几何直观助力化错化人的数学教学育人指向-以尺规作图等教学内容为例试论基于数学结构化理解的育人路径 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选几何直观助力化错化人的数学教学育人指向——以尺规作图等教学内容为例试论基于数学结构化理解的育人路径摘 年新版义务阶段数学课程标准明确提出数学结构化的课程体系作为数通过几何直观可以让学生比较容易获得数学思想方法、掌握解决数学问题技能、体验丰富数学文化、提升应用创新创造的有效路径。本论文尝试通过具有典型意义的教学案例尤其是学生建立数学概念、应用所学知识解决问题中出现的错误、瑕疵、漏洞等一系列问题借助于以几何直观为主要抓手的学科教学方法、策略及其育人路径探讨，形成基于数学结构化理解的贯通各学段、有效衔接不同学段数学教学的育人路径。关键词：几何直观，化错化人，尺规作图，数学结构化理解，育人路径引 2022年版在2011年版基础上进行了调整设计，更是将数学的基本思想方法通过合适的教学内容呈现如几何直观、空间想象等落地落实落细。本论文基于教学实践中大量的案例尤其是学生学习数学过程中暴露出来的问题的条分缕析，在参考援引学术界公开出版的论著、论文中有关数学教学研究成果基础上，并利用市级高层次人才项目和区级课题研究平台，汇集日常教学心得、评课议课等过程性发现，形成对本论题探讨的主要方向及学科育人路径的基本判断、基本分析和基本主张。本论认为，义务教育阶段的数学教育是成体系的整体教育，在整体之下，有很清晰的结构化设计，有很明确的学段教学要求，有对数学意识、数学观念到数学关键能力不断发展的学段育人目标指向。2022年版新课标不是对2011年版课标的完全抛弃，必要的修正、增删、调整是基于教育实践、教育研究得出基本判断后作出调整后的成果。新课标依然追求让学生通过数学学习能达到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在12022年安徽省中小学教育教学论文评选数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养”。2022年版义务教育数学课程标准既有对2011年版的修正调整，强化了义务阶段四年版2020年修订）》的有效衔接，三者各有体系，但不是完全独立，在数学教育的不由浅入深、由易到难，让艰深的数学概念、难懂的数学性质等棘手的教学内容通过简洁的结构化设计贯穿于学生学习数学的全过程，如高中阶段的数学抽象在低、中阶段学习对应了小学阶段的数感、量感和符号意识，由此进而形成一定的数学抽象能力。再如，直观想象在小、初两个阶段主要通过几何直观和空间观念予以落实。而几何直观是相对显性、易于着手、便于理解、简单可行的，对学生数学学习好比有了一个抓手，通过几定理及推论等可能存在的障碍、错误，通过探究、交流、合作更好理解数学基本思想方法，可以说几何直观在数学学科教育中有着不可替代的作用和学科育人价值。表1小学、初中、高中学生的核心素养表现阶段核心素养表现小学数感量感符号意识运算能力几何直观空间观念推理意识数据意识模型意识应用意识创新意识初中抽象能力推理能力数据观念模型观念高中数学抽象数学运算直观想象逻辑推理数据分析数学建模思维品质数学结构化的设计有利于学生从整体的视角观察研究对象、理解数学概念、分析数学问题、探究数学性质、得出数学判断，形成基本数学思想方法，在成序列模块化、结构化学习过程中，让学生比较容易把握数学知识体系的发展脉络，并掌握数学知识的关键内容和思想方法本质，为进一步学习迁移提供了必要保障。同时，结构化的数学教学内容的设计也为学生阶段性进阶提供了基本思路、基本框架和基本方法，如新课标中把尺规作图相对比较浅显的内容移入小学中高年级段学习，这种“种子课”有利于学生数学思维的顺畅进阶，既降低了学习难度，也科学设置了学习进阶的坡度，同时也有利于22022年安徽省中小学教育教学论文评选学思想方法形成和核心素养的发展打下必要的基础。