))ds]}(7)对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证G(C)+∫t0F(t,s)exp(-∫s0Η(t,ζ)dζ)Ω(exp∫s0f(t,ζ)dζ)ds∈Dom(G-1),(8)其中G(Ζ)=∫Ζ[Ζ0]dsΨ(Φ-1(s)),Ζ≥Ζ0>0.(9)证明由已知条件,(6)式可改写为Φ(u(t))≤C+∫t0Η(t,s)Φ(u(s))ds+∫t0F(t,s)Ψ(Φ-1Φ(u(s)))ds,(10)再根据已知条件及定理B并考虑Ω=Ψ(Φ-1)从(10)式立得Φ(u(t))≤exp(∫t0Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t0F(t,s)exp(-∫s0f(t,ζ)dζ)Ψ(Φ-1(exp∫s0Η(t,ζ)dζ))ds],注意到Φ的严格单调性,就可得不等式(7)对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证(8)式成立,其中G(Ζ)=∫ΖΖ0dsΩ(s)=∫Ζ[Ζ0]dsΨ(Φ-1(s)),Ζ≥Ζ0>0.定理1有一些重要推论,假若在定理1中令Φ(u)=up立即可得下面的推论1.推论1设p>0,Ψ∈C(R+,R+)递增且是次可乘的,u∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t单调非减.若对C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫t0Η(t,s)up(s)ds+∫t0F(t,s)Ψ(u(s))ds,则不等式u(t)≤{[exp(∫0tΗ(t,s)ds)G-1[G(C)+∫0tF(t,s)exp(-∫0sΗ(t,ζ)dζ)⋅Ψ(exp(1p∫0sΗ(t,ζ)dζ))ds]}1p对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证G(C)+∫0tF(t,s)exp(-∫0sΗ(t,ζ)dζ)Ψ(exp(1p∫0sΗ(t,ζ)dζ))ds∈Dom(G-1),其中G(Ζ)=∫[Ζ0]ΖdsΨ(s1p),Ζ≥Ζ0>0.注推论1也有2个重要特例:(1)当令p=2,H(t,s)=H(s),推论1就变为文献中的定理1.(2)当令p=2,H(t,s)=2f(t),F(t,s)=2h(t),Ψ(u)=u时,从推论1就能得到如下的结果.设u,f,h∈C(R+,R+),若对C≥0及t∈R+有u2(t)≤C2+2∫0t(f(s)u2(s)+h(s)u(s))ds,则对t∈R+成立不等式u(t)≤exp(∫0tf(s)ds)[C+∫0th(s)exp(-∫0sf(ζ)dζ)ds].(11)显然这个结果比Pachpatte在文献所给出的定理1(a1)的类似结果要精确,因为在不等式(11)中第二个积分下多了一个小于1的正因子exp(-∫0sf(ζ)dζ).另外,Dafermos在文献中为建立热力学第二定律与稳定性的联系时也曾给出一个积分不等式,那个不等式也是本附注结果的特殊情况.如果我们在定理1中令H(t,s)=0,就能得到下面的推论2.推论2假定Φ,Ψ,u和F如定理1所设,若对C≥0及t∈R+有Φ(u(t))≤C+∫0tF(t,s)Ψ(u(s))ds,则不等式u(t)≤Φ-1{G-1[G(C)+Ψ(Φ-1(1))∫0tF(t,s)ds]}对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证G(C)+Ψ(Φ-1(1))∫0tF(t,s)ds∈Dom(G-1),其中G如(9)式所定义.进一步在定理1中令Φ(u)=up,Ψ(u)=uq(p>0,q>0)就可以得到下面的推论3.推论3设p>0,q>0(p≥q),u∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t非减,若对C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫0tΗ(t,s)up(s)ds+∫0tF(t,s)uq(s)ds,则1)当p>q时,对t∈R+成立不等式u(t)≤exp(1p∫0tΗ(t,s)ds)[Cp-qp+p-qp∫0tF(t,s)exp(q-pp∫0sΗ(t,ζ)dζ)ds]1p-q.(12)2)当p=q,对t∈R+成立不等式u(t)≤C1pexp(1p∫0t(Η(t,s)+F(t,s))ds).(13)事实上,1)当p>q时,Φ-1(u)=u1p,Ψ(Φ-1(u))=uqp为次可乘的,易见G(Ζ)=∫1Ζdssqp=pp-q(Ζp-qp-1),从而G-1(Ζ)=(p-qpΖ+1)pp-q据此从(7)式可立得(12)式.2)当p=q时,Φ-1(u)=u1p,Ψ(Φ-1(u))=u为次可乘的,于是G(Ζ)=∫1Ζdss=lnΖ,从而G-1(Z)=eZ,据此,从(7)式可立得(13)式.