高数下册总复习1

期末考试复习重点（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的切平面（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面（1）设则（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：I：曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程要点II：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线

的方程第一步：确定点第二步：计算第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程（2）设空间曲线

的方程解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程3、典型例题例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）解：C例3：求曲面上同时垂直于平面与平面解：取的切平面方程。设切点为例:(1)已知曲线在点P处的切线平行于平面，求P点的坐标（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续要点：I：求二元函数在某点的极限1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则2、利用有界函数与无穷小乘积的性质3、利用变量对换化为一元函数极限4、利用夹逼准则与两个重要极限例：求下列函数的极限：解：求极限解：求极限（1）多元函数的定义域、极限、连续要点：I：求二元函数在某点的极限（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值典型例题例1：设求解：典型例题例2：设求解：典型例题例3：设求解：二元函数的连续性要点：III：多元函数的连续性(2)讨论函数在(0,0)的连续性．例：讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；例1：设答案：IV：多元函数全微分的计算；例2：函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求例3：设求解：zxyuxyu例4：设答案：要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；IV：多元函数全微分的计算；（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分例3：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例3：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。由于d中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。求得两个驻点：对应的距