第4章数字图像变换与图像运算

课堂讨论24位真彩色图像的按页面显示的问题2023/10/2512023/10/252第4章图像变换与图像运算－本章重点：傅立叶变换图像运算

－主要内容

傅立叶变换点运算局域运算代数运算几何运算2023/10/253预备知识公式中表示形式—以后用到

欧拉公式—以后用到

2023/10/2544.1图像变换变换的目的：为了有效地和快速地对图像进行处理和分析,常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间,并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工,最后再转换回图像空间以得到所需的效果.主要为了简化处理。要求：（1）变换必须是可逆的。它保证了图像函数变换完了可以再变换回来。（2）变换要能简化图像处理。（3）变换算法要简单。分类：可分离变换（傅里叶变换及其他可分离变换）统计变换（霍特林变换）2023/10/255背景傅立叶指出:任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式,每个正弦和/或余弦乘以不同的系数(现在称这个和为傅立叶级数).无论函数有多么复杂,只要它是周期的,并且满足某些软的数学条件,都可以用这样的和来表示.甚至非周期的函数(但是这些领域是在曲线是有限的情况下)也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示.在这种情况下的公式就是傅立叶变换,它的应用在大多数实际应用中比傅立叶级数更广泛.用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅立叶反过程来重建,不丢失任何信息.这是这些表示法的最重要的特征之一,因为它可以使我们工作于“频率域”,而且在转换回函数的原始域时不丢失任何信息.这里仅处理有限域内的函数(图像),所以傅立叶变换是我们感兴趣的工具.2023/10/256傅里叶变换在最下面的函数是上面4个函数的和

.在1807年,傅立叶的思想—周期函数可以表示为加权的正弦与余弦和的形式—遭到了怀疑.2023/10/257傅里叶变换1.一维傅里叶变换设f(x)为实变量x的连续可积函数，则f(x)的傅里叶变换F(u)为：同样，给定F(u)通过傅里叶反变换，可以得到f(x):f(x)和F(u)称为傅里叶变换对2023/10/258傅里叶变换2.二维傅里叶变换若二维函数f(x,y)是连续可积的函数，则傅里叶变换对为：2023/10/259傅里叶变换3.离散傅里叶变换（DFT------IDFT)1-D离散傅里叶变换：假设用取一个间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列。即对1个连续函数f(x)等间隔采样可得到1个离散序列.设共采了N个样,则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),f(2),…f(N-1)}.

2023/10/2510傅里叶变换(公式4－１):令x为离散实变量,u为离散频率变量,可将离散傅里叶变换对定义为:2023/10/2511傅里叶逆变换(公式4－２):

可以证明离散傅里叶变换对总是存在的在变换前的1/N乘数有时被放置在反变换前.有时两个等式都乘以2023/10/2512傅里叶变换傅里叶变换前的变量域（x）称为时域或空域,变换后的变量域(u)称为频域或变换域。从公式4－２中看出，F(u)是复函数。F(u)可表示为：其中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。2023/10/2513傅里叶变换

F(u)也可表示为指数形式：其中：幅度函数｜F(u)｜也称为f(x)的傅里叶频率谱或幅度，ф（u)称为相位角或相位谱．在研究图像增强时,主要关心频率谱的性质.2023/10/2514傅里叶变换频谱的平方称为f(x)的功率谱，也称为能量(或谱密度)，记为P(u):F(u)为复函数，它有５个部分：实部：R(u)虚部：I(u)振幅（幅度函数、傅里叶频谱）：｜F(u)｜能量（功率谱）：P(u)相位角：ф（u)2023/10/2515频率变量傅里叶变换中出现的变量u通常称为频率变量．这个名称的来历是：把傅里叶变换中出现的指数项借助欧拉公式可写为：

u的每一个值确定了它所对应的正弦－余弦对的频率．一个恰当的比喻是将傅立叶变换比做一个玻璃棱镜.棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器,每个成分的颜色由波长或频率决定.傅立叶变换可看做“数学的棱镜”,将函数基于频率分成不同的成分.2023/10/25162-D傅里叶变换以正方形网格采样得到的图像的２-Ｄ傅里叶变换．将傅里叶１-Ｄ变换推广（公式4-3）：2023/10/25172-D傅里叶变换