注1推论3推广了许多重要的不等式,譬如,当令H(t,s)=0,F(t,s)=f(t),推论3变成文献中定理2;又如令H(t)=0,p=2,F(t,s)=2f(s),q=1,推论3就变成Ou-Iang不等式.接下来,我们进一步考虑将定理1中的常数C换成函数K(t),从而给出了下面的定理2.定理2设(1)u,K∈C(R+,R+),且K(t)是单调非减的;(2)H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t为单调非减的;(3)Φ∈C(R+,R+)为严格递增的,Ψ∈C(R+,R+)为递增的,Ψ(Φ-1)∈C(R+,R+)是严格递增的,且Ψ(Φ-1)是次可乘的,若对常数C≥0及t∈R+有Φ(u(t))≤Κ(t)+∫0tΗ(t,s)Φ(u(s))ds+∫0tF(t,s)Ψ(u(s))ds,(14)则不等式u(t)≤Φ-1{Κ(t)exp(∫0tΗ(t,s)ds)⋅G-1[G(1)+Ψ(Φ-1(Κ(t)))Κ(t)×∫0tF(t,s)exp(-∫0sΗ(t,ζ)dζ)⋅Ψ(Φ-1(exp∫0sΗ(t,ζ)dζ))ds]}(15)对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证G(1)+Ψ(Φ-1(Κ(t)))Κ(t)∫0tF(t,s)exp(-∫0sΗ(t,ζ)dζ)⋅Ψ(Φ-1(exp∫0sΗ(t,ζ)dζ))ds∈Dom(G-1),(16)其中G如(9)式所定义.证明当t=0时,结论显然成立.今任取σ∈R+,由定理条件及(14)式,对t∈[0,σ],有Φ(u(t))≤Κ(σ)+∫0tΗ(t,s)Φ(u(s))ds+∫0tF(t,s)Ψ(u(s))ds,用K(σ)>0除上式两边,并将Ψ(u(s))改写成Ψ(Φ-1(Φ(u(s)))),就得到Φ(u(t))Κ(σ)≤1+∫0tΗ(t,s)Φ(u(s))Κ(σ)ds+∫0tF(t,s)Ψ(Φ-1(Φ(u(s))))Κ(σ)ds.(17)又因Ψ(Φ-1)为次可乘的,当设Ω:=Ψ(Φ-1),对于γ=α·β(α,β>0),就成立Ω(γ)=Ω(α⋅β)≤Ω(α)Ω(β)=Ω(β)Ω(γβ),即对γ,β>0,成立Ω(γ)β≤Ω(β)β⋅Ω(γβ),(18)利用不等式(18),就有Ψ(Φ-1(Φ(u(s))))Κ(σ)≤Ψ(Φ-1[Κ(σ)])Κ(σ)⋅Ψ(Φ-1(Φ(u(s))Κ(σ))).将此代入(17)式,就有Φ[u(t)]Κ(σ)≤1+∫0tΗ(t,s)(Φ(u(s))Κ(σ))ds+∫0tF(t,s)Ψ(Φ-1(Κ(σ)))Κ(σ)Ψ(Φ-1(Φ[u(s)]Κ(σ)))ds,(19)根据定理B,从(19)式可以推出Φ(u(t))Κ(σ)≤exp(∫0tΗ(t,s)ds)G-1{[G(1)+∫0tF(t,s)Ψ(Φ-1(Κ(σ)))Κ(σ)exp(-∫0sΗ(t,ζ)dζ)×Ψ[Φ-1(exp∫0sΗ(t,ζ)dζ)]ds},(20)对一切t∈[0,σ)成立,考虑到σ∈R+的任意性,由(20)式知不等式(15)对一切t∈[0,T]成立,这样的T保证(16)式成立,其中G如(9)式所定义.3预测pt、tt、t1t、t1t—应用例考察非线性滞后型微分差分方程ddtΡ(x(t))=aΡ(x(t))+bΡ(x(t-γ))+CΩ(x(t-γ))+f(t)(21)解的有界性,其中a,b,c和γ为常数,γ>0,P在R+上连续,严格递增,Ω在R+上连续递增,Ω(P-1)在R+上是次可乘的,f在R+上非负连续,另外,设x(t)∈C(R+,R+)是方程(21)满足初始条件x(t)=Φ(t),t∈[-γ,0]的解,其中Φ(t)是[-γ,0]上已知连续函数,记|Φ|=sup-γ≤θ≤0|Φ(θ)|,显然对t∈R+有p(x(t))=p(x(0))+∫0tap(x(s))+bp(x(s-γ))+cΩ(x(t-γ))+f(s)ds,因此|p(x(t))|≤|p(|Φ|)|+∫0t|a||p(x(s))|ds+∫0t|f(s)|ds+∫-γt|b||p(x(s))|ds+∫-γt|c||Ω(x(s))|ds,(22)因为∫-γ0|b||p(x(s))|ds≤|b||p(|Φ|)|⋅γ,∫-γ0|c||Ω(x(s))|ds≤|c||Ω(|Φ|)|⋅γ,所以(22)式又可写成|p(x(t))|≤[(1+γ|b|)⋅|p(|Φ|)|+γ|c|Ω(|Φ|)+∫0tf(s)ds]+∫0t(|a|+|b|)|p(x(s))|ds+∫0t|c||Ω(x(s))|ds.(23)根据定理2,从(23)式可以得到估计|x(t)|≤p-1{Κ(t)exp(At)G-