第5章 校正与控制器设计

第5章校正与控制器设计在学习了系统分析——系统性能要求及其与结构参数之间的关系之后,现在进入系统设计——确定一个满足给定性能要求的系统结构和参数,它是系统分析的逆内容。在控制对象一定的情况下,系统设计实际上就是确定对象的校正装置或控制器的形式及参数。本章重点介绍校正原理、常用校正网络、典型调节器以及状态反馈控制器的参数设计。15.1概述从前面有关章节看到,单靠改变系统某个或几个可调参数很难获得综合改善系统稳、准、快及滤波性能的满意结果,它总要牺牲或降低某些性能才能提高另一些性能。因此,校正成为综合改善系统性能的必要方法。从前面4.2.5、4.4.3和4.4.5节所接触的一些校正可见,校正是一种通过加入校正装置(控制器)来改变系统结构及参数的方法,其机理从时域看是改变系统的零、极点分布,从频域看是改变系统的闭环或开环频率特性。2串联校正是在系统的前向通道中能量最小的前端串入有源或无源校正网络Gc(s),如图5.2.1所示。系统传递函数在校正前为5.2串联校正与设计345.2.1超前校正超前校正的电路图如图5.2.2(a)所示,图中U1和U2分别为输入和输出信号。若设输入图5.2.2串联超前校正端信号源内阻为零,输出端的负载阻抗为无穷大,则超前校正装置的传递函数为

567例5.1设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的速度误差系数Kv=20,相角量γ≥50°,试设计串联校正装置。解首先调整系统的开环增益K,以满足系统对稳态误差的要求。对I型系统K=Kv=20绘出K=20时未校正系统开环Bode图如图5.2.3细点线所示,低频渐近线斜率-20dB/dec,在ω=1/0.5=2处变为-40。图中穿越频率为ωc=6.2。相角裕量为891)确定补偿的最大相位超前角m

校正装置至少应提供的超前相位m=(50°-18°)+5°=37°。其中所加的5°是附加补偿角,用来补偿由于超前校正使穿越频率向右移动,造成系统相位滞后量的微小增大,以免补偿的相位裕量偏小。

2)确定超前校正装置系数α

103)确定补偿幅值及ωm将α代入式(5.2.8)得补偿幅值10lgα=10lg4=6dB。在系统原有幅频特性上找出幅值为-6dB对应的频率,约为ω=8.4。为充分利用超前网络的最大相位超前角m,这个频率应当作为新的穿越频率,即ω′c=ωm=8.4。这样,对应于ωm处校正装置所产生的幅值增量6dB正好补偿穿越频率从ωc=6.2右移到ω′c=8.4的幅值衰减量-6dB。由此据式(5.2.6)可以求得

114)按式(5.2.4)写出校正装置的传递函数

绘出校正装置的Bode图如图5.2.3点画线所示。5)将Go(jω)与Gc(jω)的Bode图叠加,即得到校正后系统开环Gc(jω)Go(jω)的Bode图,如图5.2.3粗实线所示。可见在保证Kv=20的条件下,系统以ωc=ωm=8.4为穿越频率,其相位裕量γ≥50°,既满足稳态精度要求又满足稳定性要求。1213图5.2.4是校正系统方块图。这里指出:

①超前校正的α值一般不超过143,对应于最大补偿相位角为60°。如α过大,将使系统响应的信噪比变差。在要求补偿相位角大于60°时最好采用PD校正。②超前校正对中频段补偿的斜率为20dB/dec,如果原系统的中频段斜率比-40dB/dec更陡,在ωc附近相角滞后迅速时,超前校正作用很有限。③超前校正具有微分环节特性,若原系统带宽大或要求抗干扰能力较高时则不宜采用。

