有限元简答题

有限元分析要点有限元法的概念及基本思路。概念：有限元法是一种基于变分里兹法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，并利用分片近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。有限元方程的建立有多种不同的方法，常见的有三种:刚度法、变分法和加权残值法。基本思路：离散化:将连续系统分割成有限个分区或单元单元分析:用标准方法对每个单元提出一个近似解整体分析:将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统有限元分析主要应用领域及常用大型通用有限元软件。应用领域：结构分析：•土木工程结构•汽车结构•航空结构•机械零部件热分析：主要应用在内燃机、涡轮机、换热器、管路系统、电子元件等。电磁分析：静磁场分析---计算直流电(DC)产生的磁场.•交变磁场分析---计算由于交流电(AC)产生的磁场.•瞬态磁场分析---计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.流体分析：•作用于气动翼型上的升力和阻力;•超音速喷管中的流场；•弯管中流体的复杂的三维流动；

耦合场分析-多物理场：•热--应力分析；•体--结构相互作用；•磁--热感应加热；通用软件：ADINA、ABAQUS、ANSYS、MSC/Marc、MSC/Nastran弹性力学主要研究内容、基本假定和基本方程。研究内容：研究在约束和外载荷作用下，弹性体内的应力和变形分布规律。基本假定：连续性假设②均匀性假设③各向同性假设④完全弹性假设⑤小变形假设无初始应力假设基本方程：①平衡微分方程dxdydz即一成椰¥等+4-十血一办为¥而一击疆莎空息淑-费 ffr-q叩用而EcFyy尸即一成椰¥等+4-十血一办为¥而一击疆莎空息淑-费 ffr-q叩用而EcFyy尸物理方程（应力和应变之间的关系[11f 、%E：A12(--^)(ITA)(l-°000II|;01-踣2：1-a)L了*..r00N02(1-a)简化为:沽;=["]'"变形协调方程边界条件弹性问题的虚功原理和最小势能原理概念及联系虚位移原理：若在已知的面力和体力的作用下，弹性体处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的总虚功等于弹性体内总的虚应变能。最小势能原理：弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势能取最小值。联系和区别：•最小势能原理和虚功原理都可以代替微分方程与应力边界条件，转为代数方程求解的一种方法，用于描述弹性体的平衡状态。•前者是基于能量的描述，后者基于力的平衡。掌握基于变分原理的弹性问题有限元求解过程，掌握有限元收敛准则。变分求解过程：（1）几何离散：m个单元和n个节点的组合体；（2） 单元特征分析：单元应变能，单元外力势能（等效节点载荷）；（3） 单元集成：系统的总势能；（4） 变分处理：系统的平衡方程（组）（5） 应用位移边界条件求出节点位移；（6） 由节点位移求出单元的应变、应力。收敛准则：•位移模式必须包含单元的刚体位移。•位移模式必须包含单元的常应变。•位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。准则（1）完备性一包含常应变项和刚体位移项。如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。准则（2）协调性一相邻单元公共边界保持位移连续。如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直到（m-1）阶的连续导数，即Cm-1连续性。C0型单元一一势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是1阶，在单元交界面上具有0阶的连续导数（平面问题单元、空间问题单元）。C1型单元一一势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是2阶，在单元交界面上具有1阶的连续导数（梁单元、板壳单元等）。平面问题的特点及分类平面应力问题：几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。受力特征外力和约束仅平行于板面作用，沿z方向不变化。应力特征选取特定的坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴平面应力问题只有三个应力分量：叫二四(工我)f v)&=Tyx~*0力平面应变问题：几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。外力特征外力平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化变形特征以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，横截面上其上各点x、y方向的位移与坐标z无关，仅为x，y的函数。平面应变问题只有三个应变分量：掌握平面三角形单元的推导过程及相关概念（形函数、位移函数），能够计算简单三角形单元的刚度矩阵。三角单元推导过程：几何离散：采用3节点三角形单元单元特征分析•构造位移函数 '•单元应变能•单元外力功（单元等效节点力）单元集成：系统的总势能变分处理：系统的平衡方程（组）应用位移边界条件求出节点位移由节点位移求出单元的应变、应力三角形单元刚度矩阵计算公式：顷°Ke=BTDBtA D=里日1°1-^2°°L2」（作业题和例题总结）掌握构造单元位移函数的基本准则、形函数的意义。位移函数：指单元内位移分布状态，在实际中用的是多项式函数，因为多项式函数的微分和积分运算比较方便，而且所有光滑函数的局部都可以用多项式来逼近。关于多项式的项数和阶次，要根据单元的节点自由度数和有关解的收敛性要求来确定。形函数的物理意义：N表示的是当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时的单元内的位移分布规律。也就是说N.反映了单元位移变化的形态。i冈I」度矩阵的特点及如何消除刚体矩阵奇异性，掌握单刚组装成整体刚度矩阵方法，能够进行总刚的组装计算。刚度矩阵的特点：K是对称矩阵K中主对角元素总是正的K是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布K是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵刚度矩阵的半带宽公式： 川 I)消除刚体矩阵奇异性：引入边界条件，两种方法：代入法(对角元素置1法)乘大数法整体刚度矩阵的组装方法：（作业题和例题总结）轴对称单元的相关概念及与平面单元的区别轴对称问题：工程中有一类结构的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴，可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果。轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）•轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接i•节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；•单元边界是一回转面i♦应变分量同中出现了即应变不是常量；且应变矩阵在1=0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。2个位移量（u、w）4个应力量（OrO0OzTrz）4个应变量（£r£0£zYrz）等参单元的概念及注意事项。等参单元：用同样的节点和相同的形状函数，通过插值的方式表示单元的几何坐标与位移的单元。注意：①四边形等参单元的形状要求。（1） 等参变换矩阵中的雅可比矩阵J，避免出现J0（2） 不能有重节点不能出现内角大于180°的情况在有限变形的情况下，相邻两边的内角最好介于30°-150°之间②采用等参单元的优点•借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。•等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。•不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。•解决形状不适应性，提高精度。12.掌握Gauss积分及优点，等参元中积分阶次的选择。N点Gauss积分实际上是用一个6的2n-1次多项式近似代替被积函数f(6),再计算这个近似多项式的积分结果。精确积分通常由形函数中非完全多项式的最高阶次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的阶次。5高斯积分法例如，n=1时不论f代）的次数是。还是1,只需取Hi=2,§1=0,I：式均是精确成衣的。因为T/（次=宵（备）/愆）=G+C击 1J《逃=2%=2.六0）当门=2时，能保证式了精确成立所允许的多项式的最高次数是3,此时，f（&）的通式为其精确枳分为7其精确枳分为7=f/(^X=2q+|c2数值积分为"支H兴J=HJ您］)+财您2)1=1=瓦(―十*士c容+W)+/仁"GS+3.+E)等参元中积分阶次的选择：•积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量口•积分阶次的选择必须保证积分的精度，（宪余精蹄葬兮）・很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（戒席彝兮）13.杆、梁类单元位移函数构造。掌握杆件单元的基本过程，掌握梁单元的整体刚度矩阵的组装过程。杆件的位移函数构造：（2） 确定位移模式假设单元位移场：Z/（X）=%十口泊十％X+…取其线性部分,系数可由节点位移%、♦确定，称为位移插值模式（interpolationmodel）.u（x）=口］+a2x（3） 形函数矩阵的推导山单元的节点条件，两个节点坐标为Xz两个节点位移为N（JC）|二法，H（X）C〔.，一L,代入上式插值模式公式得;a.+ =u.+o2x2=u2杆单元刚度矩阵特点：1、对称矩阵；2、奇异的；3、行（列）元素之和等于零。得到形函数矩阵N⑴二（1-一）x2-Xjx2-xA记节点位移矢量因此.，用形函数矩阵表达的单元内任••点的位移函数是“（*）二N（苫V

