第二节、几何图形的构造、度量与变换

第二节、几何图形的构造、度量与变换ldydc目录2度量菜单的功能与应用3变换菜单的功能与应用4迭代与深度迭代1构造菜单的功能与应用在几何学中，经常要根据一定的几何关系，构造几何图形。比如，选中两个端点，可以构造一条线段。选中一个点为圆心，一条线段为半径，就可以确定一个圆。几何画板中提供了构造菜单，使用构造菜单中的命令，根据选中的几何对象，可以作出新的几何对象。一、构造菜单的功能与应用几何画板的构造菜单由五部分组成：

点的构造

线的构造

圆或弧线的构造几何图形内部的构造

轨迹的构造等。使用几何画板构造几何图形时，必须选中某些几何对象作为前提条件，根据选中的对象，系统自动判断可以作出的几何图形。

◆对象上的点：在一个选中的目标对象上随机确定一点，如果同时选中了多个目标对象，分别在所选目标对象上随机取一点。

◆中点：对于选中的一条以上的线段，分别作出这些线段的中点。

◆交点：构造选中的两相交对象的交点。如两相交对象有多个交点，会同时取出。1．点的构造◆线段、射线、直线：根据选中的两个或多个点依次作线段、射线或直线。◆垂直线：过选中点作选中直线的垂直线。◆平行线：过选中点作选中直线的平行线。

◆角平分线：构造由三个选中点所决定角的角平分线。2．线的构造实例4.4

在三角形ABC中画出∠CAB的平分线，BC边上的中线和垂直平分线。◆以圆心和圆周上的点绘圆：选中两个点，以选中的第一点为圆心，过选中的第二点画圆。◆以圆心和半径绘圆：选中一个点和一条线段，以选中的点为圆心、选中的线段为半径画圆。3．圆或弧线的构造（1）选定两点（有顺序）：选定两点后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和圆周上的点绘圆”就可以构造一个圆，圆心为第一个选定的点，半径为选定两点的距离。和“画圆工具”等效，如图所示。圆的绘制（2）选定一点和一条线段（没有顺序）：选定点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度，如图所示。（3）等圆的画法：选定多点和一条线段（没有顺序）：选定多点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点，半径为选定的线段的长度，结果如图所示。(4)．同心圆的画法：选定一点和多条线段（没有顺序）：选定一点和多条线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个同心圆，圆心为选定点，半径分别为选定的线段的长度,如图所示。结果如图所示。注意：上述选定作为半径的线段可以用“带有长度单位的数值”代替，即半径可以是线段，也可以是带有长度单位的数值。结果如图所示：◆圆上的弧：对选中圆及圆上的两点，按逆时针方向作出圆上从第一点到第二点的一段弧；也可以先选择圆心，再按逆时针方向选择圆上的点。◆过三点的弧：选中三个点，构造从第一个点起，过第二个点，到第三个点的圆弧。(1)．选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：选定一个圆和圆上的两点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧，所得的结果如图所示。弧线的构造(2)．选定特殊的三点（第一点为弧所在圆的圆心，另两点为端点的线段的中垂线上的点）：选定三点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧，第一个点为弧所在圆的圆心，如图所示。（3）．选定不在同一直线上的三点：选定三点后，单击菜单“构造”→“过三点的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧，如图所示。◆选择三个以上的点，以这些点按顺序作为多边形顶点，构造多边形内部。◆选择一个圆（或选择多个圆）,构造圆内。◆选择一段弧（或同时选择多段弧），按选中的圆弧构造扇形内。

◆选择一段弧(或同时选择多段弧)，按选中的圆弧构造弧弦内。

4．几何图形内部的构造实例4.5

以A和圆周上一点B画圆，在圆上构造圆弧，并构造扇形区域。5．轨迹的追踪

几何画板可以对点、线、圆或弧等基本元素进行轨迹追踪，其方法是：首先选中要进行轨迹追踪的对象，然后执行【显示】→【追踪】菜单命令。在对一个被追踪的对象产生追踪的轨迹后，执行【显示】→【擦除追踪踪迹】菜单命令，追踪踪迹被擦除。让我们先看一道常见的数学题，如图所示，P为圆上任意一点，则线段OP中点M的轨迹是什么？选定P点，单击菜单命令“显示”→“生成点的动画（A）”,如图所示。结果如图所示：可以观察到点P在圆上运动，M也跟着运动。要知道M的轨迹，先单击“运动控制台”的停止按钮，让动画停下了后，然后选定M点后，按快捷键“Ctrl+T”，跟踪点P。仅选定P点后，再按“运动控制台”的播放按钮，就可观察到点M的轨迹，如图所示：但这样的轨迹按“Esc”就能清除掉，还不能保存。如何才能真真构造出点M的轨迹呢？作法：选定点P和点M（没有先后），单击菜单命令“构造”→“轨迹（U）”（注意：在作轨迹以前最好按“Esc”清除掉M的暂时轨迹），如图所示。构造轨迹的前提条件是——选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。实例4.6