145.2.2滞后校正滞后校正装置的电路图、对数频率特性分别示于图5.2.6(a)、(b)中。滞后校正装置的传递函数为151617例5.2单位反馈系统的开环传递函数为设计串联校正装置使系统满足γ≥50°,Kg=10dB,esv=0.1的要求。1)为了使滞后校正网络的相位滞后不影响系统稳定性,校正网络的转折频率1/βTi应远离穿越频率(一般离ω′c为10倍频程,即1/βTi=0.1×ω′c)。因此,滞后校正作用是发生在低频段上的。现取1/βTi=0.1ωc=0.1,则可得βTi=10。182)为使ω′c=1,由图查出未校正系统的幅频特性在ω′c下降20dB,这20dB的下降应是滞后网络的幅值衰减量,即20lgβ=-20dB,则β=0.1,Ti=10/β=100。于是,滞后网络传递的函数是3)图5.2.8是附加放大器的滞后校正系统的方块图,校正后系统的开环Bode图如图5.2.7中粗实线所示,既增大了开环增益,又保证了稳定性要求,Kg=11.4dB,γ=54.7°。1920215.2.3滞后超前校正单独采用串联超前校正或串联滞后校正,都只能改善瞬态或稳态两种性能中的一种,如果同时要求较大的增益、稳定性裕量及带宽,则需要将两者结合起来,即采用串联滞后超前校正。一种办法是将单个超前校正网络与单个滞后校正网络串联起来(中间加隔离放大器),另一种更实用的办法是将它们组合成一个网络,称为滞后超前校正网络。滞后超前校正网络的传递函数为2223例5.3单位反馈控制系统的开环传递函数为要求速度误差系数Kv=180,相角裕量γ=45°,穿越频率ωc=3.5,试设计校正装置。解首先用教学软件画出Kv=180开环Bode图如图5.2.11所示。按渐近线画出Kv=180的开环Bode图,如图5.2.12中细点虚线,其穿越斜率为-60dB/dec,系统必然不稳定。可知,穿越频率ωc≈13,相位裕量γ=-55°,增益裕量Kg=-27dB,必须对该系统进行校正。24252627无源校正网络的缺点是当它与其他环节连接时,存在着级与级之间的负载效应,而且对于复杂网络的计算和调整也不大方便。因此在工业控制中常用有源校正装置,这种校正装置大多数是由线性集成运算放大器与阻容电路组合来实现的,被称为调节器或控制器。

5.3调节器设计2829305.3.1PI(比例积分)调节器PI调节利用P调节快速抵消干扰影响,同时利用I调节消除残差,具有比例和积分双重调节功能,其输出u(t)与输入e(t)信号满足下式关系:313233345.3.2PD(比例微分)调节器PD调节器具有比例微分控制规律。其输出u(t)与输入e(t)信号满足下式的关系:3536375.3.3PID(比例积分微分)调节器PID调节器具有比例、积分、微分三种控制规律各自的特点,其输出u(t)与输入e(t)信号之间的关系满足下式:3839404142前面4.4.5节介绍的并联校正和PD校正设计方法属于解析法,5.2节和5.3节介绍的串联校正属于试探法,这里介绍工程特性法,有两种形式,一种是期望特性法,另一种是最佳模型法。5.4.1期望特性法图5.4.1表示为了在满足动态性能要求前提下,使系统能消除稳态速度误差,而把一个I图5.4.1期望特性法校正原理型系统校正成一个II型系统,图中Go(ω)为固有特性,即被校正对象的开环特性;L(ω)是期望特性,能满足给定性能指标。5.4工程特性设计法4344(1)低频段的绘制先根据稳态误差类型要求,确定系统型号即低频渐近线斜率。0型、I型、II型系统分别为0、-20、-40dB/dec。(2)中频段的绘制期望特性的中频段斜率必须是-20dB/dec。现在需要确定中频段的位置ωc及宽度h(或高度L)。如果给定指标ts,穿越频率ωc可按下式确定45464748(3)高频段的绘制由于高频段是一些小参数环节,只影响初始响应而与性能指标关系不大,为使校正装置得到简化,一般是让L(ω)的高频段与被校正系统等效高频段重合,图5.4.2中的ω3即图4.5.6中的ω∑。(4)连接段的绘制连接段的绘制原则是使校正装置简单,同时使中频段两端的斜率变化不大。在可能情况下使1/ω1、1/ω2和1/ω3(或高频段的其他大转角频率)尽量与系统环节的时间常数重合。由ω1、ω2和-40dB/dec的斜率可以自然得到ω0、ω3(尽量与ω∑接近)。495.4.2二阶和三阶最佳特性法二、三阶系统的期望特性已被规范化,故设计方法可采用解析方式。

