多边形的内角和 全省一等奖

11.3.2多边形的内角和第十一章三角形八年级数学上（RJ）11.3多边形及其内角和情境引入学习目标1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeillesbeepavilion”.导入新课情景引入思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？问题2

你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

问题1

三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.问题3

猜想任意四边形的内角和是多少度？

讲授新课多边形的内角和一猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4

你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？猜想与证明方法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCDABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDEABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3－180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：

四边形的内角和为360°.例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.典例精析ACDEBABCDEF问题5

你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n-31231234n-2（

n-2）·180º1×180º=180º2×180º=360º

3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般

分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)×180°.例2

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．典例精析多边形的外角和二如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是

______边形.六正八典例精析例4

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的

2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.课堂小结多边形的内角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数）

外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=当堂练习1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．120°3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．1504.一个多边形的内角和不可能是（）A.180