过已知两点A，B的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上，以垂直平分线上任一点D为圆心、线段DA为半径作圆，对圆周进行追踪。使用“构造”菜单中的“轨迹”命令可以在画板上创建一个永久的轨迹，对所作出的轨迹可以像其他几何对象一样操作。6．轨迹的构造构造轨迹时，选中要作出轨迹的对象（称为轨迹对象）,同时选中位于某一路径上的一个点（称为驱动点）。执行【构造】→【轨迹】菜单命令，屏幕上出现当驱动点在该路径上运动时所选对象的轨迹。

实例4.7

构造一条线段的端点在一个圆周上移动时，线段中垂线的轨迹。例、椭圆的画法

看着左图，你能分析出作图步骤吗？能知道E点的轨迹是椭圆的原因吗？选定两条直线以及点E和点B，按快捷键“Ctrl+H”，则隐藏选中部分，得到右图。作法：

1.画一个圆和一条线段线段的画法是：在画线段的状态下，把光标移到圆内，单击一下，松开左键，把光标移到圆周上，单击一下，则得线段CD。2.作线段CD的垂直平分线和直线AD直线AD的作法是：在直线状态下，对准A点单击，松开左键，移动到点D单击。3.交点在选择状态下，单击两直线的交点处，得交点E。

4.构造轨迹选定E点和D点，单击菜单命令：【构造】→【轨迹（U）】隐藏不必要对象选定圆、两直线、点E、D、B试一试：把C点拖到圆外，看轨迹有什么变化？度量菜单包括长度、距离、周长、圆周长、角度、面积、弧度角、弧长、半径、比、计算、坐标、横坐标、纵坐标、坐标距离、斜率和方程等十七个选项。选中一个或几个对象，执行相关的命令，其度量值就会出现在画板上。二、度量菜单的功能与应用◆长度：当选中对象是一条线段时，度量选中线段的长度。◆距离：当选中两点时，度量两点之间的距离；当选中一点和一个线对象时，度量点到线对象的距离。◆周长：对于选中的多边形、扇形或弓形，度量图形的周长。度量周长时必须先构造相应图形的内部，并选中该内部。1．对选中对象进行数值度量◆圆周长：度量选中的一个圆的周长。◆角度：度量由选中三个点所决定角的角度，在三个点中，以第二个点作为角的顶点，第一和第三个点分别是角两边上的点。◆面积：对于选中的圆、多边形、扇形或弓形内部，度量图形的面积。◆弧度角：度量选中的一个扇形或一段弧所对应的扇形的弧度角。1．对选中对象进行数值度量◆弧长：度量选中的一段弧或一个扇形或弓形所对应的弧长。◆半径：对于选中的圆、圆弧或扇形，度量它所对应圆的半径。◆比：选中两线段，度量第一条线段与第二条线段长度的比例。选中共线的三个点A，B，C，计算线段AC与AB距离的比。

1．对选中对象进行数值度量实例4.11

对于过三点的弧，求出它有关的度量值。

◆坐标：对于选中的一个或多个点，度量其坐标值。◆横坐标：对于选中的一个或多个点，度量其横坐标值。◆纵坐标：对于选中的一个或多个点，度量其纵坐标值。2．有关坐标值和方程的度量2．有关坐标值和方程的度量实例4.12

对于画板文件中任意三个点A，B，C，度量它们的坐标值。◆坐标距离：对于选中的两个点，度量其坐标距离。◆斜率：对于选中的线段、射线或直线，度量它所在直线的斜率。◆方程式：对于选中的直线或圆，度量它们的方程，不适用于线段和射线。

实例4.13

在画板中画一条直线，度量这条直线的斜率和方程，并观察由于直线位置的变化而引起的相应直线方程中参数的变化情况。2．有关坐标值和方程的度量3．新建计算执行【度量】→【计算】菜单命令，弹出“新建计算”窗口，可以生成计算公式，进行代数运算或函数运算。实例4.14

