人教版八年级数学下册 （变量与函数）一次函数教育课件(第2课时)

变量与函数第2课时

1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．3.会根据函数解析式求函数值.思考：(1)下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.(2)下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y.对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？年份19841989199419992010人口数/亿10.3411.0611.7612.5213.71对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.特别提醒：函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y=x2,当x=1和x=-1时，y的对应值都是1.回顾上节课的问题1，指出其中的函数关系和自变量，并举出函数值的例子.时间t是自变量，路程

s是

t的函数.当t=1时，函数值s=60，当

t=2

时，函数值s=120.在前面所给出的心电图和人口数统计表中，函数关系是怎样的？在心电图中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.你能得出什么结论？函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.A，B例1如图，各曲线中表示y是x的函数的是________．ABCD解析：要判断y是不是x的函数，关键看给x一个值，y是否也有一个唯一的值与其对应．若是，则y就是x的函数；若不是，则y就不是x的函数．判断一个关系是否是函数关系的方法：一看是否存在于一个变化过程中；二看过程中是否存在两个变量；三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．三者必须同时满足．例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？解：

(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x.像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数关系的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.在解决第（2）问之前，思考：如何确定实际问题中自变量的取值范围？自变量的取值范围要使所给函数解析式有意义，而实际问题中的自变量取值，还应保证实际问题有意义．解：(2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤

x≤500.例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？解：(3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值.将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.你能根据例2(3)的解题过程，总结一下求函数值的方法吗？求函数值时，要注意函数的对应关系，代入自变量的值计算时，要按照函数中代数式指明的运算顺序计算，并结合相应的运算法则，使运算简便；说函数值时，要说明自变量是多少时的函数值.B1．下列说法正确的是(

)A．变量

x，y满足

y2＝x，则

y是

x的函数B．变量

x，y满足

x＋3y＝1，则

y是

x的函数C．变量

x，y满足|y|＝x，则

y是

x的函数D．在V＝πr3中，

是常量，π，r是自变量，V是r的函数2．油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是____________，自变量t的取值范围是_________.

0≤t≤603．已知某公司的推销员每月的基本工资是1200元,每推销一件商品得奖金50元,则推销员每月的总收入

y(元)与推销商品量

x(件)之间的关系式是_______________.

y=1

200+50x

4．函数y=的自变量x的取值范围是_________________.5．使函数y

=有意义的自变量x的取值范围为______________________.x≥－2且x≠1x≤且x≠0且x≠－26．据测定,海底扩张的速度是很缓慢的，在太平洋海底，某海沟的某处宽度为

100米，其两侧的地壳向外扩张的速度是每年6厘米，假设海沟扩张速度恒定,扩张时间为

x年，海沟的宽度为

y米．(1)写出海沟扩张时间

x年与海沟的宽度

y米之间的表达式；(2)当海沟宽度

y扩张到400米时,需要多少年?解:(1)根据题意得海沟增加的宽度为0.06x米，∴海沟扩张时间

x年与海沟的宽度

y米之间的表达式为

y=0.06x+100.(2)当

y=400时，0.06x+100=400，解得x=5000.答:当海沟宽度

y扩张到400米时,需要5000年.函数概念自变量取值范围函数值对于每一个x的值，y都有唯一的值与其对应1.使函数解析式有意义2.符合实际意义变量与函数

万

物

皆

变量（1）汽车以60

km/h的速度匀速行驶，行驶的时间是

th，行驶的路程为skm。（2）电影票的售价为10元/张，设某场电影售出

x

张票，票房收入为

y元。问题1:下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？（3）你见过水中涟漪吗？在这一过程中，当圆的半径

r分别为10cm，20cm，

30cm时，圆的面积S分别为多少？面积分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2。问题1:下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？S=πr2（4）用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m时，它的邻边长

y分别为多少？

问题1:下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？分别为2m

，1.5m，1m

上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎么分类的?数值发生变化的量变量数值始终不变的量常量三、运用新知，解决问题例1指出下列变化过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油xL，车主加油付油费y元；

变量：加油量xL和油费y元；常量：汽油的价格7.4元/升（2）小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；

变量：平均每天所看的页数n和阅读天数t；常量：这总页数200页（3）用长为40cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为xcm，其面积为Scm2．变量：一边长xcm和面积Scm2;常量：总长度40cm万物皆变量的变化研究变量之间的对应关系把握运动变化规律

问题2:（1）—（4）中各有两个变量，同一个变化过程中的变量之间有什么关系？（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为t小时，行驶里程为s千米，填下面的表，s的值随t的值的变化而变化吗？60120180240300每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应，s的值随t的值的变化而变化。

问题2:（1）—（4）中各有两个变量，同一个变化过程中的变量之间有什么关系？

（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，第一场售出205张，第二场售出310张，第三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？当x=150张时，y=1500元；当x=205张时，y=2050元；当x=310张时，y=3100元.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，y的值随x的值的变化而变化。

问题2:（1）—（4）中各有两个变量，同一个变化过程中的变量之间有什么关系？

(3)你见过水中涟漪吗？在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？

当r=10cm时，面积S=100πcm2;当r=20cm时，面积S=400πcm2;当r=30cm时，面积S=900πcm2。每当r取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应，s的值随r的值的变化而变化。

问题2:（1）—（4）中各有两个变量，同一个变化过程中的变量之间有什么关系？

（4）用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，

4.5m时，它的邻边长

y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？当x=3m时，y=2m；当x=3.5m，y=1.5m；当x=4m时，y=1m.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，y的值随x的值的变化而变化。归纳：上面每个问题中的两个变量都互相联系着。当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。一些用图或者表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系。综合以上的这些现象，你能再次归纳出上面所有问题中的变量之间关系的共同特点吗？两个变量，一个变量确定后，另一个变量都有唯一确定的值与其对应。

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。1.函数的定义：当x=a时，对应的y=b。那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s（单位：千米）随行驶时间为t（单位：

小时）变化而变化，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与其对应。

可以认为:时间t是自变量，路程s是t的函数。当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120.可以认为:时间x是自变量，气温y是x的函数

可以认为:届数x是自变量，金牌数y是x的函数，当x=26时，函数值y=16.注意区分函数与函数值。函数是变量，函数值是变量所取的某个具体的数值。思考(1)自变量t取-2没有实际意义；答案：(2)对应关系是s=60t；2.函数的自变量取值范围和函数解析式

（1）在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的。在限制的范围内，函数才有实际意义，超出这个范围，函数就没有实际意义。那我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围。

（2）像s=60t这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系式，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。图像法列表法解析式法、列表法和图像法2.函数的三种表示方法（1）指出自变量，自变量的函数，写出函数的解析式。

解：行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，解析式为：y=50-0.1x（2）指出自变量x的取值范围；

解：仅从式子y=50-0.1x看，x可以去任意实数。但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数。行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是：0≤x≤500.（3）汽车行驶了200km时，油箱中还剩下多少汽油？

解：汽车行驶200km时，油箱中的油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值代入y=50-0.1x，得：

y=50-0.1×200=30因此汽车行驶200km时，油箱中还剩下30升的汽油。

四、巩固训练，形成能力1.从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中变量是(

)A．物体 B．速度

C．时间和速度 D．重量和空气C2.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A．数100和η，t都是变量B．数100和η都是常量C．η和t是变量D．数100和t都是常量C3.在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=

ah，当a为定长时，在此式中（）A．S，h是变量