一、几何直观的意义与价值以“三角形三边关系”的探讨为例，小学阶段通过摆小棒探究或课件动画演示的方式让学生经历动手操作或感受，在实物尝试操作、观看演示中学生发现围成一个三角形三边存在怎样的关系，但是这种认识、判断有一定的模糊性，不利于学生空间观念的建年版新课标将初中阶段的尺规作图调整到小学阶段学习，不是将尺规作图全部内容下放，而是把相对浅显的、适合小学生年龄特点和认知规律的教学内容适度调整，是基于三个方面的基本判断。一是低年级从入学启蒙开始就已经与图形打交道，从与生活实际直接关联的实物立体图形到实物图形的某一个面的几何图形，再具体到可感知的点与线，再逐步抽象到图形与几何最基本的点、线、面、体的完整的认知。再如，利用数轴帮助学生认识自然数，不仅为后续数系的扩展奠定基础，也是为了更多数学问题解决提供了学生乐于接受易于理解的几何直观手段，学生因为有了数学学习过程中几何直观工具的运用促进了学生核心素养的发展，这种“润物细无声”的长期浸润对学生数学学习有着可见可抓的意义，并发挥了更有效学习数学知识、感受领悟基本数学思想方法的育人价值。可以说，几何直观是学生数学学习的重要抓手。二是把尺规作图通过课程内容结构化设计降低了学习坡度，减少了学习数学知识的难度和可能存在的障碍，便于学生利用几何直观学习必要的数学知识，掌握解决问题的一般方法，掌握了必备的数学技能，为后续的进阶学习提供了必要保障。三是将几何直观工具方法通过迁移类比方式运用于众多数学问题解决过程中，正是几何直观这个“脚手架”的支持，学生学习数学、理解数学、应用数学进而获得创新创造成为可能。1．当尺规作图显身手32022年安徽省中小学教育教学论文评选步步试错、发现错误到纠正修改，形成了学生探究问题的思维路径，如下图所示那样，画好线段ca和线段b从分开到接近到交会的作图痕迹变化，学生比较容易发辑推理能力得到进一步提升和发展。图1尺规作图绘制指定三边长的三角形 图2动态演示调整过程图3用圆规尝试连接各顶点过程演示 图4学生用画弧线找交点画三角形在该设计第二项活动中，安排了用尺规画等腰三角形探究三角形三边关系的教学探究任务。活动要求给定两条定长线段，用这两条定长线段a和b尝试画等腰三角形。这一活动是在前一活动基础上进行优化设置，学生发现短边ab为底边用上述的尺规作图方法发现两条弧无法相交，而采用以短边ab为腰则出现了对激发学生探究兴趣、启发学生深入思考几何直观背后的数学道理，其学科育人价值不言自明。就像设计者对该活动设计的设计意图阐述的那样，在这个环节，让学生经历里用尺规作等腰三角形的过程，由此引发了学生的认知冲突，由于尺规作图的介入，学生42022年安徽省中小学教育教学论文评选一步学习提供了必要的数学思想方法和基本工具。图5学生用尺规组图画等腰三角形（不同定长为底边对比）2．线段图、方格图等几何直观助力化错化人图6二年级找规律问题解决6作答学生理解成了9×9=81地把握数学问题的本质。图7二年级找规律解决问题图7呈现的这一道二年级利用有余数除法内容解决成规律的数学问题也具有一定的52022年安徽省中小学教育教学论文评选错误。上面的两个错误案例虽然是低年级数学内容，但是面对错误，不能及时运用合适的方式帮助学生重新认识并及时纠偏，对高学段的数学学习将产生较大的阻滞作用。图8等积变形妙解阴影部分面积问题如图8所示，左边的图中，矩形内有一个阴影三角形，其中阴影三角形一个顶点和两个顶点与矩形最近的顶点长度都是8右图所示，利用三角形面积等积变形思想方法运用转化积是（50-22）÷2=23.