对于代,面梁单元I，其弯仙变形的位移场u(x)可以设为下式v(x)=%+a^x+a^x2+%疽因此，梁的斜率是(Hermite型)ZJdv 2u_=—=弘+2a^x+3a^x~dx位移模式写成矩阵形式心)IXX心)IXX2012x3x6C

土I%s(P126)梁单元的整刚组装:F，整体刚度炬阵的组集与坐标变换a)局部坐标系向整体坐标系的转换.局部坐标系，整体坐标系，两种坐标系下的节点载荷、节点位移和单元刚度矩阵的变换关系为Re=TRbde=T6"ke-TkeT1其中坐标变换矩阵为CQS疗sin600-sint?cost?0000sin。00-sin6^cos。式中，。是x'轴相对丁-x轴的夹角。可以证明，转换矩阵T的逆矩阵等于它的转置矩阵，所以，在整体坐标系下的单元刚度矩阵 ke=TkTl进行整体刚度矩阵的组集。可以采用直接刚度法14.动力学及非线性部分知识有所了解。掌握质量矩阵、阻尼矩阵、固有频率、振型等基本概念，掌握计算动力学响应的两种方法。弹塑性问题中的屈服条件、塑性流动定律和硬化定律。如果不满足以下条件之一，就称为非线性问题：（1） 应力应变线性关系（2） 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）（3） 加载时边界条件的性质不变非线性问题可以分为三类：材料非线性、几何非线性、接触非线性。非线性结构的基本特征：变化的结构刚度。非线性方程组的求解方法：直接迭代法、Newton-Raphson迭代法、修正的Newton-Raphson迭代法。四种强度理论：第一强度理论又称为最大拉应力理论第二强度理论又称最大伸长应变理论。第三强度理论又称最大剪应力理论或特雷斯卡屈服准则。第四强度理论又称最大形状改变比能理论。质量矩阵：把惯性力向节点静力等效得到，采用不同的等效方法得到不同形式的质量矩阵。主要分为两类：集中质量矩阵、一致质量矩阵。集中质量矩阵：假定单元的质量集中在结