计算函数的值。

实例4.15

制作演示三角形的内角和为180°的画板文件，当拖动改变三角形形状时，三角形三个内角的和保持不变。4．度量菜单应用举例应用《几何画板》的功能来加以验证。步骤一：新建一个几何画板文件，并画任意三角形ABC。步骤二：度量三角形的内角。用“选择”工具依次选择点A、B、C，并选择“度量”菜单的“角度”命令，度量出的度数如。在空白处单击。同理，度量出和，如图所示。

步骤三：计算三角形的内角和。选择“数据”菜单的“计算”命令，打开“新建计算”，用“选择”工具，依次单击、＋、、＋、、

“新建计算”的显示屏出现单击“确定”，计算出实验：拖动点A，可以看到角的度数随三角形的内角变化而变化，但内角和不变。作业：验证相交弦定理。作业：制作一个通过计算值验证勾股定理的画板文件。数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。“几何画板”提供了平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能，可以按指定值或动态值对图形进行相应变换，也可以使用定义向量、角度、距离和比值等来控制这些变换。三、变换菜单的功能与应用观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的，求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换几何图形的“变换”是几何画板的一项重要功能，通过变换，可以方便地实现图形的各种变化。如何准确地画出正方形？这好像是个简单的问题，实际上，不用变换是不容易做到这一点的。几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是现在介绍的变换菜单。变换菜单◆平移变换：将选中的对象按一定的方向和距离平移，产生该对象的像；

◆旋转变换：将选中的对象，以某一点为标记中心，旋转一定角度，产生该对象的像；◆缩放变换：将选中的对象,以某一点为标记中心,按比例作中心缩放,产生该对象的像；

◆反射变换：对于选中的对象，以某直线为标记镜面，作镜面反射，产生该对象的像。1．变换功能

◆标记中心：在进行旋转和缩放变换时必须要先确定旋转或缩放的中心。有两种方法标记中心：一是先选中要标记为中心的点，然后执行【变换】→【标记中心】菜单命令；二是直接用鼠标左键双击要标记为中心的点。2．标记变换的参照物

◆标记镜面：在进行反射变换时必须要先确定反射镜面。有两种方法标记镜面：一是先选中要标记为镜面的线段、射线或直线，然后执行【变换】→【标记镜面】菜单命令；二是直接用鼠标左键双击要标记为镜面的线段、射线或直线。2．标记变换的参照物

◆标记向量：为平移变换确定移动的方向和距离。◆标记距离：将一具有距离单位的度量值或计算公式标记为平移变换的移动距离。◆标记角度：为旋转变换确定旋转角度,或为以极坐标进行平移变换时确定方向角。◆标记比：为缩放变换确定一个比值或比例因子。

3．标记变换的变化量

平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。4．平移变换

对于选中的目标，执行【变换】→【平移】菜单命令，弹出平移对话框。

在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图7

图7在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图8图8按标记的向量平移有一种方法，如图9图9例3画一个半径为cm的圆运行结果：得到一个半径为cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距

cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。操作步骤：1、画一个点A。2、选取点A，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图10的设置，平移后得如图11。图103、选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”---“以圆心和圆周上的点绘圆”。4、最后得如图12，无论如何移动，圆的半径固定为

cm。图12例4全等三角形运行结果：拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。

基本思路：根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。3、在线段上画一点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画△ABC。2、画线段DE，在DE上画一点F；3、用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”---“标记向量”，标记从点D到F的向量。4、选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。5、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。首先标记旋转中心,然后选中要旋转的对象，执行【变换】→【旋转】菜单命令，弹出旋转对话框。5．旋转变换

基本思路：按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边。例1画一个正方形画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。操作步骤：1、画线段AB。2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图1的设置。4、双击点B，标记新的中心。5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图2的设置。

6、连结上方两个顶点得第四边。例2中心对称运行结果：拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，中间结果最后结果

基本思路：本例学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为00，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00到1800，可以看到旋转1800后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图3。2、用选择工具双击点O，标记为中心。3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转1800，得如图4。4、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”---“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的对话框中作如图5的设置。

6、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图6。图6说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？实例4.19

利用旋转变换画等腰三角形、等边三角形和正方形。首先标记缩放中心，然后选中要缩放的对象，执行【变换】→【缩放】菜单命令，弹出缩放对话框。缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换6．缩放变换

其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，由菜单“变换”----“标记线段比例”（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），由菜单“变换”---“标记比例系数”，可以标记一个比。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，由菜单“变换”---“标记比例”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例5相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响：基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中