(1)二阶最佳设计在前面4.4.3节中已经介绍过,阻尼比ζ=0.707时二阶系统时域、频域及综合积分性能指标均最优,因此可将它作为校正后二阶系统的最佳期望特性。

设校正后开环传递函数为

50511)对象为一阶惯性环节

522)对象为双惯性环节

533)对象为一个大惯性环节和多个小惯性环节的乘积

4)对象为三个惯性环节54(2)三阶最佳设计三阶最佳期望的系统开环传递函数为

系统幅频特性如图5.4.5所示。工程中一般取5556例5.4设单位反馈未校正系统的开环传递函数为试用工程设计方法将Ⅰ型系统校正为Ⅱ型三阶最佳系统,并确定串联校正装置Gc(s)。解1)确定调节器的形式原Go(s)为Ⅰ型,需校正为Ⅱ型三阶最佳传递函数式(5.4.23),故应选用PI调节器572)确定PI调节器的参数Kp和T

58593)确定PI调节器的元件参数参见表5.1中PI调节器的电路,取R1=10kΩ,R2=KpR1=44×10kΩ=440kΩ,取标称值440kΩ,C=Ti/R2=273μF,取标称值270μF。4)分析校正前、后的性能指标

校正前和校正后的系统Bode图和阶跃响应如图5.4.6和图5.4.7所示(误差带为±５％）。由图可知系统相位裕量从γ=36.87deg增加到γ=89.3deg;幅值穿越频率从ωc=4rad/dec增加到ωc=166.67rad/dec,调节时间大为减少(约为未校正时的1/24)。605.5.1并联校正原理并联校正即反馈校正,它是通过在系统的某一局部加入反馈装置来改善系统性能的,见图5.5.1。其中G2(s)参数变化较大或特性不够理想,是影响系统动态性能的主要因素,现采用反馈校正装置Gf(s)来包围它,构成一局部反馈(内环)回路。反馈后,原来的环节变为图中虚线所示的G2(s),其传递函数为5.5并联校正与复合校正616263①可有效地抑制作用于内环回路上各元件的扰动,减小元件参数变化和非线性特性对系统性能的影响,这与读者熟知的反馈放大器的特点是一致的。②可分别调整前向通道和内环反馈通道参数,以期单独改变系统某一方面的性能。③串联校正靠增加开环零、极点来改善系统性能(通常也增加了系统的阶次),而反馈校正可以不依靠增加开环零、极点来达到同样目的。④因G2(s)=1/Gf(s),Gf(s)的参数变化对系统特性有明显影响,故对Gf(s)要求较高。645.5.2并联校正形式(1)位置反馈

当Gf(s)=常数kf时即为位置反馈

65例5.5避免PI调节器的积分饱和。

前面5.3.1节介绍PI调节器时曾指出,只要存在误差,调节器输出就会不断增长。如果误差一时无法消除,调节器就一直要力图去校正这个误差,结果过一段时间后调节器就会进入深度饱和,直到误差反向后调节器才会从饱和状态中慢慢退出来,重新恢复控制作用。这种积分饱和现象使系统控制品质变坏,在有的场合还会引起危险。666768(2)速度反馈当Gf(s)=kfs时即为速度反馈。它主要用来增大系统阻尼比,在4.4.5节已作过介绍。下面用一个例子说明并联反馈校正的实际装置。例5.6图5.5.4是一个单相可控硅直流电动机调速系统,它采用了速度反馈、电枢电压微分反馈,其实际电路图见图5.5.5。69705.5.3并联校正近似设计图5.5.1所示系统开环的传递函数为

717273745.5.4复合校正串联校正与反馈校正都没有改变系统的基本结构方式——闭环控制,而闭环控制在原理上存在稳定性与稳态误差矛盾问题,限制了闭环系统精度不能大幅度提高。为了解决这个矛盾,对于稳态精度和动态性能都要求较高,特别是扰动较强的场合,常常将闭环控制与开环控制结合起来,采用前馈校正技术,基于不变性原理来构成校正装置,如前一章的图4.2.9和4.2.10所示的输入和扰动两种前馈补偿。

75例5.7对图5.5.8所示系统进行输入前馈校正,使系统稳态速度误差为零。76解校正前该I型系统稳态速度误差为

77在现代控制理论中,由于采用了状态空间模型来描述系统,因此采用状态变量进行反馈来实现系统闭环极点的任意配置,使系统获得所需的性能,从而达到校正的目的。本节主要讲述实现闭环极点配置的状态反馈控制器,实现二次型性能指标的最优状态调节器,以及为了进行状态反馈而需获得状态的状态观测器。