图9线段图辅助理解数量关系观教学成为学生学习的重要抓手，学生学习数学将是异常艰难的，如图962022年安徽省中小学教育教学论文评选功，反映在不同学段数学学习过程中，如根据已知信息绘制一次函数、二次函数图像，并根据图像分析未知量与已知量的关系，解决相关问题。图10用方格图理解并计算分数减法二、基于数学结构化理解的育人路径题解决将其明晰化，让学生逐步感悟和内化基本数学思想方法，在通性通法的指导下，学习的育人价值追求。基于数学新课程标准2022年版的设计理念，数学结构化的准确理解与教学把握对有效的落实。相对于2011年版课标，2022年版数学课程标准在四个领域进行了结构化处理，而同一领域在不同学段的教学主题、内容、活动、测评等都有相应的调整变化。如数与代又有若干个子课题，作为教学实施者面对纲举目张的结构化设计如何既能瞻前又能顾后，既能理解到位，更能实施执行到位，充分发挥数学学科育人价值，其有效的育人路72022年安徽省中小学教育教学论文评选径就显得尤为必要，且异常突出。1．数学结构化设计与分层次递进实施以数与代数领域为例，小学阶段数的认识、数量关系成为重点，从认读写自然数到小数、分数的认识，理解数量大小并学会比较大小，学生在现实问题情境中经历从具象到抽象、从具体实物到抽象符号的学习递进过程。通过核心概念如数位、计数单位等理解数的意义、掌握数的运算算理与算法，并渗透不同方法背后的数学文化传承与发展。会用字母符号表示数及数量关系，理解变量和函数，在学习一次函数、二次函数基础上获得对数与式、数量关系的进一步理解，并运用掌握的数学技能解决相关问题，促进数学思维能力进步和核心素养发展。2．数学结构化理解与数学学科育人路径选择疑有着定方向、明重点、优化教学策略、选择最佳育人路径的益处。一是理解数学结构化中数学概念教学方向。和老版课标相比，新课标不纯粹为概念一个非常复杂的体系，上下位概念多如牛毛，准确把握数学结构化，把数学概念教学与学科育人紧密联系起来，把数学概念与学生核心素养发展有机融合起来，把数学概念与学生学习数学过程中可能或必然存在的学习障碍突破的有效方式。三是注重学思结合，学会学习，把数学内容的可理解性作为起点，把容错化错作为丰富学生数学活动经验的应然要求，更要从整体把握新课标结构化设计下重视逻辑推理、重视证据说理能力的发展，这是数学学科能力发展必然要求和学科育人路径的必然选择。以尺规作图为例，该教学内容不再成独立章节，而是分散到各学段具体教学内容数学总体要求在各个学段的总体实现和分段达成，也是落实好数学学科的育人价值取向的教育追求，因此，基于结构化设计的数学理解必须真实审慎对待学生学习数学中存在82022年安徽省中小学教育教学论文评选具有挑战性的任务，会对学习有更多的自豪感和满足感”——数学学习就是这样一种长久。参考文献[1]杰罗姆·范梅里恩波尔，保罗·吉尔希那著，盛群力，陈丽，王文智，毛伟等译：综合学习设计——四元素十步骤系统方法[M].福建福州:福建教育出版社2015年版，第298~311页。[2]MichaelFullan，JoannneQuinn，JoanneJ.McEachen参与世界，改变世界[M].北京:机械工业出版社2020年版，第15~32页。[3]BradleyWatson著，腾梅芳，袁博译，盛群力审校：学习的科学——每位教师都应知道的77项教育研究成果[M].北京:中国青年出版社2021年版，第28-31,44~45,110~111,144~145，152~155页。[5]刘鹏，张丹，宋云凤：发挥直观想象，发展推理意识——尺规作图教学的思考与实践[J].小学教学数学下半月刊,2022(5):5~7.[6]曹翰麟，贾福录，范存丽，来雪娣：任务导行，常思启智[J].小学教学数学下半月刊,2022(5):8~10.[7]张丹，刘延革，于国文，来雪娣：尺规作图成就思维的精彩——“画一个三角形教学实践与思考”[J].小学教学数