2D傅里叶逆变换（公式4-4）：注意：乘数部分与一维的区别2023/10/25182-D傅里叶变换2-D傅里叶变换F(u,v)的５个部分：实部：R(u,v)虚部：I(u,v)频谱：|F(u,v)|相位角：ф（u,v)功率谱：P(u,v)2023/10/25192-D傅里叶变换的性质（1）分离性:一个2-D傅里叶变换可由连续2次运用1-D傅里叶变换来实现;2023/10/25202-D傅里叶变换的性质（2）平移性质:将函数f(x,y)与一个指数相乘(如（-1）x+y)就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置.将函数F(u,v)与一个指数相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置.对f(x,y)的平移不影响傅里叶变换的幅值.2023/10/25212-D傅里叶变换的性质（3）周期性和共扼对称性周期性:F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)周期性表明，尽管F(u,v)对无穷多个u,v的值重复出现，但只须根据在任一个周期里的Ｎ个值就可以从F(u,v)得到f(x,y)。即只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全决定。同样的结论对f(x,y)在空域也成立。共扼对称性:F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|其中:F*(u,v)为F(u,v)的复共扼2023/10/25222-D傅里叶变换的性质（4）旋转性质:对f(x,y)旋转a角对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转a角.类似的,对F(u,v)旋转a角也对应于将其傅里叶变换反变换f(x,y)旋转a角.2023/10/25232-D傅里叶变换的性质（5）分配率:对加法满足,对乘法不满足.F{f1(x,y)+f2(x,y)}=F{f1(x,y)}+F{f2(x,y)}（6）尺度变换给定2个标量a,b,有:af(x,y)aF(u,v)f(ax,by),1/|ab|F(u/a,v/b)2023/10/25242-D傅里叶变换的性质（7）平均值可以证明:2023/10/25252-D傅里叶变换的性质（8）卷积2个函数的卷积定义为:可以证明它们的离散卷积定义为:

2023/10/25262-D傅里叶变换的性质（9）相关2个函数的相关定义为:

2023/10/25274.快速傅里叶变换（FFT）从傅里叶变换的公式中可以看出，离散傅里叶变换需要的计算量太大，运算时间长，在某种程度上限制了它的使用。考虑1D的情况，按照公式4-1，计算一个长度为N的一维离散傅里叶变换，对u的每一个值需要做N次复数乘法和（N-1）复数加法。对N个u，则需要N2次复数乘法和N*（N-1）≈N2次复数加法。很显然，当N很大时，计算量是相当可观的。即复数的乘法和加法都正比于Ｎ２。2023/10/2528快速傅里叶变换快速傅里叶变换是在计算上进行了改进。可以注意到变换中的指数部分（如下式）可只计算１次，然后存在１个表中以备查用，所以正确地分解变换的公式（4－１），可将复数乘法和加法的次数减少为正比于NLog2N。这个分解过程称为快速傅里叶变换（ＦＦＴ）算法。2023/10/2529快速傅里叶变换快速傅里叶变换算法与原始变换算法的计算量之比是Ｎ／log2N，当Ｎ比较大时，计算量的节省是相当可观的。2023/10/2530傅里叶变换fft2二维的快速傅里叶变换；abs(B)求傅里叶的频谱。2023/10/2531傅里叶变换

>>subplot(2,2,1),imshow(A,[1,10])>>subplot(2,2,2),imshow(absB,[1,30])>>subplot(2,2,3),imshow(absB1,[1,30])%FFTSHIFTShiftzero-frequencycomponenttocenterofspectrum.Forvectors,FFTSHIFT(X)swapstheleftandrighthalvesof

X.Formatrices,FFTSHIFT(X)swapsthefirstandthirdquadrantsandthesecondandfourthquadrants.

