第六章 相关与回归分析-1

第6章

相关与回归分析主要内容

6.1变量间关系的度量6.2一元线性回归变量间的关系1相关关系的描述与测度2相关关系的显著性检验36.1变量间关系的度量变量间的关系6.1变量间的相关关系变量间的关系客观现象之间是普遍联系相互依存的。客观现象之间的数量联系可分为两类：确定性关系（函数关系）非确定性关系（相关关系）

变量间的关系

（函数关系）是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy

函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为y=p

x(p为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=

R2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)

、单位产量消耗(x2)

、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

变量间的关系

（函数关系）

相关关系的例子商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系

变量间的关系

（相关关系）变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy

变量间的关系

（相关关系）相关关系的描述与测度6.1变量间的相关关系相关关系的类型相关关系非线性相关线性相关正相关正相关负相关负相关完全相关不相关相关关系的图示（散点图）

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关完全正线性相关

散点图(例题分析)【例6.6】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年该银行贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大提高，给银行业务发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，以便找出控制不良贷款的办法，现利用银行有关业务数据进行相关分析。下面是该银行所属25家分行2002年的有关业务数据。

散点图(例题分析)散点图(例题分析)相关关系的测度

（相关系数）对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数（简称相关系数）若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r

样本相关系数的计算公式或化简为相关关系的测度

（相关系数）

我国人均国民收入与人均消费金额数据

单位:元年份人均国民收入人均消费金额年份人均国民收入人均消费金额1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148（相关系数计算练习）【练习1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本数据(xi

，yi)，i=1,2,…，13，数据见下表，计算相关系数。年份序号人均国民收入x人均消费金额yx2y2xy123∶∶∶∶13393.8419.14460.86∶∶∶∶2099.5249267289∶∶∶∶1148155078.44175678.34212391.94∶∶∶∶4407900.25620017128983521∶∶∶∶131790498056.20111910.38133188.54∶∶∶∶2410226合计12827.5745716073323.7752263399156173.99（相关系数计算练习）（计算结果）解：根据样本相关系数的计算公式有

人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为0.9987相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）

r

的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系相关-1

r<0，为负相关0<r

1，为正相关|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）样本容量适中时相关关系程度一般判断标准

无相关或微弱相关低度相关中度相关（显著相关）高度相关这种判断必须建立在对相关系数进行显著性检验的基础上。相关系数计算例

【例6.7】用例6.6数据计算出该商业银行不良贷款、贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数如下：可以看出，不良贷款与贷款余额的相关系数最大，与固定资产投资额的相关系数最小。相关关系的显著性检验6.1变量间的相关关系相关系数的显著性检验

（概念要点）

1.

检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验采用t检验检验的步骤为提出假设：H0：

；H1：

0

计算检验的统计量：

确定显著性水平，并作出决策若t>t

，拒绝H0

若t<t

，接受H0【例6.8】对前述用例6.7数据计算的某大型商业银行例不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：

；H1：

0计算检验的统计量3.根据显著性水平=0.05和自由度df=n-2=25-2=23查t分布表得t0.025(23)=2.0687由于t=7.5344>t0.05(23)=2.0687，所以拒绝H0，说明不良贷款与贷款余额之间存在显著正线性相关关系相关系数的显著性检验(例题分析)r=0.8436相关系数的显著性检验(例题分析)对前述6.7例某大型商业银行各相关系数计算检验统计量数据如下，同学们可以自行检验和分析相关系数的显著性检验

（练习2）

对前面练习1中计算的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：

；H1：

0计算检验的统计量3.

根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t

(n-2)=2.201由于t=64.9809>t

(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著r=0.9987一元线性回归模型1参数的最小二乘估计2回归直线的拟合优度3显著性检验4估计和预测36.2一元线性回归回归回归(regression)

平均身高1877年英国弗朗西斯•高尔顿爵士遗传学研究回归线什么是回归分析？

（内容）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度两变量是随机变量

因变量是随机变量

两变量对等一个相关系数两变量不对等两个回归方程相关系数是抽象数值反映相关程度回归方程具体可利用自变量估计因变量值相关分析回归分析回归分析与相关分析的区别回归模型的类型一个自变量两个及两个以上自变量回归模型多元回归一元回归线性回归非线性回归线性回归非线性回归回归模型与回归方程6.2一元线性回归回归模型回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1个数字