整式的乘法（第二课时单项式乘以多项式）

八年级数学上分层优化堂堂清十四章整式的乘法与因式分解第二课时单项式乘以多项式（解析版）学习目标：1.探索并掌握单项式乘以多项式的法则.2.灵活运用单项式乘以多项式的法则进行运算.重点：单项式与多项式乘法法的应用.难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定.老师对你说：知识点1单项式乘以多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．知识点2单项式乘多项式的应用根据题目的需要利用单项式乘以多项式的法则进行运算，从而解决问题.基础提升教材核心知识点精练知识点1单项式乘以多项式【例11】计算2x(3x2+1),正确的结果是()A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x【答案】C【详解】试题分析：原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．解：原式=6x3+2x，故选C．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【例12】化简：.【答案】【分析】按照整式之间的混合运算法则及顺序进行计算即可.【详解】==【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关概念是解题关键.【例13】先化简，后求值（1），其中．（2），其中，，．【答案】（1）；8；（2）；1【分析】（1）（2）原式利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可．【详解】.解：（1）解：将代入上式，得原式（2）解：将，代入上式，得原式【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【例14】阅读：已知x2y=3，求2xy(x5y23x3y4x)的值.分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入.解：2xy(x5y23x3y4x)=2x6y36x4y28x2y=2(x2y)36(x2y)28x2y=2×336×328×3=24.你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！(1)已知ab=3，求(2a3b23a2b+4a)·(2b)的值；(2)已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2018的值．【答案】(1)78；(2)2019.【分析】(1)将待求式展开化为−4(ab)3+6(ab)2−8ab形式，将ab=3整体代入所化简的式子求值即可；(2)所求式子第二项拆项后，前两项提取a，将已知等式变形为a2＋a=1代入计算即可求出值.【详解】解：(1)(2a3b23a2b+4a)·(2b)=4a3b3+6a2b28ab=4(ab)3+6(ab)28ab将ab=3代入上式，得−4×33+6×32−8×3=78所以(2a3b23a2b+4a)·(2b)=−78(2)∵a2＋a=1，∴a3＋2a2＋2018=a3＋a2＋a2＋2018=a(a2＋a)＋a2＋2018=a＋a2＋2018=1＋2018=2019.【点睛】本题考查了单项式乘多项式，将所求式子进行适当的变形和整体代入是解题关键.知识点2单项式乘多项式的应用【例21】如图，阴影部分的面积是()A．xy B．xy C．4xy D．2xy【答案】A【详解】方法1：可把图形分割成如图1所示的两部分，则面积可表示为2y(2xxxy＝3xyxyxy＝xy.方法2：把图形补成如图2所示的形状，则阴影部分的面积为2x·2yx·(2y－y)]＝xy.故选A.【例22】一块长方形硬纸片，长为(5a2＋4b2)m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为a3m的小正方形然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．【答案】21a6＋24a4b2(m2)【分析】先求得原长方形纸片的面积及减去小正方形的面积，再利用原长方形纸片的面积减去4个剪去小正方形的面积列出算式，计算即可求解【详解】解：纸片的面积是(5a2＋4b2)·6a4＝30a6＋24a4b2(m2)，小正方形的面积是(a3)2＝a6(m2)，则无盖盒子的表面积是30a6＋24a4b2－4×a6＝21a6＋24a4b2(m2)答：这个无盖盒子的表面积为（21a6＋24a4b2）m2【点睛】本题考查了整式的运算的应用，根据题意求得长方形纸片及减去正方形的面积是解决问题的关键.【例23】将大小不同的两个正方形按图1，图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是20，图2中阴影部分的面积是14，则大正方形的边长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意列方程组，即可得到结论．【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意可得：12ab+12b（a﹣b）＝20，解得：a＝7．故选：B．【例24】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：÷（−12y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式3xy﹣y2+12【分析】根据题意可得捂住的部分为（﹣6x+2y﹣1）•（−12【解答】解：（﹣6x+2y﹣1）•（−12＝﹣6x•（−12y）+2y•（−12y＝3xy﹣y2+12故答案为：3xy﹣y2+12能力提升训练当|a＋b－1|＋(a－b－3)2＝0时，化简求值：3a2(a3b2－2a)+4a(－a2b)2.解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－1＝0，,a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))原式＝3a5b2－6a34a5b2=a5b2－6a3，当a＝2，b＝－1时，原式＝25×12－6×23=3248=－802.