5.6状态反馈与观测785.6.1状态反馈设被控系统的动态方程为79(1)状态反馈下的闭环采用状态线性反馈后系统的控制变量为

80(2)状态反馈条件下面以单输入单输出线性定常系统来说明。由图5.6.1可写出状态传递函数

8182(3)状态反馈增益的计算除了按式(5.6.17)计算矩阵K之外,这里介绍两种比较直接的方法。

1)令式(5.6.10)与式(5.6.11)相等2)化成控制器规范型采用变换矩阵为P=QA+进行式(2.4.28)的相似变换,可将(A,b,c)变换成控制器规范型(Ac,bc,cc)。根据式(2.4.23)可写出8384例5.8已知被控系统状态方程和输出方程为试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点s1,2=-2±j解容易求得,该系统的特征根为p1=3.4495和p2=-1.4495,系统不稳定。用MATLAB命令[y,x]=step(a,b,c,d,1,t);plot(t,x);holdon;plot(t,y)可得响应曲线如图5.6.2所示,可见必须采用状态反馈使该系统稳定。①判断系统的能控性85②计算闭环特征多项式

8687④比较DB(s)与D(s)同次幂系数k1=6,k0=16/3。则⑤校验K的计算正确性,并通过反馈后闭环系统

的响应来检查K的合理性88899091(4)期望极点的选择

在4.4节中介绍过二阶系统的超调量Mp与比值从原点出发的每条射线与负实轴的夹角可由ζ表达:(5)对状态反馈的有关讨论1)状态线性反馈不改变系统能控性(证明略),即有922)状态反馈对不能控极点无效

设一个不能控系统(A,b,c)按能控性的卡尔曼分解得到

933)状态反馈下的闭环稳定的充分必要条件是:不能控子系统(Ac、0、cc)是渐近稳定的。将式(3.3.12)中的A改作AB=A-bK即可进行判别。4)采用状态反馈系统零点不受影响,但如果系统极点被配置到零点处,就产生了零极点相消,这种情况下即便原来系统能观也将变成不能观。5)调整系统开环增益或采用输出反馈只能使闭环极点沿着一定的根轨迹移动,而状态反馈能使闭环系统任意配置极点,所以状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合更为方便,但要完成状态反馈必须要获得状态,实现起来比输出反馈要复杂一些。6)状态反馈虽能改变极点位置,但不能改变极点的个数和零点的位置,所以单靠状态反馈有时达不到系统动、静态要求,须采取多种方法对系统进行综合与设计。945.6.2最优状态调节器上述极点配置方法是基于给定瞬态性能指标的。下面介绍另一种使控制系统的积分性能指标最小的极点配置方法,用状态最优调节来说明。控制系统分为调节系统和跟随系统,调节系统是指系统在内扰(参数变化)及外扰(负载变化)情况下保持输出不变。955.6.2最优状态调节器上述极点配置方法是基于给定瞬态性能指标的。下面介绍另一种使控制系统的积分性能指标最小的极点配置方法,用状态最优调节来说明。控制系统分为调节系统和跟随系统,调节系统是指系统在内扰(参数变化)及外扰(负载变化)情况下保持输出不变。96例5.9处于悬空停滞不前的某型直升飞机,可用如下状态方程描述式中x1=水平速度,x2=俯仰速率,x3=俯仰角,u=旋翼倾角。该系统极点p1=-0.6565,p2,3=0.1183±0.3678j,系统不稳定,脉冲响应曲线如图5.6.6所示。为此,采用状态最优调节,其二次型性能指标为97试计算使J→Jmin的最优状态反馈控制器K,并计算最优状态反馈下的闭环极点λ。

解由[k,p,e]=lqr(a,b,q,r)可得(省略p)9899最优状态反馈的有关说明(证明略)

①代数黎卡提方程(5.6.27)有惟一正定解P使闭环(A-bK)渐近稳定。

②如果系统(A,b)能控,闭环(A-bK)渐近稳定,则积分性能指标式(5.6.24)的J有极小值存在。③在最优控制100④最优状态调节是这样一种极点配置:它把D(s)的n个根配置到Δ(s)=0的2n个根中的左半s平面上的n个根处(另