第10章三角变换10 3几个恒等式

1sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin1cosαsinβ＝2[sin(α＋β)－sin1cosαcos ＋β)＋cos＝2[cossinαsin

＋β)－cos＝－2[cossinα＋sin

； sinα－sin

； cosα＋cos cosα－cos α

α

sin 1－cos1－1－cos1＋coscos ＝cos②若给出α的具体范围(即某一区间 提示：cos sin ＝2α∈R1－cos1＋cos＝1－cos1＋cos＝2

. 1＋1＋cos2

2

2＝2sin

都不成立 答案：(1)×(2)× ．2sin(α＋β)＋2cos ．2cos(α＋β)＋2sin ．2sin(α＋β)＋2sin ．2cos(α＋β)＋2cos

＝2cos(α＋β)＋2sin 3 3

3 解析：y＝sin＋3sin ＝－2cos＋6＋2cos －2cos＋6＋2× 3max＝2＋＝4 3答案： 化简求值：(1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°；(2)cos10°cos30°cos50°cos【解】(1)sin20°cos70°＋sin10°sin ＝2－2sin50°－4＋2cos40°＝4－2cos40°＋2cos2cos10°cos50°cos(2)cos10°cos2cos10°cos50°cos＝

＝60°＋cos＝8cos70°＋4cos40°cos＝ 38cos70°＋8(cos110°＋cos＝

3 38cos70°＋8cos

解：cosαcosβ＝2[cosα＋β)＋cos sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos cosA＋cos（120°＋B）＋cos(1)sinB＋sin（120°＋A）－sin（120°－A）

sinA＋2sin3A＋sin5A.sin3A＋2sin5A＋sin7AcosA＋2cos120°cos【解】(1)原式＝sinB＋2cos120°sin

cosA－cos ＝sinB－sinA

2

（sin3A＋sin7A）＋2sin2sin3Acos2A＋2sin＝2sin5Acos2A＋2sin2sin3A（cos2A＋1）sinsin sin2sin5A（coscosα－cos(1)sinα＋sinβ

2

cos2x＋cos cos1＋cos ）cosα－cos

2

sinα＋sin

sin

2

＝

β— 2

cos2x＋cos

2cos（x＋y）cos（x－y）2 21＋cos 2cos 探究点 半角公式的应

α－β＝ 【解】因为α为钝角，β为锐角，sin sin ＝－ 所以cos cos＝－ cosα－β)＝cosαcosβ＋sinαsin 因为2＜α＜π 2 ＝65coscos

sin

＝sin 1－cos

1＋cos ，cos 已知cos π<θ<π，求tan 解：因为cos sin

2

2＝5θ

1－cos

55

tan2＝sinθ＝26＝5 f(x)＝cosπ＋x)cos2π－x3cosx＋ 31＋cos3【解】f(x)＝(－cosx)·(－sinx)－ 33＝2sin cos

π(π

↓↓

1＋cos－61－cos 函数y＝sin 2 D．2 α是第二象限角，tan

5

B．B5

2<cos

α<cos， ，α因为tan 3

＝－α若sin

1－cos

sin tanβ2sinα

2 23sin 3

，tan2＝ 1＋cos ＝＝ 2 2从而cos(α＋β)＝－1－sin ＝－9 4 2 2 2 1010． 1010 解析：A．因为α∈2，π，所以sinα≥0.由半角公式可得sin＝10 1

α＋βcos ＝ 2＝

＝，

π，

cos 1所以cos 2 2所以cos 7故选 4.

α1

2 tanα＝－2，2C．

7

解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα＝7.又 ＝ 3π，则sin ＝＝－5 ＜ ， ， ＜， ，5 5所以sin ＝52答案： 1＋cos－α ＝25已知sinα＋sin cosα＋cos 解析：由sinα＋sin cosα＋cos

2 则2tan tan α＋ ＝

2 1－tan2 cos2－α－tan·（1＋cos

1－cos

＝解：tan＝

sinα 1＋cos2所以(1＋cosα)tanα＝sin2 1－cos －sinα－sinα＝－2sin 22sin2cos所以原式

2sin2

sin 所以 π.所以sin > 所以原式＝－22cos

A＋B＋C＝180°，求证：sinA＋sinB＋sin

2cos2cos ＋sin 所以sinA＋sinB＋sin A＋B ＋2 ＝2 · ×2cos2cos2＝2sin2－2×2cos2·cos2＝4cos2cos2cos sin5θ＋sin3θ＝2sin4θcoscos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin1sin3θ－sin＝－2cos4θcossin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos5θcos3θ两式相加不能得出右边结论， 3232

32y是第四象限角，cosy＝ sin

由半角公式得tan 1＋cos tan(α＋β)＝3tantan(α＋β)＝2tan3tan(α＋β)＝tan3tan(α＋β)＝2tan所以tan（α＋β）＝sin（α＋β）costan（α－β）cos（α＋β）sin12（sin2α＋sin2β）3sin ＝sin2β＝3，tanα＋β)＝3tanα－β)，故选A．2（sin2α－sin2β） π3 f(α)＝10，cos4＝－13，且4<α44<β4sin 1－cos ＋2sin ＝2cosx＋2sinx＝sin π 若2f－4>2，则 sinx>2，sin 22 22