已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017【分析】先对已知条件进行变形和因式分解，得到ab+ac+bc＝0，然后再将2016看成是2017﹣1，即看成a2（b+c）﹣1代入即可求解．【解析】∵a2（b+c）＝b2（a+c），∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0，∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0，即：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，∵a，b，c互不相等，∴ab+ac+bc＝0，∴c2（a+b）﹣2016＝c2（a+b）﹣[a2（b+c）﹣1]＝ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1＝ac（c﹣a）+b（a+c）（c﹣a）+1＝（c﹣a）（ac+ab+bc）+1＝（c﹣a）×0+1＝0+1＝1．故选：B．3.已知关于x的多项式a（x+1）2﹣b（x+1）+c﹣7的化简结果为2x2+5x，则a+b+c＝．【分析】将多项式化简，根据化简结果即可求得a，b，c的值，再代入所求式子即可求解．【解析】a（x+1）2﹣b（x+1）+c﹣7＝ax2+2ax+a﹣bx﹣b+c﹣7＝ax2+（2a﹣b）x+a﹣b+c﹣7，∵a（x+1）2﹣b（x+1）+c﹣7的化简结果为2x2+5x，∴a＝2，2a﹣b＝5，a﹣b+c﹣7＝0，∴a＝2，b＝﹣1，c＝4，∴a+b+c＝5，故答案为：5．4.小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有A、B、C三种地砖可供选择，请问需要A砖块，B砖块，C砖块．【分析】计算出破损部分的面积，再根据A、B、C砖的面积进行选择即可．【解析】A砖的面积为a2，B砖的面积为ab，C砖的面积为b2，∵（4a+b）•2b＝8ab+2b2，∴需要B砖8块，C砖2块，拼图如图所示：故答案为：0，8，2．堂堂清一、选择题（每小题4分，共32分）1．计算：（－2a2)·(3ab25ab3)结果是（）A．6a3b2+10a3b3 B．6a3b2+10a2b3C．6a3b2+10a3b3 D．6a3b210a3b3【答案】C【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】（－2a2)·(3ab25ab3)=（－2a2)·3ab2+（－2a2)·(5ab3)=6a3b2+10a3b3,故选C．【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．2．计算(―xy)3·(7xy2―9x2y)正确的是（）A．―7x2y5+9x3y4 B．7x2y5―9x3y4C．―7x4y5+9x5y4 D．7x4y5+9x5y4【答案】C【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】(―xy)3·(7xy2―9x2y)=（xy3）（xy3）=（xy3）·7xy2+（xy3）·(―9x2y)=―7x4y5+9x5y4，故选C．【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．3．计算（3x）·（2x25x1）的结果是（）A．6x215x23x B．6x3+15x2+3xC．6x3+15x2 D．6x3+15x21【答案】B【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】（3x）·（2x25x1）=（3x）·2x2+（3x）·(5x)+（3x）·(1)=6x3+15x2+3x，故选B．【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．4．要使（﹣6x3）（x2+ax﹣3）的展开式中不含x4项，则a＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．【解析】原式＝﹣6x5﹣6ax4+18x3，由展开式不含x4项，得到a＝0，故选：B．5．在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】．即“□”=．故答案为：B．

【分析】利用单项式乘多项式的计算方法求出，再利用待定系数法可求出答案。6．已知正方形ABCD边长为x，长方形EFGH的一边长为2，另一边的长为x，则正方形ABCD与长方形EFGH的面积之和等于（）A．边长为x+1的正方形的面积 B．一边长为2，另一边的长为x+1的长方形面积 C．一边长为x，另一边的长为x+1的长方形面积 D．一边长为x，另一边的长为x+2的长方形面积【分析】根据题意列出关系式，化简后判断即可．【解析】根据题意得：正方形ABCD与长方形EFGH面积之和为x2+2x＝x（x+2），则正方形ABCD与长方形EFGH的面积之和等于一边长为x，另一边的长为x+2的长方形面积，故选：D．7．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017【分析】先对已知条件进行变形和因式分解，得到ab+ac+bc＝0，然后再将2016看成是2017﹣1，即看成a2（b+c）﹣1代入即可求解．【解析】∵a2（b+c）＝b2（a+c），∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0，∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0，即：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，∵a，b，c互不相等，∴ab+ac+bc＝0，∴c2（a+b）﹣2016＝c2（a+b）﹣[a2（b+c）﹣1]＝ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1＝ac（c﹣a）+b（a+c）（c﹣a）+1＝（c﹣a）（ac+ab+bc）+1＝（c﹣a）×0+1＝0+1＝1．故选：B．三个连续奇数，若中间的一个为n，则这三个连续奇数之积为（）A．4n3﹣n B．n3﹣4n C．8n2﹣8n D．4n3﹣2n【分析】直接表示出各奇数，再利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则求出即可．【解析】∵中间的一个为n，∴较小的奇数为：n﹣2，较大的奇数为：n+2，∴这三个连续奇数之积为：n（n﹣2）（n+2）＝n（n2﹣4）＝n3﹣4n．