2023/10/2532傅里叶反变换A=1234523456345674567856789>>B=fft2(double(A))B=1.0e+002*1.2500-0.1250+0.1720i-0.1250+0.0406i-0.1250-0.0406i-0.1250-0.1720i-0.1250+0.1720i0000-0.1250+0.0406i0000-0.1250-0.0406i0000-0.1250-0.1720i0000>>iB=ifft2(B)iB=1234523456345674567856789显然A=iB2023/10/2533傅里叶变换A=1234515467209431308309831>>B=fft2(A)B=92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i>>B1=fftshift(B)B1=-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i>>B2=abs(B1)B2=9.692915.150210.533619.562320.85470.562314.10844.12836.934015.442510.643422.906792.000022.906710.643415.44256.93404.128314.10840.562320.854719.562310.533615.15029.69292023/10/2534傅里叶变换A=1234515467209431308309831>>BB=92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i>>A1=ifft2(B)A1=1.00002.00003.00004.00005.00001.00005.00004.00006.00007.00002.000009.00004.00003.00001.00003.00000.00008.00003.000009.00008.00003.00001.00002023/10/25355.可分离变换先考虑１Ｄ情况。１Ｄ离散可分离变换可用通用关系式表示：其中T(u)为f(x)的变换，g(x,u)称为正向变换核。2023/10/2536可分离变换同理，反变换可表示为：其中，h(x,u)称为反变换核。2023/10/2537可分离变换考虑２Ｄ情况。正变换可表示为：g(x,y,u,v)称为正向变换核2023/10/2538可分离变换反变换可表示为：其中，h(x,y,u,v)称为反变换核。2023/10/2539可分离变换变换核函数g(),h()只依赖于x,y,u,v，而与f(x,y)或T(u,v)的值无关，可看作上面２式进行级数展开的基本函数。下面的讨论对正变换核和反向变换核都适用，只以正向变换核为例进行讨论。如果下式成立：

g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v)则称正向变换核是可分离的。2023/10/2540可分离变换进一步如果g1()与g2()的函数形式一样，则称正向变换核是对称的。即：

g(x,y,u,v)=g1(x,u)g1(y,v)傅里叶变换是可分离变换中的一个特例。例如傅里叶变换的正向变换核g(x,y,u,v)是可分离的和对称的。因为:2023/10/2541可分离变换所以具有可分离变换核的２Ｄ变换可分成２个步骤计算，每个步骤用１个１Ｄ变换。首先沿f(x,y)的每１行进行１Ｄ变换可得到：然后沿T(x,v)的每１列进行１Ｄ变换可得到：2023/10/2542可分离变换当g(x,y,u,v)是可分离和对称的，正向变换的公式可写成矩阵的形式：

T=AFA其中F是Ｎ＊Ｎ图像矩阵，Ａ是Ｎ＊Ｎ对称变换矩阵，其元素aij=g1(i,j),T是输出的Ｎ＊Ｎ变换结果。为了得到反变换，对上式两边分别前后各乘１个反变换矩阵Ｂ：BTB=BAFAB如果B=A-1,则

F=BTB这表明图像F可完全由其变换恢复。2023/10/2543可分离变换如果Ｂ不等于Ａ-1,则可得到Ｆ的一个近似：

F’=BAFAB利用矩阵形式的一个优点是，所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，这样可减少冗余并减少操作次数。2023/10/2544自学离散余弦变换K-L变换频域的基本性质观察傅立叶变换的公式,每个F(u,v)项包含了被指数项修正的f(x,y)的所有值.因此,除了特殊情况,一般不可能建立图像特定分量和其变换之间的直接联系.然而,一般文献通常会有关于傅立叶变换频率分量和图像空间特征之间联系的阐述.例如,既然频率与变化率直接相关,直观上要将傅立叶变换的频率与图像中的强度变化模式联系起来并不困难.2023/10/2545频域的基本性质变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级.当从变换的原点移开时,低频对应着图像的慢变化的分量,例如一幅房间的图像,墙和地板可能对应平滑的灰度分量,当进一步移开原点时,较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级.这些是物体的边缘和由灰度级的突发改变(如噪声)标志的图像成分.这为频域图像增强方法提供了理论基础.2023/10/2546频域的基本性质图(a)中两个特征:大约成正负45度的强边缘和两个白色氧化突起.图(b)中傅立叶谱显示了沿正负45度的强边缘部分的对应部分.沿垂直轴有垂直成分,这是两个白色氧化突起的边缘形成的.2023/10/25472023/10/25484.2图像运算主要内容:点运算局域运算代数运算几何运算2023/10/25494.2.1点运算点运算(Pointoperation)简单、重要改变图像的灰度范围图像显示的工具点运算对比度增强/拉伸灰度变换2023/10/2550基本概念点运算将输入图像映射到输出图像输出图像每个像素点的灰度值仅由对应的输入像素点的值决定

