人教版九年级数学上册 （二次函数与一元二次方程）二次函数教师教学课件

函数与一元二次方程人教版九年级上册数学

回顾旧知二次函数的一般式：（a≠0）______是自变量，____是____的函数。xyx

当y=0时，ax²+bx+c=0ax²+bx+c=0这是什么方程？上一章中我们学习了“一元二次方程”一元二次方程与二次函数有什么关系？教学目标【知识与能力】总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。教学目标【过程与方法】【情感态度与价值观】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。教学重难点二次函数与一元二次方程之间的关系。利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。实际问题

以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2

考虑下列问题:

（1）球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间?

（2）球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间?

（3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?实际问题解：（1）当h=15时，20t–5t2=15t2－4t

＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.1s3s15m实际问题

（2）当h=20时，20t–5t2=20t2－4t

＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m.2s20m实际问题

（3）当h=20.5时，20t–5t2=20.5t2－4t

＋4.1=0因为(－4)2－4×4.1<0，所以方程无实根。球的飞行高度达不到20.5m.20.5m实际问题

（4）当h=0时，20t–5t2=0t2－4t=0t1=0，t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面。0s4s0m探究

下列二次函数的图象与x

轴有交点吗?若有，求出交点坐标.

（1）y=2x2＋x－3

（2）y=4x2

－4x+1

（3）y=x2–x+1xyo令y=0，解一元二次方程的根探究（1）y=2x2＋x－3解：当y=0时，2x2＋x－3

=0（2x＋3）（x－1）

=0x1=，x2=1－32

所以与x

轴有交点，有两个交点。xyoy=a（x－x1）（x－x

1）二次函数的两点式探究

（2）y=4x2

－4x+1解：当y=0时，4x2

－4x+1

=0（2x－1）2=0x1=x2=

所以与x

轴有一个交点。12xyo探究（3）y=x2–x+1解：当y=0时，x2–x+1

=0

所以与x

轴没有交点。xyo因为（-1）2－4×1×1=－3<0二次函数与一元二次方程的关系（2）确定二次函数图象与x轴的位置关系解一元二次方程的根二次函数与一元二次方程的关系（2）△＞0△=0△＜0oxy△=b2–4ac课堂小结

二次函数

y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数

情境引入如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？解：（1）解方程15=20t-5t2。t2-4t+3=0。t1=1，t2=3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。情境引入如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题：（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。情境引入如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题：（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？解：（1）解方程20.5=20t-5t2。t2-4t+4.1=0。因为（-4）2-4×4.1＜0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m情境引入如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题：（4）球从飞出到落地要用多少时间？解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞行。4s时球落回地面。情境引入下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2（2）y=x2-6x+9（3）y=x2-x+1（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐标时，函数的值是_____。由此得出方程x2+x-2的根是______。两-2,10-2,1情境引入下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2（2）y=x2-6x+9（3）y=x2-x+1（2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有___个公共点，这点的横坐标是_____。当x=_____时，函数的值是0。由此得出方程y=x2-6x+9有两个______的实数根_____。一33相等3情境引入下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2（2）y=x2-6x+9（3）y=x2-x+1（3）抛物线y=x2-x+1与x轴有_____公共点，由此可知，方程x2-x+1=0______实数根。没有没有教学新知一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，①如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值时0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种，没有公共点；有一个公共点；有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三次情况：没有实数根；有两个相等的实数根；有两个不等的实数根。教学新知利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）。解：画出函数y=x2-2x-2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.知识点1：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系。如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值时0因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点；有一个公共点；有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况；没有实数根；有两个相等的实数根；有两个不等的实数根。知识梳理小练习二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示。当y＜0时，自变量x的取值范围是（

）AA.-1＜x＜3B.x＜-1C.x＞3D.x＜-3或x＞3解析：由图象知，二次函数y=x2-2x-3与x轴的交点（-1,0）与（3,0）。也就是y=0时，x=-1或3.当y＜0时，图象在x轴下方，对应的取值范围是-1＜x＜3，故选A。小练习已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数是（

）BA.x1=1，x2=-1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3

知识点2：二次函数y=ax2+bx+c的特征。（1）抛物线开口由a定，上正下负；（2）对称轴位置a、b定，左同右异，b为0时时y轴；（3）与y轴的交点由c定，上正下负，c为0时过原点；（4）与x轴的交点由b2-4ac定，b2-4ac＞0时，2个交点；b2-4ac=0时，1个交点；b2-4ac＜0时，0个交点。知识梳理小练习二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④y＞0时，-1＜x＜3。其中正确的说法（

）DA.①B.①②C.①②③D.①②③④小练习二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=