故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）9．计算.【答案】【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】解：故答案为：.【分析】利用先去括号，然后根据整式的加减运算法则计算即可10.如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：（答案不唯一）．【分析】根据长方形的面积公式解答即可．【解析】由题意得：m（m+a）＝m2+ma，故答案为：m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）．11.如果m2﹣2m﹣2＝0，那么代数式3m（m﹣2）+2的值是．【分析】先化简，然后将m2﹣2m﹣2＝0代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝3m2﹣6m+2当m2﹣2m﹣2＝0时，∴m2﹣2m＝2，∴原式＝3（m2﹣2m）+2＝3×2+2＝6+2＝8．故答案为：8．12.一个长方体的长、宽、高分别是3x﹣2、2x和x，它的体积等于．【分析】根据长方体的计算公式长×宽×高，列出算式，再进行计算即可．【解析】根据题意得：（3x﹣2）•2x•x＝6x3﹣4x2，答：它的体积等于6x3﹣4x2；故答案为：6x3﹣4x2．13.______________．【答案】【分析】设，，将所求问题转化为整式的运算，再根据整式的运算法则化简求值即可．【详解】设，则原式故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法运算，利用换元法，将所求问题转化为整式的运算是解题关键．这是常用技巧，需掌握．三、解答题（共6小题，48分）14.（9分）计算：（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）；（2）3x（2x﹣3y）﹣（2x﹣5y）•4x；（3）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）．【分析】（1）先用单项式﹣2ab与括号内的每一项分别相乘，再把所得结果相加即可；（2）先利用单项式乘多项式的运算法则分别计算减号两边的算式，再合并同类项即可；（3）先利用单项式乘多项式的运算法则分别计算减号两边的算式，再合并同类项即可．【解析】（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）＝（﹣2ab）•（3a2）﹣（﹣2ab）•（2ab）﹣（﹣2ab）•（4b2）＝﹣6a3b+4a2b2+8ab3，（2）3x（2x﹣3y）﹣（2x﹣5y）•4x；＝6x2﹣9xy﹣8x2+20xy＝﹣2x2+11xy，（3）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）＝5a2﹣5ab+5ac﹣2ab﹣2b2+2bc+4ac+4bc+4c2＝5a2﹣2b2+4c2﹣7ab+9ac+4bc．15.（6分）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【答案】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98【知识点】单项式乘多项式【解析】【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．16.（7分）先化简，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝，b＝．求5A﹣B的值．【答案】【分析】先把所求代入进行化简，然后把a、b的值代入求值即可.【详解】解：原式＝5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b＝12a2b﹣6ab2当a＝，b＝时，原式＝12××﹣6××＝1﹣＝.【点睛】多项式的化简求值是本题的考点，正确化简多项式是解题的关键.17.（8分）已知：A=12x，B是多项式，王虎同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得3x3﹣2x2﹣（1）求多项式B．（2）求A+B．【分析】（1）根据整式的除法运算即可求出答案；（2）根据整式的加法运算即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：12x•B＝3x3﹣2x2﹣x∴B＝（3x3﹣2x2﹣x）÷1＝6x2﹣4x﹣2；（2）A+B=12x+（6x2﹣4＝6x2−7218.（8分）阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！（1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．（2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2020的值．【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案；（2）直接利用已知变形，进而代入原式得出答案．【解析】（1）（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，∵ab＝3，∴原式＝﹣4×33+6×32﹣8×3＝﹣108+54﹣24＝﹣78；（2）∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴a3+2a2+2020＝a（a2+a）+a2+2020，＝a2+a+2020＝1+2020＝2021．19.（10分）如图，大正方形边长为，小正方形边长为．(1)若，求阴影部分面积的和；(2)定义：单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：例如．试用含、的式子表示阴影部分面积之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据绝对得非负性得出x和y得值，再根据三角形的面积公式即可；（2）数形结合，通过图象面积求代数式．（1）解：，，，，．∵，．阴影面积为．（2）解：阴影面积为．【点睛】本题考查了绝对值的性质及单项式与多项式相乘，解题关键是根据材料掌握整式乘法公式拓展培优*冲刺满分1.一张长方形餐桌的表