局部运算(Localoperation)输出图像每个像素点的灰度值由对应的输入像素点及其周围的若干点的值决定

2023/10/2551基本概念点运算灰度到灰度的操作输入图像：A(x,y);输出图像：B(x,y)点运算可表示为：位置未变，仅仅是该位置的灰度值发生了改变。点运算可完全由灰度变换函数f()

确定。2023/10/25524.2.2局域运算局域运算每个输出图像像素灰度值由其在输入图像中对应像素及邻近像素（称之为邻域）的灰度值按不同的系数或权重综合计算而得每个输出像元计算公式相同。2023/10/2553

局域运算局域处理模板计算公式中输入像素灰度值的系数单独排列出来成为一个小的矩阵，称为模板，也称为滤波核或算子。2023/10/2554

局域运算2023/10/2555

局域运算的用途图像平滑使图像景物边缘模糊化或平滑化（图像增强）图像锐化使图像景物边缘清晰化（图像增强）边缘检测突出或求出图像景物边缘（图像分割）2023/10/2556

图像平滑(smoothing)在图像噪声模型未知时，使图像景物边缘模糊化和抑制噪声的一种常规处理称为图像平滑。反之，使图像景物边缘清晰化的处理称为图像锐化。2023/10/25574.2.3代数运算1

基本概念

2代数运算的用途

3代数运算与直方图

4代数运算的应用2023/10/2558基本概念代数运算定义两幅图像进行点对点的加、减、乘、除计算而得到输出图像的运算四种代数运算的数学表达式2023/10/2559图像相加图像相加对同一场景的多幅图像求平均以降低加性噪声。将一幅图像的内容叠加到另一幅图像上去，以达到二次曝光的效果。2023/10/2560图像相加MATLAB实例:I=imread(‘Girl.bmp’);J=imread(’Lena256.bmp’);K=imadd(I,J,’uint16’);Imshow(K,[]);2023/10/2561图像相加给图像的每一个像素加上一个常数可以使图像的整体亮度增加.例如:MATLAB实例:I=imread(‘rice.tif’);J=imadd(I,50);subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);若出现溢出现象MATLAB自动处理2023/10/25622023/10/2563图像相减图像相减去除一幅图像中所不需要的加性图案，如缓慢变化的背景，周期性的噪声。检测同一场景的两幅图像的变化。如运动检测2023/10/2564图像相减MATLAB实例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=imread(‘Girl.bmp’);Iq=imsubtract(I,J);Imshow(Iq);若出现溢出现象MATLAB自动处理2023/10/2565图像相乘与相除图像相乘纠正数字化器对一幅图像各点的敏感程度不同带来的畸变。用一幅掩模图像（maskimage）乘某一图像可遮掩住该图像中的某些部分。图像相除除运算可产生对颜色和多光谱图像分析十分重要的比率图像。2023/10/2566图像相乘MATLAB实例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=immultiply(I,0.5);Subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);效果:图像变暗?若出现溢出现象MATLAB自动处理2023/10/2567图像相除MATLAB实例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=imdivide(I,0.5);Subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);效果:图像变亮?若出现溢出现象MATLAB自动处理2023/10/2568代数运算的应用均值降噪(求均值)图像的减运算乘法运算与除法运算2023/10/2569

均值降噪某静止场景的多幅图像，常被加性随机噪声污染。对多幅图像求均值，则可去除噪声。求均值的过程中，由于图像静止部分不改变，而随机噪声的累加很慢而被去除。被随机噪声所污染的静止景物的N幅图像求平均值，可使信噪比增加倍。2023/10/2570

减法运算减去背景运动检测梯度幅度2023/10/2571

减法运算：减去背景2023/10/2572

减法运算：运动（目标）检测2023/10/2573

减法运算：运动（目标）检测静止背景目标图像差分图像及其二值化2023/10/2574

减法运算：运动（目标）检测2023/10/2575

减法运算：运动（目标）检测2023/10/2576

减法运算：梯度幅度减法运算也可用于得到图像梯度函数。物体边缘：梯度值大。找到梯度值大的地方就找到了物体边缘。2023/10/2577肌肉纤维梯度图像2023/10/25784.2.4几何运算1

基本概念

2灰度级插值

3空间变换

4几何变换的应用2023/10/2579基本概念几何运算